广东省中山市2019-2020学年中考第四次大联考数学试卷含解析

广东省中山市2019-2020学年中考第四次大联考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．不等式组12342x x +>⎧⎨-≤⎩
的解集表示在数轴上正确的是（ ） A ． B ． C ． D ．
2．神舟十号飞船是我国“神州”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为（ ）
A ．2.8×103
B ．28×103
C ．2.8×104
D ．0.28×105
3．如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，数轴上有M 、N 、P 、Q 四个点，其中点P 所表示的数为a ，则数-3a 所对应的点可能是( )
A ．M
B ．N
C ．P
D ．Q
5．如图，直线a ∥b ，一块含60°角的直角三角板ABC （∠A ＝60°）按如图所示放置．若∠1＝55°，则∠2的度数为（ ）
A ．105°
B ．110°
C ．115°
D ．120°
6．如图，已知两个全等的直角三角形纸片的直角边分别为a 、b ()a b ≠，将这两个三角形的一组等边重合，拼合成一个无重叠的几何图形，其中轴对称图形有（ ）
A．3个；B．4个；C．5个；D．6个．
7．下列算式的运算结果正确的是（）
A．m3•m2=m6B．m5÷m3=m2（m≠0）
C．（m﹣2）3=m﹣5D．m4﹣m2=m2
8．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（）
A．120元B．100元C．80元D．60元
9．π这个数是( )
A．整数B．分数C．有理数D．无理数
10．若x＝－2 是关于x的一元二次方程x2－5
2
ax＋a2＝0的一个根，则a的值为()
A．1或4 B．－1或－4 C．－1或4 D．1或－4
11．估计112
-的值在（）
A．0到l之间B．1到2之间C．2到3之间D．3到4之间
12．由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，比较它的正视图、左视图和俯视图的面积，则（）
A．三个视图的面积一样大B．主视图的面积最小
C．左视图的面积最小D．俯视图的面积最小
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件_____．
14．如图，从直径为4cm的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90°的扇形OAB，且点O、A、B在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是_____cm．
15．16的算术平方根是 ．
16．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=12，若以点A 为圆心， AC 为半径的弧交AB 于点E ，以点B 为圆心，BC 为半径的弧交AB 于点D ，则图中阴影部分图形的面积为__（保留根号和π）
17．如图，直线m ∥n ，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，则∠1= 度．
18．分解因式：（2a+b ）2﹣（a+2b ）2= ．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK 环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AA 1、BB 1、CC 1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员．若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AA 1的概率；请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率．
20．（6分）为响应学校全面推进书香校园建设的号召，班长李青随机调查了若干同学一周课外阅读的时间t (单位：小时)，将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图(A ：07t <≤，B ：714t <≤，C ：1421t <≤，D ：21t >)，根据图中信息，解答下列问题：
(1)这项工作中被调查的总人数是多少？
(2)补全条形统计图，并求出表示A 组的扇形统计图的圆心角的度数；
(3)如果李青想从D 组的甲、乙、丙、丁四人中先后随机选择两人做读书心得发言代表，请用列表或画树状图的方法求出选中甲的概率．
21．（6分）如图，△ACB 与△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D 为AB 边上的一点， （1）求证：△ACE ≌△BCD ；
（2）若DE=13，BD=12，求线段AB 的长．
22．（8分）先化简，再求值：（1﹣11a +）÷221a a -，其中a=﹣1． 23．（8分）计算：033.14 3.1412cos452π⎛⎫-+÷+- ⎪ ⎪⎝⎭
o ()()12009211-+-+-. 24．（10分）已知：AB 为⊙O 上一点，如图，12AB =，43BC
=，BH 与⊙O 相切于点B ，过点C 作
BH 的平行线交AB 于点E.
（1）求CE 的长；
（2）延长CE 到F ，使2EF =BF 并延长BF 交⊙O 于点G ，求BG 的长；
（3）在（2）的条件下，连结GC 并延长GC 交BH 于点D ，求证：BD BG =
25．（10分）已知：如图，梯形ABCD ，DC ∥AB ，对角线AC 平分∠BCD ，点E 在边CB 的延长线上，
EA⊥AC，垂足为点A．
（1）求证：B是EC的中点；
（2）分别延长CD、EA相交于点F，若AC2=DC•EC，求证：AD：AF=AC：FC．
26．（12分）为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．（要求：不写已知、
求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）
27．（12分）为了解某校落实新课改精神的情况,现以该校九年级二班的同学参加课外活动的情况为样本,对其参加“球类”、“绘画类”、“舞蹈类”、“音乐类”、“棋类”活动的情况进行调查统计,并绘制了如图所示的统计图.
