三垂直模型

—线三等角模型
—・一线三等角概念
“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

不同地区对此有不同的称呼，“K形图S “三垂直S “弦图”等，以下称为“一线三等角
二•一线三等角的分类
全等篇
同侧锐角
异侧
相似篇
D
同侧锐角直角钝角
异侧
三、”一线三等角■的性质
1•一般情况下，如图3-1,由Z1=Z2=Z3,易得△AECs^BDE.
2•当等角所对的边相等时，则两个三角形全等•如图3-1,若CE=ED,则厶AEC^ABDE.
图3-1 图3-2
3.中点型“一线三等角”
如图 3-2,当Z1=Z2=Z3,且 D 是 BC 中点时，△BDEsACEDs^DFE. 4•“中点型一线三等角“的变式（了解）
ZBOC = 90。

+丄ABAC 这是内心的性质，反之未必是内心.
2
在图3-4 （右图）中，如果延长BE 与CF,交于点P,则点D 是APEF 的旁心.
图3_5
其实这个第4图，延长DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为 是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进 行解题
/?
如图3-3,当“Z2且 — 9。

+存AC 时，点°是2的内心.可以考虎构
造“一线三等角”.
图 3-3
图 3-44-'
如图3-4 “中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，
四、“一线三等角”的应用
1•“一线三等角”应用的三种情况.
乩图形中已经存在“一线三等角”,直接应用模型解题；
b.图形中存在“一线二等角”,不上“一等角”构造模型解题； C.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.
体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角 或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”來解题.
2•在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的 张角问题，在x 轴或y 轴（也可以是平行于x 轴或y 轴的直线）上构造一 线三等角解决问题更是重要的手段・
3•构造一线三等角的步骤：找角.定线.构相似
坐标系中，要讲究“线”的特殊性
如图3-6,线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角
当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过C. D 两点作宜线1的垂线是必不可少的。

两条垂线通常情况下是为了 “量化”的需 要。

上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不 容易掌握.
E
在DC 的延长銭上截职CE= — I <£ CD 的延长线上截取DF= —1 tana tana 则 tsnZAEP- tmiZPFB= taRi 上则ZAEP 二 ZPFB= a= ZAPB ‘ 所以APAEs ABPF .
A
在CP 上琵职CE= AC tana ，在DP 截取
DF=
BD tana
则 tanZAEC= t2nZ!BFD= tani 则ZAEC= «ZBFD= a= /APB ，所以△ PAEABPF • B
解题示范
例1如图所示.一次函数V = -x + 4与坐标轴分别交于A. B两点，点P是线段AB上
一个动点（不包括A. B两端点），C是线段OB上一点，ZOPC=45\若A OPC是等腰三角形，求点P的坐标・
例2 如图所示，四边形ABCD 中，ZC=90°,ZABD=ZDBC=22.5°, AE±BC 于E, Z
ADE=67.5°, AB=6,贝!J CE=.
例3 如图，四边形ABCD 中,ZABC=ZBAD=90° , ZACD=45° , AB=3, AD=5•求BC 的长•
x・
3
H
例4 如图，AABC 中,ZBAC=45。

, AD丄BC, BD=2, CD=3,求AD 的长.
一线三等角，补形最重要，内构勤思考，外构更精妙•找出相似形，比例不能少•巧设未知数，妙解方程好
坐标系中一般考虑纵横两个方向构造
还是可以纵横斜三个方向构造,
7
A
tan(a tan-/5°1
例5 如图，在AABC 中，ZBAC=135% AC= AB, AD丄AC 交BC 于点D,若AD 二y/2 ,求AABC的而积
当然有45。

或135。

等特殊角，据此也可以构造不同的一线三等角
一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种•
tan 乙48 =-，ZB = 90°, AD = 2f BC = 4・求〃Z ＞的长. 3
3•如图，在四边形 ABCD 中,ZBAD= Z4CB= ZACD=45° , AC=49 求△BCD
的周长.
大练身手：
1.如图，AABC 中
,
2.如图，AABC 中，二90。

, Z(240=45° ,川?二3, CD 二乞 求BD 的长
.
B D
c
4•在直角三角形ABC, ZO90° .ZA30。

JC=4, D为/iC的中点■若/XOEF为正三角形，求CF 的长.
5•如图，在Rt^ABC中，ZJCB-300 , D4平分ZCAB.若ZCDB二60°心二価求血的长.
巧、
/ \
6•如图，在等腮直角三角形川?C中，ZBJ0900 , D为ABk一点，连接CD, P为CD上一点, ZBPD二45°，若CP二6,心仞的面积为18,则线段的长为____________ .
& 如图，中，ZB4O90。

