3.1.2 课时1 椭圆的简单几何性质 课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

叫作椭圆的离心率．
因为 > > ，所以 < < ．
注：因为
=

+
，所以
=


=

( ) =

−

=
−
越接近，越接近， = − 越小，椭圆越扁平；
越接近，越接近，越接近，这时椭圆就越接近于圆.

.

知识梳理
焦点的位置


+


= > > 位于四条直线 =
±， = ±，所围成的矩形内．
即 b x b， a y a．
讲授新知
2.顶点
椭圆的两条对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点．

问题4：你能写出椭圆

+


= > > 的四个顶点坐标吗？
图象是否为轴对称图形？如果是，找出对称轴．
y
P2 ( x, y )
平面上任意一个椭圆都是轴对称图形，两焦点连线是
它的对称轴
两焦点所连线段的垂直平分线也是它的对称轴
由图可知，椭圆关于原点中心对称，坐标原点叫
作椭圆的对称中心．
P( x, y )
x
O
P1 ( x, y )
讲授新知
4.离心率
问题6：观察下图，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁
(，)都满足不等式：
x2
y2
2
2
2
2
1， 2 1，即 x a ，y b ，
2
a
b
所以 a x a， b y b．
这说明椭圆位于四条直线 x = －a ，x = a ，
y = －b ，y = b所围成的矩形内．
1.范围
追问：焦点落在轴的情况呢？
同理可知，椭圆
学习目标
1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.(重点)
2.能运用椭圆的简单几何性质求椭圆的标准方程.(难点)
3.了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响.(重点)
复习导入
问题1 椭圆的定义是什么?
平面内到两个定点、的距离之和等于常数（大于||）的点的轨
迹叫做椭圆
+ = ( > )
利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质
从椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等从整体
上把握曲线的形状、大小和位置
1.范围
问题3：范围：椭圆图象分布范围是否有限？如果有限，最左、最右、最低、
最高分别到什么位置？找出最左、最右、最低、最高的点．
由椭圆的标准方程


+


= > > 可知，椭圆上任意一点的坐标
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
x2 y2
2＋ 2＝1(a>b>0)
___________________
a b
y2 x2
2＋ 2＝1(a>b>0)
_________________
a b
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
____________________
－b≤x≤b，－a≤y≤a
____________________
(－，)，(，)，(，－)，(，)是椭圆的四个顶点，它们
分别是椭圆最左、最右、最低、最高的点．
椭圆的长轴：线段
长为
叫作长半轴长
椭圆的短轴：线段
长为
叫作短半轴长
讲授新知
追问：椭圆



+

= > > 的四个顶点坐标呢？
(4)写性质:按要求写出椭圆的简单几何性质.
巩固训练
1.已知椭圆

：

+


=，

：


问题2 椭圆的标准方程是什么?
焦点在轴上


+


= >>
焦点在轴上

+ = >>



讲授新知
课前预习，思考下列问题
问题3 猜想一下椭圆范围?
问题4 椭圆的顶点，长轴，短轴分别是是什么?
问题5 椭圆的离心率是什么，如何理解椭圆的离心率?
思考 如何研究椭圆的几何性质？从哪些方面去研究？
离心率 =


=

.

两个焦点坐标分别是(−，)和(，)
四个顶点坐标分别是(− ，)、(，)、(， − )、 (，)
归纳总结
确定椭圆几何性质的四个步骤
(1)化方程:把椭圆方程化成标准方程.
(2)定位置:根据标准方程分母的大小关系确定焦点位置.
(3)求参数:写出a,b的值,并求出c的值.
2a
短轴长＝ 2b ，长轴长＝____
(± a2－b2，0)
(0，± a2－b2)
|F1F2|＝2 a2－b2
对称轴：x轴、y轴
原点
对称中心：_____
（1）椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的
距离最大的点是长轴的两个端点．（2）椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分
别是长轴的两个端点，最大值为 a + c ，最小值为 a − c ． （3）通径：过椭圆
平程度相同.扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭
圆的扁平程度吗？
讲授新知
如图，利用信息技术，保持长半轴长不变，改变
椭圆的半焦距，可以发现，越接近，椭圆越扁平.
保持不变，改变的大小，则越接近，椭圆越扁
平；而当，扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状
不变.
把半焦距与长半轴长的比 =
(－，)，(，)，(，－)，(，)是椭圆的四个顶点
分别是椭圆最左、最右、最低、最高的点．
椭圆的长轴：线段
长为
叫作长半轴长
椭圆的短轴：线段
长为
叫作短半轴长
3.对称轴与对称中心
问题5：对称性：椭圆图象是否为中心对称图形？如果是，找出对称中心．
图形
知识梳理
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
A
_____________________
1(－a，0)，A2(a，0)，
A1(0，－a)，A2(0，a)，
_____________________
B
_____________________
1(0，－b)，B2(0，b)
B1(－b，0)，B2(b，0)
_____________________
注意
焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，其长为
2b2
a
；过焦点最长的弦为长轴．
例题讲解
例4.求椭圆 + = 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的
坐标.

解:把原方程化成标准方程，得

+


=轴的长分别是 = 和 = ，