(1)参加音乐类活动的学生人数为人,参加球类活动的人数的百分比为
(2)请把图2(条形统计图)补充完整;
(3)该校学生共600人,则参加棋类活动的人数约为.
(4)该班参加舞蹈类活动的4位同学中,有1位男生(用E表示)和3位女生(分别用F,G,H表示),先准备从中选取两名同学组成舞伴,请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率.
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．C
【解析】
【详解】
根据题意先解出
12
342
x
x
+>
⎧
⎨
-≤
⎩
的解集是，
把此解集表示在数轴上要注意表示时要注意起始标记为空心圆圈，方向向右；
表示时要注意方向向左，起始的标记为实心圆点，
综上所述C的表示符合这些条件.
故应选C.
2．C
【解析】
试题分析：28000=1.1×1．故选C．
考点：科学记数法—表示较大的数．
3．A
【解析】
【分析】
根据三视图的定义即可判断．
【详解】
根据立体图可知该左视图是底层有2个小正方形，第二层左边有1个小正方形．故选A．
【点睛】
本题考查三视图，解题的关键是根据立体图的形状作出三视图，本题属于基础题型．
4．A
【解析】
解：∵点P所表示的数为a，点P在数轴的右边，∴-3a一定在原点的左边，且到原点的距离是点P到原点距离的3倍，∴数-3a所对应的点可能是M，故选A．
点睛：本题考查了数轴，解决本题的关键是判断-3a一定在原点的左边，且到原点的距离是点P到原点距离的3倍．
5．C
【解析】
【分析】
如图，首先证明∠AMO=∠2，然后运用对顶角的性质求出∠ANM=55°；借助三角形外角的性质求出
∠AMO即可解决问题．
【详解】
如图，对图形进行点标注.
∵直线a∥b，
∴∠AMO=∠2；
∵∠ANM=∠1，而∠1=55°，
∴∠ANM=55°，
∴∠2=∠AMO=∠A+∠ANM=60°+55°=115°，
故选C.
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
6．B
【解析】
分析：直接利用轴对称图形的性质进而分析得出答案．
详解：如图所示：将这两个三角形的一组等边重合，拼合成一个无重叠的几何图形，其中轴对称图形有4个．
故选B．
点睛：本题主要考查了全等三角形的性质和轴对称图形，正确把握轴对称图形的性质是解题的关键．
7．B
【解析】
【分析】
直接利用同底数幂的除法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【详解】
A、m3•m2=m5，故此选项错误；
B、m5÷m3=m2（m≠0），故此选项正确；
C、（m-2）3=m-6，故此选项错误；
D、m4-m2，无法计算，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了同底数幂的除法运算以及合并同类项法则、积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
8．C
【解析】
【详解】
解：设该商品的进价为x元/件，
依题意得：（x+20）÷5
10
=200，解得：x=1．
∴该商品的进价为1元/件．
故选C．
9．D
【解析】
【分析】
由于圆周率π是一个无限不循环的小数，由此即可求解．
【详解】
解：实数π是一个无限不循环的小数．所以是无理数．
故选D．
【点睛】
本题主要考查无理数的概念，π是常见的一种无理数的形式，比较简单．10．B
【解析】
【详解】
试题分析：把x=﹣2代入关于x的一元二次方程x2﹣5
2
ax+a2=0
即：4+5a+a2=0
解得：a=-1或-4，
故答案选B．
考点：一元二次方程的解；一元二次方程的解法．
11．B
【解析】
∵9<11<16,
∴34
<<,
∴122
<-<
故选B.
12．C
【解析】
试题分析：根据三视图的意义，可知正视图由5个面，左视图有3个面，俯视图有4个面，故可知主视图的面积最大.
