高考理科数学试题及答案899

高考理科数学试题及答案
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目
要
求
的。

1.
31i
i
+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -
2. 设集合{}1,2,4A =，{}
2
40x x x m B =-+=．若{}1A
B =，则B =（）
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百
八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）
A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某
几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π
5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =+的
最小
值是（）
A ．15-
B ．9-
C ．1
D ．9
6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共
有（）
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，
2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）
A ．乙可以知道四人的成绩
B ．丁可以知道四人的成绩
C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的
S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
9. 若双曲线C:22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐
近线被圆()2
224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．
23
10. 若2x =-是函数2
1`
()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）
A.1-
B.32e --
C.35e -
D.1
11. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB
与1C B 所成角的余弦值为（）
A ．
32 B ．155 C ．105
D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）
A.2-
B.32-
C. 4
3
- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽
到的二等品件数，则D X =． 14. 函数()23sin 3cos 4f x x x =+-
（0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
）的最大值是．
15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
11
n
k k
S ==∑． 16. 已知F 是抛物线C:2
8y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为
F N 的中点，则F N =．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）
ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin()8sin 2
B
A C +=． (1)求cos B
(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b
18.（12分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下： 1.
设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；
2.
填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法 新养殖法
3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
P （
）
0.050 0.010 0.001 k
3.841
6.635
10.828
19.（12分）
如图，四棱锥PABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= E 是PD 的中点.
（1）证明：直线//CE 平面PAB
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所 成锐角为o 45 ，求二面角MABD 的余弦值 20. （12分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =
.
（1） 求点P 的轨迹方程；
（2）设点Q 在直线x=3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.（12分）
已知函数3
()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2
30()2e
f x --<<.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，按所做的第一题计分。