，AB = 2^i,点Q 在EC 边上.BC = 4icD, DEJBC且，DE 二 DC DE
交AC边与点F f EF二击，则AC的长为_____________ .
B D C
9•如图，在平面直角坐标系中，点A（4,0）,点（0,2>/3）.点C在第一象限内，若为等边三角形，则点C 的坐标为_________________ .
10•矩形MCZ?在直角坐标系的位置如图所示，点J（2V15,0）点C（0,5）,反比例函数的图像交边M、BC于D、E两点•且ZDOG45。

,则k= _____ .
11・如图，直线y = 2x-4交坐标轴与厶P两点，交双曲线y = -(x>0)于点C,且5^=8,点P在点C x
的右侧的双曲线上./PBC=45° ,则点P的坐标为_____________ ・
12.在^ABC中，M = 2VI/S = 45。

，以点/为直角顶点作等腰直角△40E•点D在BC上,点、E在AC±9
若CE=4S■则CD的长为 ________________ •
13•如图，直角△4BC中，ZC=90° . 4C=6・ BC=8, D是斜边的中点，E为BC上动点QF丄于点F, 连接若△DEF是邹腰直角三角形，求DE的长度.
14 •在厶4BC中，ZB=45° , ZC=30° ,点D是BC上一点.连接过点厦作"G丄在AG ±取
点F,连接莎・延长D4至E,使AE=AF.连接EG, DG、且GE=DF・
(1)若AB二2近AB=2,求3C的长；
(2)如图1,当点G在AC±时，求证‘ BD = -CG；
2
(3)如图2,当点G在/C的垂直平分线上时，直接写出竺的值.
/)
例7：在平而直角坐标系中，已知点4 (1, 0), B (0, 3), C(-3, 0), D是线段AB ±—点，CD父y
轴十F,且S.，5C£ = 2S.“O8・
(1)求直线的解析式：
(2)求点D的坐标，猜想线段CE与线段A8的数量关系和位宜关系，并说明理由：
(3)若F为射线CD上一点，且ZDBF=45。

,求点F的坐标.
例&如图，直线y=x+2与y轴交于点C,与抛物线y=”2交于久B两点(&在B的左侧), BC=2AC,点P是抛物线上一点.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P在直线的下方，求点P到直线AB的距离的最大值：
(3)若点P在直线的上方・且Z8PC=45\求所有满足条件的点P的坐标.
练1：.如图，抛物线的顶点为C（-l, -1）,且经过点A、点3和坐标原点0,点8的横坐标为—3.
（1）求抛物线的解析式：
（2）若点D为抛物线上的一点，且ABOD的而积等于ABOC的而积，请直接写岀点D的坐标：
（3）若点F的坐标为（0, 2）,点P是线段BC上的一个动点，是否存在点P,使得ZOPF =45。

？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
课后作业：
如图，点A(0,・l),B(3,0),P为直线y二・x+5上一点，若ZAPB=45° ,求点P的坐标
在四边形ABCD 中，ZABC=ZBAD=90° , ZACD=45° , AB=3AD=4,求AC 的长.
B
如图，正方形ABCD中，点E,F,G分别在AB,BC,CD上AEFG为等边三角形，求证: BE+GC= 75 BC
如图，Z\ABC〜ADBA,且AC= V2 BC•求证:CD=2AB.
如图，在四边形ABCD中，ZABC=90\ &3=3, 3C=4, CD=10, DA = 5逅，求3D 的长
如图，点A是反比例(X>0)图形上一点，点B是X轴正半轴上一点，点C的坐标为(0, 2),点AABC是等边三角形时，求点A的坐标.
抛物线y = x2-4x + 3与坐标轴交于4、B、C三点,点P在抛物线上，PE丄BC于点E,若
PE=2CE. 求P点坐标.
如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于人、3两点（点4在点B的左侧），与y轴交于点C, 直线/：y=—扌x+m经过点4,与抛物线交于另一点D（5, 一彳），点P是直线/上方的抛物线上的动点，连接PC、PD.
（1）求抛物线的解析式：
（2）当APCD为直角三角形时，求点P的坐标；
（3）设APCD的面积为S,请你探究：使S的值为整数的点P共有几个，说明理由.
4 , 22
1.如图1,已知直线尸kx与抛物线=_亍 + 丁交于点q （3, 6）.
（1）求直线尸kx的解析式和线段0A的长度；
（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM,交x轴于点M （点M、O不重合），交直线0A于点Q再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点A/.试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个泄值，如果不是，说明理由；
（3）如图2,若点8为抛物线上对称轴右侧的点，点£在线段0A上（与点0、A不重合），点D （m, 0）是x轴正半轴上的动点,且满足ZBAE=ZBED=ZAOD.继续探究：m 在什么范围时，符合条件的F点的个数分别是1个、2个？
如图，直线AC： y=-2x+2与x轴交于点与y轴交于点C,抛物线yUQx' + bx+c (Q>0)过C两点，与x轴交于另一点B (B在人的右侧)，且公OBC^AOCA・
(1)求抛物线的解析式：
(2)点D为抛物线上一点，ZDC4=45。

，求点D的坐标；。