故选C
考点：三视图
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．AC=BD．
【解析】
试题分析：添加的条件应为：AC=BD，把AC=BD作为已知条件，根据三角形的中位线定理可得，HG平行且等于AC的一半，EF平行且等于AC的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到HG和EF平行且相等，所以EFGH为平行四边形，又EH等于BD的一半且AC=BD，所以得到所证四边形的邻边EH与HG相等，所以四边形EFGH为菱形．
试题解析：添加的条件应为：AC=BD．
证明：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG=1
2
AC；同理EF∥AC且EF=
1
2
AC，同
理可得EH=1
2 BD，
则HG∥EF且HG=EF，
∴四边形EFGH为平行四边形，又AC=BD，所以EF=EH，∴四边形EFGH为菱形．
考点：1．菱形的性质；2．三角形中位线定理．
14．
2 2
【解析】【分析】
设圆锥的底面圆的半径为r，由于∠AOB＝90°得到AB为圆形纸片的直径，则OB＝2
22
AB=cm，
根据弧长公式计算出扇形OAB的弧AB的长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长进行计算．
【详解】
解：设圆锥的底面圆的半径为r，
连结AB，如图，
∵扇形OAB的圆心角为90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AB为圆形纸片的直径，
∴AB＝4cm，
∴OB＝2
22
AB=cm，
∴扇形OAB的弧AB的长＝9022
2
180
π⋅⋅
=π，
∴2πr＝2π，
∴r＝
2
2
（cm）．
故答案为
2
2
．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理和弧长公式．
15．4
正数的正的平方根叫算术平方根，0的算术平方根还是0；负数没有平方根也没有算术平方根 ∵2(4)16±=
∴16的平方根为4和-4
∴16的算术平方根为4
16．【解析】
【分析】
根据扇形的面积公式：S=2
360
n R π分别计算出S 扇形ACE ，S 扇形BCD ，并且求出三角形ABC 的面积，最后由S 阴影部分=S 扇形ACE +S 扇形BCD -S △ABC 即可得到答案．
【详解】
S 阴影部分=S 扇形ACE +S 扇形BCD -S △ABC ，
∵S 扇形ACE =
60362360
π⨯⨯=12π， S 扇形BCD =3036360
π⨯=3π，
S △ABC =12×6×
∴S 阴影部分.
故答案为.
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握扇形的面积公式.
17．1．
【解析】
试题分析：∵△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=1°，∵m ∥n ，∴∠1=1°；故答案为1．
考点：等腰直角三角形；平行线的性质．
18．3（a+b ）（a ﹣b ）．
【解析】
（2a+b ）2﹣（a+2b ）2=4a 2+4ab+b 2-(a 2+4ab+4b 2)= 4a 2+4ab+b 2-a 2-4ab-4b 2=3a 2-3b 2=3(a 2-b 2)=3(a+b)(a-b)
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）13；（2）13
.
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数和甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵共有三根细绳，且抽出每根细绳的可能性相同，
∴甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，恰好抽出细绳AA 1的概率是=13； （2）画树状图：
共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数为3种情况， 则甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率是3193
=． 20．（1）50人；（2）补全图形见解析，表示A 组的扇形统计图的圆心角的度数为108°；（3）
12. 【解析】
分析：(1)、根据B 的人数和百分比得出样本容量；(2)、根据总人数求出C 组的人数，根据A 组的人数占总人数的百分比得出扇形的圆心角度数；(3)、根据题意列出树状图，从而得出概率．
详解：（1）被调查的总人数为19÷
38%=50人； （2）C 组的人数为50﹣（15+19+4）=12（人），
补全图形如下：
表示A 组的扇形统计图的圆心角的度数为360°
×1550
=108°； （3）画树状图如下，
共有12个可能的结果，恰好选中甲的结果有6个， ∴P （恰好选中甲）=61122
=.
点睛：本题主要考查的是条形统计图和扇形统计图以及概率的计算法则，属于基础题型．理解频数、频率与样本容量之间的关系是解题的关键．
21．（3）证明见解析; （3）AB=3.
【解析】
【分析】
（3）由等腰直角三角形得出AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，得出∠BCD=∠ACE，根据SAS 推出△ACE≌△BCD即可；
（3）求出AD=5，根据全等得出AE=BD=33，在Rt△AED中，由勾股定理求出DE即可．
【详解】
证明：（3）如图，
∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，
∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，在△BCD和△ACE中，
∵BC=AC，∠BCD=∠ACE，CD=CE，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
（3）由（3）知△BCD≌△ACE，
则∠DBC=∠EAC，AE=BD=33，
∵∠CAD+∠DBC=90°，
∴∠EAC+∠CAD=90°，即∠EAD=90°，
∵AE=33，ED=33，
∴22
，
1312
∴AB=AD+BD=33+5=3．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，也考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用.