22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2
C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,
)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．
23.[选修45：不等式选讲]（10分）
已知3
3
0,0,2a b a b >>+=，证明： （1）3
3()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．
参考答案
1．D
2．C
【解析】1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =
∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =，
3．B
【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112
-==-a S ，解得13a =．
4．B
【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半． 5．A
【解析】目标区域如图所示，当直线-2y =x+z 取到点()63--，时，所求z 最小值为15-．
6．D
【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．
由此把4份工作分成3份再全排得23
43C A 36⋅=
7．D
【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．
甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．
8．B
【解析】0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =． 9．A
【解析】取渐近线b
y x a =
，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，到直线距离为22
23b a b =
+ 得224c a =，24e =，2e =．
10．C
【解析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角
（异面线所成角为π02⎛
⎤ ⎥⎝
⎦，）
可知1152MN AB =
=
，112
2NP BC ==，
作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形． 1=PQ ，1
2
MQ AC =
ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠
14122172⎛⎫
=+-⨯⨯⋅-= ⎪⎝⎭
，7=AC
则7MQ =
，则MQP △中，22112
MP MQ PQ =+= 则PMN △中，222
cos 2MN NP PM PNM MH NP
+-∠=⋅⋅
又异面线所成角为π02⎛
⎤ ⎥⎝
⎦，，则余弦值为10．
11．A 【解析】()()21
21x f x x a x a e -'⎡⎤=+++-⋅⎣⎦
， 则()()3
2422101f a a e a -'-=-++-⋅=⇒=-⎡⎤⎣⎦，
则()()211x f x x x e -=--⋅，()()212x f x x x e -'=+-⋅， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-．
12．B
【解析】几何法：
如图，2PB PC PD +=（D 为BC 中点）， 则()
2PA PB PC PD PA ⋅+=⋅，
要使PA PD ⋅最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上， 则min 22PD PA PA PD ⋅=-⋅， 即求PD PA ⋅最大值， 又3
23PA PD AD +==⨯
=， 则2
233
24PA PD PA PD ⎛⎫+⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭≤， P
D C
B
A
则min 332242
PD PA ⋅=-⨯=-． 解析法：
建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点， ∴()
03A ，，()10B -，，()10C ，． 设()P x y ，， ()
3PA x y
=--，，
()
1PB x y =---，，
()1PC x y =--，，
∴()
222222PA PB PC x y y ⋅+=-+
则其最小值为33242⎛⎫
⨯-=- ⎪⎝⎭
，此时0x =，3y =．
13．1.96
【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n =
则()11000.020.98 1.96x D np p =-=⨯⨯= 14．1
【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ⎛⎫⎡
⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣
⎦⎝⎭，
令cos x t =且[]01t ∈， 则当3
t =时，()f x 取最大值1． 15．
2+1
n n 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．
则3123a a d =+=
求得11a =，1d =，则n a n =，()12
n n n S +=
16．6
【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，
，准线:2l x =-，
如图，M 为F 、N 中点，
l F
N M C B
A
O
y
x
故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =
又由定义ME MF =， 且MN NF =， ∴6
NF NM MF =+=
17.
【解析】（1）依题得：2
1cos sin 8sin
84(1cos )22
B B B B -==⋅=-． ∵22sin cos 1B B +=， ∴2216(1cos )cos 1B B -+=， ∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=， ∴15
cos 17
B =
， （2）由⑴可知8sin 17
B =． ∵2AB
C S =△， ∴1
sin 22ac B ⋅=， ∴18
2217
ac ⋅=， ∴17
2ac =
， ∵15cos 17
B =
， ∴22215217
a c
b a
c +-=，
∴22215a c b +-=， ∴22()215a c ac b +--=，
∴2361715b --=，
∴2b =．
18．
【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B
“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C
而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
（2）
由计算可得2K 的观测值为 ∵15.705 6.635> ∴()2 6.6350.001P K ≈≥
∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关．
（3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++=
80.0320.06817÷=
，8
5 2.3517
⨯≈ 50 2.3552.35+=，∴中位数为52.35．
19．【解析】
（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．
∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，∴1
2
EF AD ∥．
又∵90BAD ABC ∠=∠=︒，∴BC AD ∥． 又∵12AB BC AD ==
，∴1
2
BC AD ∥，∴EF BC ∥． ∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE BF ∥． 又∵BF PAB ⊂面，∴CE PAB 面∥
（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．
设1AB BC ==，则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，，，(010)D ，，，
(00P ，．
M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=︒，
∴MBM '△为等腰直角三角形．
∵POC △为直角三角形，OC =
，∴60PCO ∠=︒．
设MM a '=，3CM a '=
，3
1OM a '=-．∴3100M a ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭
，，． 2
22
231610133BM a a a a ⎛⎫'=++=+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭．∴3211OM a '=-=-． ∴21002M ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭，，，26102M ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，， 2611AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，，，(100)AB =，，．设平面ABM 的法向量11(0)m y z =，，． 116
0y z +
=，∴(062)m =-，， (020)AD =，，，(100)AB =，，．设平面ABD 的法向量为2(00)n z =，，，
(001)n =，，．
∴10
cos ,m n m n m n
⋅<>=
=
⋅． ∴二面角M AB D --的余弦值为10
． 20．
【解析】 ⑴设()P x y ，，易知(0)N x ，
(0)NP y =，又1022NM NP ⎛== ⎪⎝
⎭，
∴2M x y ⎛
⎫
⎪⎝⎭
，，又M 在椭圆上． ∴2
2122x += ⎪⎝⎭
，即222x y +=． (3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠，
⑵设点
由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ⋅=⋅---=，，， ()
2
1OP OQ OP OP OQ OP ⋅-=⋅-=，
∴2
13OP OQ OP ⋅=+=， ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ⋅+=-+=．
设直线OQ ：3
Q y y x =
⋅-，
因为直线l 与OQ l 垂直．
∴3l Q
k y =
故直线l 方程为3
()P P Q
y x x y y =
-+， 令0y =，得3()P Q P y y x x -=-， 1
3
P Q P y y x x -⋅=-， ∴1
3
P Q P x y y x =-⋅+，
∵33P Q P y y x =+，
∴1
(33)13
P P x x x =-++=-，
若0Q y =，则33P x -=，1P x =-，1P y =±， 直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-， 直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点．
21．
【解析】 ⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥，0x >，所以ln 0ax a x --≥．
令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11
ax g x a x x
-'=-
=
， 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <； 当0a >时，令()0g x '=，得1
x a
=． 当10x a <<
时，()0g x '<，()g x 单调减；当1
x a
>时，()0g x '>，()g x 单调增． 若01a <<，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调减，()110g g a ⎛⎫
<= ⎪⎝⎭；
若1a >，则()g x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调增，()110g g a ⎛⎫
<= ⎪⎝⎭；
若1a =，则()()min 110g x g g a ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
，()0g x ≥．
综上，1a =．
⑵()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >．
令()22ln h x x x =--，则()121
2x h x x x
-'=-=
，0x >． 令()0h x '=得1
2
x =
， 当102x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1
2
x >时，()0h x '>，()h x 单调递增．
所以，()min 112ln 202h x h ⎛⎫
==-+< ⎪⎝⎭
．
因为()
22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，122⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
，，
所以在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，上，()h x 即()f x '各有一个零点．
设()f x '在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上的零点分别为02x x ，
，因为()f x '在102⎛⎫
⎪⎝⎭
，上单调减，
所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当01
2
x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减．因此，0x 是()f x 的极大值点．
因为，()f x '在12⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减，
2x x >时，()f x 单调增，因此2x 是()f x 的极小值点．
所以，()f x 有唯一的极大值点0x ．
由前面的证明可知，201e 2x -⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，，则()()
24220e e e e f x f ---->=+>．
因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，则 又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<，所以()01
4
f x <． 因此，()201
e 4
f x -<<
． 22．
【解析】⑴设()()00M P ρθρθ，
，， 则0||OM OP ρρ==，．
解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为
()
2
224x y -+=．()0x ≠
⑵连接AC ，易知AOC △为正三角形．
||OA 为定值．
∴当高最大时，AOB S △面积最大，
如图，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于H 点 交圆C 于B 点， 此时AOB S △最大
23．
【解析】⑴由柯西不等式得：()()()
2
2
5
5
33
4a b a b a b ++=+=≥
1a b ==时取等号． ⑵∵332a b +=
∴()()
222a b a ab b +-+= ∴()()2
32a b b ab α⎡⎤++-=⎣⎦
∴()()3
32a b ab a b +-+=
∴()()
3
23a b ab
a b +-=+
由均值不等式可得：()()3
2
232a b a b ab a b +-+⎛⎫= ⎪+⎝⎭≤ ∴()()3
2232a b a b a b +-+⎛⎫ ⎪+⎝⎭
≤ ∴()()3
3
324
a b a b ++-≤
∴
()3
124
a b +≤ ∴2a b +≤ 当且仅当1a b ==时等号成立．
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题第一次月考数学（文科）试题
一、选择题（本题共60分，每小题5分）
1．已知全集(}.7,5,3,1{},6,4,2{},7.6,5,4,3,2,1{ A B A U 则===B C U ）等于 （ ）
A ．{2，4，6}
B ．{1，3，5}
C ．{2，4，5}
D ．{2，5}
2.如果函数2
()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，那么实数a 的取值范围是 （ ）
A 、3a ≤-
B 、3a ≥-
C 、a ≤5
D 、a ≥5
3.要得到2sin(2)3
y x π
=-
的图像, 需要将函数sin 2y x =的图像( ) A ．向左平移23π个单位 B ．向右平移23π
个单位
C ．向左平移3π个单位
D ．向右平移3π
个单位
4.圆1C ：222880x y x y +++-=与圆2C ：22
4420x y x y +-+-=的位置关系是（ ）
A. 相交
B. 外切
C. 内切
D.相离 5.下列各组函数是同一函数的是 （ ）
①()f x =
()g x =()f x x =与()g x =
③0
()f x x =与0
1()g x x
=
；④2()21f x x x =--与2
()21g t t t =--。

