2025高考数学必刷题 第36讲、平面向量的数量积及运算(学生版)

第36讲
平面向量的数量积及运算
知识梳理
知识点一．平面向量的数量积a （1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a 与 b ，我们把数量||||cos a b θ 叫做a 与b
的数量积（或内积），记
作a b ⋅ ，即a b ⋅ =||||cos a b θ
，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：||cos θa 叫做向量a 在b 方向上的投影数量，当θ为锐角时，它是正数；当θ为钝角时，它是负数；当θ为直角时，它是0．
②⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上射影||cos θb 的乘积．
③设a
，b 是两个非零向量，它们的夹角是,e θ 与b 是方向相同的单位向量，,AB a CD b == ，过AB
的起点A 和终点B ，分别作CD 所在直线的垂线，垂足分别为11,A B ，
得到11A B ，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，11A B 叫做向量a
在向量b 上的投影向量．记为||cos a e θ
．
知识点二．数量积的运算律已知向量a 、b 、c 和实数λ，则：①⋅=⋅a b b a ；
②()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ；③()+⋅⋅+⋅a b c =a c b c ．知识点三．数量积的性质
设a 、b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则①||cos θ⋅=⋅=e a a e a ．②0⊥⇔⋅=a b a b ．
③当a 与b 同向时，||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，||||⋅=-a b a b ．
特别地，2||⋅=a a a 或||a ．
④cos ||||
θ⋅=
a b
a b (||||0)≠a b ．⑤||||||⋅a b a b ≤．知识点四．数量积的坐标运算
已知非零向量11()x y =，a ，22()x y =，b ，θ为向量a 、b 的夹角．
知识点五、向量中的易错点
（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且||||||a b a b ⋅≤
．
（2）当0a ≠ 时，由0a b ⋅=
不能推出b 一定是零向量，这是因为任一与a 垂直的非零向量b 都有0a b ⋅=
．
当0a ≠ 时，且a b a c ⋅=⋅
时，也不能推出一定有b c = ，当b 是与a 垂直的非零向量，c
是另一与a 垂直的非零向量时，有0a b a c ⋅=⋅=
，但b c ≠ ．
（3）数量积不满足结合律，即a b c b c a ⋅≠⋅()() ，这是因为a b c ⋅() 是一个与c
共线的向量，而b c a ⋅() 是一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以a b c ⋅() 不一定等于b c a ⋅() ，
即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项．
（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当0a b ⋅> 且(0)a b λλ≠> （或0a b ⋅<
，且(0))
a b λλ≠<
【解题方法总结】
（1）b 在a
上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．
（2）数量积的运算要注意0a =时，0a b ⋅= ，但0a b ⋅= 时不能得到0a
=或0b =，因为a ⊥b 时，也有0a b ⋅=
．
（3）根据平面向量数量积的性质：||a cos ||||
a b
a b θ⋅=
，0a b a b ⊥⇔⋅= 等，
所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．
（4）若a 、b 、c 是实数，则ab ac b c =⇒=（0a ≠）；但对于向量，就没有这样的性
质，即若向量a 、b 、c 满足a b a c ⋅=⋅
（0a ≠ ），则不一定有=b c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．
（5）数量积运算不适合结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅ ，这是由于()a b c ⋅⋅
表示一个与c 共线的向量，()a b c ⋅⋅ 表示一个与a 共线的向量，而a 与c
不一定共线，因此()a b c ⋅⋅ 与()a b c ⋅⋅
不一定相等．
必考题型全归纳
题型一：平面向量的数量积运算
例1．（2024·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知向量a ，b
满足
|2|a b =
，a 与b 的夹角为π6
，则()()
2a b a b +⋅-= （
）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．14
例2．（2024·全国·高三专题练习）已知6a = ，3b = ，向量a 在b
方向上投影向量是4e ，则a b ⋅
为（
）
A ．12
B ．8
C ．-8
D ．2
例3．（2024·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD 的边长为1，1
2
AB AD ⋅=- ，
G 是菱形ABCD 内一点，若0GA GB GC ++= ，则AG AB ⋅=
（）
A ．1
2
B ．1
C ．
3
2
D ．2
变式1．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知单位向量,a b →→
，且π
,3
a b →→
〈〉=，若()a b c →
→
→
+⊥，||2c →
=，则a c →→
⋅=（）
A ．1
B ．12
C ．2-或2
D ．1-或1
变式2．（2024·广东·校联考模拟预测）将向量
OP = 绕坐标原点O 顺时针旋转75︒
得到1OP
，则1OP OP ⋅= （
）
A
B
C D ．
2
变式3．（2024·全国·高三专题练习）正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，
则EC ED ⋅=
（
）
A B ．3
C ．
D ．5
变式4．（2024·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）如图，在ABC 中，π
3
BAC ∠=
，2AD DB =
，P 为
CD 上一点，且满足()R 12
AP mAC AB m +∈= ，若3AC =，4AB =，则AP CD ⋅
的值为（）.
