辽宁省辽宁师大附中高二数学上学期期中试题 文 新人教B版

2013-2014上学期期中考试高二数学试题（文科）
（考试时间：120分钟；总分：150分）
一．选择题（共12小题，每题5分，共60分）
1．命题“,11a b a b >->-若则”的否命题．．．是 （ ） A ．,11a b a b >-≤-若则 B ．若b a ≥，则11-<-b a C ．,11a b a b ≤-≤-若则 D ．,11a b a b <-<-若则 2.设0,0a b >>,
3a
与3b
的等比中项，则
11
a b
+的最小值 为（ ）．A. 8 B. 4 C. 1 D. 1
4
3.复数Z 满足,12i
i
Z --=则Z 等于（ ）
A.i 31+
B.i -3
C.i 2123-
D.i 2
1
23+
4．已知O 是坐标原点，点()1,1A -，若点(),M x y 为平面区域2,
1,2x y x y +≥⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，
则OA OM ⋅u u u r u u u u r
的取值范围是（ ）．
A ．[]1,0-
B ．[]0,1
C ．[]0,2
D ．[]1,2-
5．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：n m n m S S S ++=，且11a =，那么10a =( )．A ．1 B ．9 C ．10 D ．55 6.设02
x π
<<
，则“2
sin 1x x <”是“sin 1x x <”的（ ）．
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7.下列命题中正确的是( )
A ． x x y 1+=的最小值是2
B ． 2
322++=x x y 的最小值是2
C. 4
522++=
x x y 的最小值是
25 D ．x
x y 4
32--=的最大值是342- 8.设y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧
≤+≥≥12
340y x x y x ，则132+++x y x 的取值范围是（ ）
A ．[]5,1 B.[]6,2 C.[]10,2 D.[]11,3
9.已知数列{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和,若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为
5
4
，则5S =（ ）． A ．35 B ．33 C ．31 D ．29 10.下列说法错误的是（ ）
A ．若命题2
:,10p x R x x ∃∈-+=，则2
:,10p x R x x ⌝∀∈-+≠ B ． 命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”
C ．“1sin 2
θ=
”是“30θ=o
”的充分不必要条件 D ． 若命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题
11.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5
935,95S S
a a 则 （ ）A ．1
B ．1-
C ．2
D ．
2
1
12.设01b a <<+.．若关于x 的不等式()()2
2
x b ax ->的解集中的整数 恰有3个，则（ ）．
A. 10a -<<
B. 01a <<
C.13a <<
D. 36a << 二．填空题：(本题共4小题，每小题5分,共20分.) 13.复数
i
i
4321+-在复平面上对应的点位于第 象限 14.设,x y 满足约束条件2208400 , 0x y x y x y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥≥⎩
,若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为
8，则a b +的最小值为________．
15..若,a b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <
或1
b a
>”的 ________条件 16.已知集合{}
349A x x x =∈++-≤R ， ()1
46,0,B x x t t t
⎧⎫=∈=+-∈+∞⎨⎬⎩
⎭
R ，则
集合A B =I ．
三．解答题：(本题共6小题，17题10分，18--22每题12分，共70分.)
17.（本小题满分10分）设1,a d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为
n S ， 满足56150S S +=．
（1）若55S =求6S 及1a ； （2）求d 的取值范围．
18.（本小题满分12分） （1）若不等式0252>-+x ax 的解集是⎭⎬⎫
⎩⎨⎧<<221x x ，求不等式
01522>-+-a x ax 的解集.
（2）b a b a ≠>>,0,0，试比较
b
a a
b +
与b a +的大小。

19.（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=．{}n a 的前n 项和为n S ．
（1）求n a 及n S ； （2）（2）令2
1
1
n n b a =
-()n +∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 20. （本题满分12分） 已知p : 02082
≤--x x
, q :x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)，若﹁p 是﹁q 的必要而不充分条件，
求实数m 的取值范围.
21.（本小题满分12分）
设数列{}n a 满足12a =，21132n n n a a -+-=⋅． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 22.（本小题满分12分）
某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元。