A. ①② B 、①③ C 、③④ D 、①④
6.已知2tan()5αβ+=
, 1tan()44πβ-=, 则tan()4
π
α+的值为( )
A ．16
B ．2213
C ．322
D ．1318
7.已知a ，b 满足：||3a =，||2b =，||4a b +=，则||a b -=( )
A B ．3 D ．10
8. 若定义运算b
a b
a b a
a b
<⎧⊕=⎨
≥⎩，则函数()212
log log f x x x =⊕的值域是（ ） A [)0,+∞ B (]0,1 C [)1,+∞ D R
9.直线3440x y --=被圆2
2
(3)9x y -+=截得的弦长为（ ）
A ．．4 C ．D ．2
10.如图，三棱柱111A B C ABC -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E
是BC 中点，则下列叙述正确的是( ) A ． 1CC 与1B E 是异面直线 B ． AC ⊥平面11ABB A C ．11//AC 平面1AB E
D ．A
E ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥ 11、函数()2
1x
x x f -=
（）
A ．在)1,1(-上单调递增
B ．在()0,1-上单调递增，在()1,0上单调递减
C ．在()1,1-上单调递减
D ．在()0,1-上单调递减，在()1,0上单调递增
12、若关于x 的方程x3 －3x+m=0在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．[－2,2]
B ．[0,2]
C ．[－2,0]
D ．(－∞,－2)∪(2, －∞) 二. 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．给出平面区域（如图），若使目标函数：z ＝ax ＋y （a ＞0）取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为．
14.不等式1
1
1x x -<+的解集是________________．
15．已知数列{}n a 的前n 项和2
9n S n n =-，则其通项
n a =；若它的第k 项满足58k a <<，则k =．
16．椭圆14
22
=+y x 长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本题满分12分) 在ABC ∆中
,,4
B A
C C π
=
==
A 1
B 1
C 1
A
B
E
C 13题
5，
C1
A
(Ⅰ)求sin A;
(Ⅱ) 记BC的中点为D,求中线AD的长.
18．(本题满分12分)
有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[12.5，15.5），6；[15.5，18.5），16；[18.5，21.5），18；[21.5，24.5），22；[24.5，
27.5），20；[27.5，30.5），10；[30.5，33.5），8.
⑴列出样本的频率分布表；
⑵画出频率分布直方图；
⑶估计数据小于30.5的频率.
19．（本小题满分14分）
已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切，②在直线y=x上截得弦长为7
2，③圆心在直线x－3y=0上，求圆C的方程。