A ．3
-B ．13
12
-
C ．
1312
D ．112-
变式5．（2024·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知向量a ，b
满足同向
共线，且2b = ，1a b -=r r ，则()
a b a +=⋅
（）
A ．3
B ．15
C ．3-或15
D ．3或15
变式6．（2024·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形ABCD 中，1,2,AB AD AC
==与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥于E ，则AE AO ⋅=
（）A ．
1225
B ．
2425
C ．
125
D ．
45
【解题方法总结】
（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．
（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．
（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量a
在
向量b 方向上的投影为||
a b
b ⋅ ．
（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）
同：222()2a b a ab b ±=±+
；a b ±=()a b c ab ac +=+公式都可通用异：整式：a b a b ⋅=±，a 仅仅表示数；向量：cos a b a b θ⋅=±
（θ为a 与b 的夹
角）
ma nb ±= ma nb ma nb ma nb -≤±≤+ ，通常是求ma nb ±
最值的时候用．
题型二：平面向量的夹角
例4．（2024·河南驻马店·统考二模）若单位向量a ，b
满足2a b -= a ，b
夹
角的余弦值为____________．
例5．（2024·四川·校联考模拟预测）若21,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则12
2a e e =+ 与1232b e e =-+
的夹角大小为________.
例6．（2024·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知向量a 和b
满足：1a = ，2b = ，220a b a b --⋅= ，则a 与b
的夹角为__________．
变式7．（2024·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）若向量a 与b
不共线也不垂直，且
a a c a
b a b ⋅⎛⎫=- ⎪⋅⎝⎭
，则向量夹角,a c 〈〉= ________.
变式8．（2024·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知a b c
､､是同一个平面上的向量，
若a c b == ，且0,2,1a b c a c b ⋅=⋅=⋅= ，则,c a = __________.
变式9．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知向量a ，b
满足()1,1a =- ，
1b = ，1a b ⋅= ，则向量a 与b
的夹角大小为___________.
变式10．（2024
·四川·校联考模拟预测）已知向量(a x =+ ，()1,0b = ，2a b ⋅=-
，
则向量a b + 与b
的夹角为______．
变式11．（2024·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知向量()1,2a =，()4,2b =
，若非
零向量c 与a ，b 的夹角均相等，则c
的坐标为___（写出一个符合要求的答案即可）
【解题方法总结】求
夹
角
，
用
数
量
积
，
由
||||cos a b a b q
×=×
得
cos ||||
a b
a b
q ×==
×进而求得向量,a b
的夹角．
题型三：平面向量的模长
例7．（2024·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知平面向量a ，b ，c
满足(2,1)a = ，(1,2)b = ，且a c ⊥ .
若b c ⋅=
，则||c = （
）A
B
．C
．D
．例8．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知a ，b
是非零向量，1a = ，()
2a b a +⊥ ，向量a 在向量b
方向上的投影为4
-，则a b -=r r ________.
例9．（2024·海南·高三校联考期末）已知向量a ，b
满足()1,1a = ，4b = ，()
2a a b -=-⋅ ，
则
3a b -=
__________．变式12．（2024·四川南充·阆中中学校考二模）已知,a b 为单位向量，
且满足a = 则2a b +=
______.
变式13．（2024·河南驻马店·统考三模）已知平面向量,a b
满足
2a b == ,且(
)()
214a b a b +⋅-= ，则a b +
=_________________．
变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知向量,a b
满足a b -= 2a b a b +=- ，则
b =
______．
变式15．（2024·河南郑州·模拟预测）已知点O 为坐标原点，()1,1OA = ，()3,4OB =-
，
点P 在线段AB 上，且1AP =
，则点P 的坐标为______．
变式16．（2024·广西·高三校联考阶段练习）已知()2,1a =- ，()4,b t = ，若2a b ⋅=
，则
2a b -=
______．
【解题方法总结】
求模长，用平方，||a
=
．
题型四：平面向量的投影、投影向量
例10．（2024·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知向量()3,6a =
，()3,4b =- ，
则a 在b
方向上的数量投影为______.
例11．（2024·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知(2,1),(4,),
a b m =--=-
若向量b 在向量a
m =_______．
例12．（2024·全国·高三专题练习）已知向量6a = ，e 为单位向量，当向量a 、e 的夹角等于45 时，则向量a 在向量e
上的投影向量是________．
变式17．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知向量(1,2)a =-
，向量(1,1)b = ，
则向量a
在向量b 方向上的投影为_________.
变式18．（2024·新疆喀什·统考模拟预测）已知向量a ，b
满足3a b += ，2a = ，()0,1b = ，则向量a 在向量b
方向上的投影为______.
变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知非零向量,a b 满足(2)(2)a b a b +⊥-
，且向量
b 在向量a 方向的投影向量是14
a ，则向量a 与b
的夹角是________.
变式20．（2024·全国·模拟预测）已知向量()()1,0,0,1,1a b a c b c ==⋅=⋅= ，则向量a 在向量c
上的投影向量为__________.