该公司第n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用n a 的信息如下图。

（1）求n a ；
（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利； （3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？
2012-2013下学期期末考试 高二数学试题（文科）答案
一．选择题：
CBCCA BCDCC AC 二．填空题;
13.三 14.4 15.充分而不必要条件 16. {}
25x x -≤≤ 三．解答题：
17.【解】(1)因为56150S S +=，55S =，则63S =-．…………2分 则6658a S S =-=-， 所以115105,
58.
a d a d +=⎧⎨
+=-⎩
解得17a =．………….5分 (2)
由
题
设
，
()()a d a d 115+106+15+15=0，
即a a d d 22
112+9+10+1=0．①
因为1a 为实数，则关于1a 的二次方程①有实数根，因而
d d 22
∆=81-80-8≥0，d 2≥8
，所以d ≤
或d ≥
d
的取值范围是
(
)
,⎡-∞+∞⎣
U ．………….10分
18.【解】（1）由题意：0<a ，2,2
1
是的两个根，解得2-=a 0
1522>-+-a x ax 为03522<-+x x ，解得2
1
3<
<-x ，故所求解集为 ⎭⎬
⎫
⎩
⎨⎧<<-213x x …………………….6分 (2)
ab
a b a b b
a
a b b
b a a
a b b a b
a a
b --=-
-=-+
-=
--+
)
()11)(
(
=
ab
a b a b )
()(2+-
0,0,0)(2>>+>-ab a b a b Q
b
a b
a a
b +>+
∴
…………….12分
19.【解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ．
由于37a =，5726a a +=则11
27,
21026.a d a d +=⎧⎨+=⎩解得13,2a d ==．..2分
所以()()1131221n a a n d n n =+-=+-=+，.....4分 ()()
()1321222
n n n a a n n S n n +++=
==+．.......6分
（2）因为21n a n =+， 所以()()2211111114141211n n b a n n n n n ⎛⎫
=
===- ⎪-++⎝⎭
+-．......8分
因此1
11111
1142231n
n k k T b n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
=
-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
∑L ()
1114141n
n n ⎛⎫=
-= ⎪
++⎝⎭． 所以数列{}n b 的前n 项和为n T =
4(1)
n
n +．......12分
20.【解】由x 2
－2x +1－2m ≤0得：1－m ≤x ≤1+m (m >0)
所以：“﹁q ”：A ={x |x >1+m 或x <1－m ,m >0}
………………4分
由p ：02082
≤--x x
得：－2≤x ≤10,所以
“﹁ p ”:B ={x |x >10或x <－2}.
……………8分
由﹁p 是﹁q 的必要而不充分条件，知：A ⊆B,0
129
110m m m m >⎧⎪-≤-⇒≥⎨⎪+≥⎩
故m 的取值范围为9m ≥………………………………….12分
21.【解】(1）当2n ≥时，
()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+L 23
252732
3232322n n n ---=⋅+⋅+⋅++⋅+L
(
)222213241
n --=⋅+-
21
2
n -=．......4分
对于1n =，21211222n a --===，也适合上式． 所以数列{}n a 的通项公式为21
2n n a -=．.......6分
（2） 212n n n b na n -==⋅，
()3
5
23
2112223212
2n n n S n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L
()2
35721212122232122n n n S n n -+⋅=
⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L ，
得()
()2235212121221122222223
n n n n n S n n -++--=++++-⋅=-⋅L ，......8分
所以()21131229
n n S n +⎡⎤=
-+⎣⎦．.......12分
22.【解】（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：
12(1)2n a a n n =+-= ….2分
（2）设纯收入与年数n 的关系为f(n),则：
2(1)
()21[22]2520252
n n f n n n n n -=-+
⋅-=-- ….4分 由f(n)>0得n 2
-20n+25<0
解得10n 10-<<+ 又因为n N ∈,所以n=2,3,4,……18.即从第2年该公司开始获利 …6分 （3）年平均收入为
n )
n (f =20-25(n )202510n
+≤-⨯= 当且仅当n=5时，年平均收益最大.所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最
大。

………….12分。