20. （本小题满分14分）
在正方体
1111
ABCD A B C D
-中，M为
1
DD的中点，O为AC的中点，AB=2．
（I）求证：
1
//
BD平面ACM；
（II）求证：
1
B O⊥平面ACM；
（Ⅲ）求三棱锥
1
O AB M
-的体积．
21．（本小题满分14分）
设函数x
x
f
a
log
)
(=（1
,0≠
>a
a
a为常数且），已数列),
(
1
x
f),
(
2
x
f
),
(
n
x
f是公差为2的等差数列，且2
1
a
x=.
（Ⅰ）求数列}
{
n
x的通项公式；
（Ⅱ）当
2
1
=
a时，求证：
3
1
2
1
<
+
+
+
n
x
x
x .
22．(本题满分14分)
已知函数f(x)的导数)
('x
f满足1
)
(
0'<
<x
f，常数α为方程f(x)=x的实数根。

（Ⅰ）若函数f(x)的定义域为M，对任意的M
b
a⊆
]
,
[，存在]
,
[
b
a
x∈，使等式
)
(
)
(
)
(
)
(
'x
f
a
b
a
f
b
f-
=
-成立，求证：方程x
x
f=
)
(存在唯一的实数根α。

（Ⅱ）求证：当α
>
x时，总有x
x
f<
)
(成立；
（Ⅲ）对任意
1
x，
2
x，若满足2
1
<
-α
x，2
2
<
-α
x,求证：4
)
(
)
(
2
1
<
-x
f
x
f
饶平县凤洲中学高三第一次月考数学（文科）试题参考答案
一、选择题（本题共60分，每小题5分） 112 AADAC CDBCD AA
二. 填空题（本题共20分，每小题5分） 13. 3
5 . 14. ()(
)
+∞⋃-,21,2.
15. 2n10 ; 8 . 16.
25
16
. 三、解答题： 17．解: (Ⅰ)
由cos C =
, C
是三角形内角，得sin C ==……………..2分 ∴sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+………………………………………..5分
=
=…………………………………………………………6分 (Ⅱ) 在ACD ∆中,由正弦定理，
sin sin BC AC
A B =
，sin sin 10
2
AC BC A B ==6= …………………………………………………………………………………………………..9分
1
32
AC CD BC ==
=
,cos C =, 由余弦定理得
:AD =
=…………………………………12分 18．解：（1
(2)频率分布直方图如下: (3)数据大于等于30.5的频率是0.08,∴小于30.5的频率是0.92,
∴数据小于30.5的概率约为0.92 12分 19．设所求的圆C 与直
线y=x 交于AB
∵圆心C 在直线x －3y=0上， ∴设圆心为C
（3a ，a ） ……2分
∵圆与y 轴相切， ∴R=3|a| 而圆心C 到直线x
－y=0
的
距
离
||22
|
3|||a a a CD =-=
…………6分
又∵7||,72||==BD AB 在Rt △CBD 中，R2－|CD|2=（7）2…………8分 ∴33,1,1,7292
2
2
±=±===-a a a a a …………10分
∴圆心的坐标C 分别为（3，1）和（－3，－1）。

…………12分 故所求圆的方程为 9)1()3(9)1()3(2
2
2
2
=+++=-+-y x y x 或……14分 20．（I ）证明：连结BD ，则BD 与AC 的交点为O ，
,AC BD 为正方形的对角线，故O 为BD 中点；
连结MO ，
,O M 分别为1,DB DD 的中点，
1//OM BD ∴， … 2分
OM ⊂平面ACM ，1BD ⊄平面ACM … 3分
1//BD ∴平面ACM ． … 4分
（II ）
AC BD ⊥，1DD ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，
∴1AC DD ⊥；且1BD
DD D =，∴AC ⊥平面11BDD B ………6分
1OB ⊂平面11BDD B ，∴1B O AC ⊥，……………… 7分
连结1B M ，在1B MO ∆
中，2
2
213MO =+
=，
2
22
126B O =+
=
，(2
2
2
119B M
=+=，
∴222
11B M MO B O =+，1B O OM ∴⊥…… 10分
频率 组距
又OM AC O =，∴1B O ⊥平面AMC ；…… 11分
法二：2
1
1==BB DO BO MD
, ∠ODM=∠B1BO=Rt ∠, ∴ΔMDO ∽ΔOBB1 , ∴∠MOD=∠OB1B, 190MOD B OB ︒
∠+∠=，∴1B O OM ⊥． （Ⅲ）求三棱锥1O AB M -的体积
∴1111
11332
O AB M B AOM AOM V V OB S OA OM --∆==⨯⨯=⨯⨯，
11
132
==．…………… 14分 法二：可证AO ⊥平面1OB M ，
则11111
1111133232
O AB M A OB M OB M V V AO S OB OM --∆==⨯⨯=⨯⨯==
21．解：（Ⅰ）n n x f d a x f n a 22)1(2)(2
2
log )(2
1=⋅-+=∴===
n n n a a x n
x 22log :==即 6分
（Ⅱ）当21=a 时，n
n x ⎪⎭
⎫
⎝⎛=41
31
411314
1141
414121<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++n
n
n x x x 14分
22．解：（Ⅰ）反证法，假设方程x x f =)(有异于α的实根β，即ββ=)(f ，不妨设βα<，在α与β之间存在一点c ，βα<<c ，由题设知)()()()(c f f f '-=-=-αβαβαβ，则
1)(='c f 与已知矛盾。

4分
（Ⅱ）令)()(x f x x -=ϕ，则0)(1)('
'
>-=x f x ϕ，从而)(x ϕ为增函数
0)()()(=-=>⇒>αααϕϕαf x x ，所以，当α>x 时，总有x x f <)(成立； 8分
（Ⅲ）不妨设x1<x2, 因为1)(0'
<<x f ，所以f(x)为增函数，从而f(x1)<f(x2)又由01)('
<-x f ，
得 f(x)x 为减函数，所以f(x1) x1>f(x2) x2， 0<f(x 2) f(x1)< x2 x1, 1212)()(x x x f x f -≤- ,又
2121()()x x x x αα-=-+-214x x αα≤-+-<所以，4)()(21<-x f x f 14分。