考点：3．全等三角形的判定与性质；3．等腰直角三角形．
22．原式=
12a -=﹣2． 【解析】
分析：原式利用分式混合运算顺序和运算法则化简，再将a 的值代入计算可得．
详解：原式=112()+11(1)(1)
a a a a a a +-÷++- =
(1)(1)·12a a a a a
+-+ =12a -， 当a=﹣1时，
原式=312
--=﹣2． 点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则． 23．π
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质及乘方的定义分别计算后，再合并即可
【详解】
原式()3.14 3.141π=--+÷ ()221221
-⨯+-- 213.14 3.142121
π=-+-- 2211π=-
π=.
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
24． 2；（2）2；（3）证明见解析.
【分析】
（1）只要证明△ABC ∽△CBE ，可得
BC AB CE AC
=，由此即可解决问题；
（2）连接AG ,只要证明△ABG ∽△FBE ，可得BG BE AB BF =，由BE 4，再求出BF ，即可解决问题；
（3）通过计算首先证明CF ＝FG ，推出∠FCG ＝∠FGC ，由CF ∥BD ，推出∠GCF ＝∠BDG ，推出∠BDG ＝∠BGD 即可证明．
【详解】
解：（1）∵BH 与⊙O 相切于点B ，
∴AB ⊥BH ，
∵BH ∥CE ，
∴CE ⊥AB ，
∵AB 是直径，
∴∠CEB=∠ACB=90°，
∵∠CBE=∠ABC ，
∴△ABC ∽△CBE ， ∴BC AB CE AC
=，
∵=
∴．
（2）连接AG ．
∵∠FEB=∠AGB=90°，∠EBF=∠ABG ，
∴△ABG ∽△FBE ， ∴BG BE AB BF
=，
∵，
∴=， ∴
12BG =，
∴．
（3）易知，
∴GF=BG ﹣，
∴∠FCG=∠FGC，
∵CF∥BD，
∴∠GCF=∠BDG，
∴∠BDG=∠BGD，
∴BG=BD．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
25．（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质结合角平分线的性质可得出∠BCA=∠BAC，进而可得出BA=BC，根据等角的余角相等结合等角对等边，即可得出AB=BE，进而可得出BE=BA=BC，此题得证；
（2）根据AC2=DC•EC结合∠ACD=∠ECA可得出△ACD∽△ECA，根据相似三角形的性质可得出
∠ADC=∠EAC=90°，进而可得出∠FDA=∠FAC=90°，结合∠AFD=∠CFA可得出△AFD∽△CFA，再利用相似三角形的性质可证出AD：AF=AC：FC．
【详解】
（1）∵DC∥AB，∴∠DCA=∠BAC．
∵AC平分∠BCD，∴∠BCA=∠BAC=∠DCA，∴BA=BC．
∵∠BAC+∠BAE=90°，∠ACB+∠E =90°，∴∠BAE=∠E，∴AB=BE，∴BE=BA=BC，∴B是EC的中点；
（2）∵AC2=DC•EC，∴AC DC EC AC
．
∵∠ACD=∠ECA，∴△ACD∽△ECA，∴∠ADC=∠EAC=90°，∴∠FDA=∠FAC=90°．又∵∠AFD=∠CFA，∴△AFD∽△CFA，∴AD：AF=AC：FC．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用等角对等边找出BA=BC、BE=BA；（2）利用相似三角形的判定定理找出△AFD∽△CFA．
26．解：作AB的垂直平分线，以点C为圆心，以AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于点M即可．
【解析】
【详解】
易得M在AB的垂直平分线上，且到C的距离等于AB的一半．
27．（1）7、30%;（2）补图见解析；（3）105人；（3）1 2
【解析】
试题分析：（1）先根据绘画类人数及其百分比求得总人数，继而可得答案；
（2）根据（1）中所求数据即可补全条形图；
（3）总人数乘以棋类活动的百分比可得；
（4）利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．
试题解析：解：（1）本次调查的总人数为10÷25%=40（人），∴参加音乐类活动的学生人数为40×17.5%=7
人，参加球类活动的人数的百分比为12
40
×100%=30%，故答案为7，30%；
（2）补全条形图如下：
（3）该校学生共600人，则参加棋类活动的人数约为600×7
40
=105，故答案为105；
（4）画树状图如下：
共有12种情况，选中一男一女的有6种，则P（选中一男一女）=
6
12
=
1
2
．
点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．。