【解题方法总结】
设a
，b 是两个非零向量，它们的夹角是,e θ 与b 是方向相同的单位向量，,AB a CD b == ，过AB
的起点A 和终点B ，分别作CD 所在直线的垂线，垂足分别为11,A B ，
得到11A B ，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，11A B 叫做向量a
在向量b 上的投影向量．记为||cos a e θ
．
题型五：平面向量的垂直问题
例13．（2024·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知向量()()1,2,2,3a b ==-
，若
(
)()
ka b a b +⊥-
，则k =___________.
例14．（2024·全国·高三专题练习）已知向量a ，b ，c ，其中a ，b 为单位向量，且a b ⊥
，
若c = ______，则
()()
2a c b c -⊥- .注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.
例15．（2024·江西宜春·高三校联考期末）设非零向量a ，b 的夹角为θ．若2b a = ，且
(
)()
23a b a b +⊥-
，则θ=____________．
变式21．（2024·江西南昌·高三统考开学考试）已知两单位向量21,e e 的夹角为π
3
，若
12122,a e e b e me =+=+ ，且a b ⊥
，则实数m =_________．
变式22．（2024·海南·校考模拟预测）已知a 为单位向量，向量b 在向量a
上的投影向量
是2a
，且()
3a b a λ+⊥ ，则实数λ的值为______．
变式23．（2024·全国·模拟预测）向量()()1,,2,1m x n ==
，且()
n m n ⊥+ ，则实数
x =_________．
变式24．（2024·全国·高三专题练习）非零向量(cos(),sin )a αββ=- ，(1,sin )b α= ，
若a b ⊥ ，则tan tan αβ=______.
变式25．（2024·河南开封·校考模拟预测）已知向量()()2,3,4,5a b =-=- ，若()
a b b λ-⊥ ，
则λ=________．
变式26．（2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知向量a ，b
不共线，()2,1a =r ，
()
a b a ⊥- ，写出一个符合条件的向量b
的坐标：______.
变式27．（2024·河南开封·统考三模）已知向量(,1)a m =-
，(1,3)b = ，若()a b b -⊥ ，则m =______.
【解题方法总结】
121200
a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=
题型六：建立坐标系解决向量问题
例16．（2024·全国·高三专题练习）已知1||||||1,2
a b c a b ===⋅=- ，(,R)c xa yb x y =+∈
，
则x y -的最小值为（
）
例17．（2024·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）以边长为2的等边三角形ABC 每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P 为弧AC 上的一点，且π
6
PBC ∠=
，则BP CP ⋅ 的值为（）
A ．4
B ．4
C ．4-
D ．4+
例18．（2024·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）下图是北京2022年冬奥会会徽的图案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两排圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为1O 、2O 、3O 、4O 、5O ，则()
414542O O O O O O ⋅+
的值为（
）
A ．507-
B ．386-
C ．338-
D ．242
-变式28．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）如图，在圆内接四边形ABCD 中，120,1,2BAD AB AD AC ∠=︒===.若E 为CD 的中点，则EA EB ⋅
的值为（
）
变式29．（2024·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）如图，已知ABC 是面积为的等边三角形，四边形MNPQ 是面积为2的正方形，其各顶点均位于ABC 的内部及三边上，且恰好可在ABC 内任意旋转，则当0BQ CP ⋅= 时，2||BQ CP +=
（
）
A ．2+
B ．4+
C ．3+
D ．2+
变式30．（2024·河南安阳·统考三模）已知正方形ABCD 的边长为1,O 为正方形的中心，E
是AB 的中点，则DE DO ⋅=
（）A ．14
-
B ．1
2
C ．
34
D ．1
【解题方法总结】
边长为a 的等边三角形已知夹角的任意三角形正方形矩形
平行四边形直角梯形等腰梯形圆
建系必备（1）三角函数知识cos ,sin x r y r q q ==；（2）向量三点共线知识
(1)OC OB OA l l =+-．
题型七：平面向量的实际应用
例19．（2024·江西宜春·高三校考阶段练习）一质点受到同一平面上的三个力1F ，2F ，3F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知1F ，2F 成120°角，且1F ，2F 的大小都为6牛顿，则3F 的大小为______牛顿.
例20．（2024·内蒙古赤峰·统考三模）如图所示，把一个物体放在倾斜角为30 的斜面上，
物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G ，垂直斜面向上的弹力1F ，沿着斜面
向上的摩擦力2F .已知：1160N F G == ，则2F 的大小为___________.
例21．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平
衡状态.已知两条绳上的拉力分别是1F ，2F ，且1F ，
2F 与水平夹角均为45︒，12F F == ，则物体的重力大小为___________N .
变式31．（2024·全国·高三专题练习）两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，
则1F与2F大小之比为___________．
变式32．（2024·浙江·高三专题练习）一条渔船距对岸4km，以2/
km h的速度向垂直于对
km h．
岸的方向划去，到达对岸时，船的实际行程为8km，则河水的流速是________/【解题方法总结】
用向量方法解决实际问题的步骤。