2018年秋高中数学 课时分层作业14 导数的几何意义 新人教A版选修1-1

课时分层作业(十四) 导数的几何意义
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标为(1,2)，则f ′(1)的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．2
B [∵二次函数f (x )的图象的顶点坐标为(1,2)，∴过点(1,2)的切线平行于x 轴，即切线的斜率为0，∴f ′(1)＝0，选B.]
2.已知函数y ＝f (x )的图象如图3­1­9，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )
图3­1­9
A ．f ′(x A )>f ′(x
B ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )
C ．f ′(x A )＝f ′(x B )
D ．不能确定
B [f ′(x A )与f ′(x B )分别表示函数图象在点A ，B 处的切线斜率，故f ′(x A )<f ′(x B )．] 3．在曲线y ＝x 2
上切线倾斜角为π4的点是( )
A ．(0,0)
B ．(2,4)
C ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，116 D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，14 D [∵y ＝x 2
，
∴k ＝y ′＝lim Δx →0 Δy
Δx ＝lim Δx →0
x ＋Δx 2－x 2
Δx
＝lim Δx →0
(2x ＋Δx )＝2x ，
∴2x ＝tan π
4＝1，
∴x ＝12，则y ＝14
.]
4．若曲线y ＝x 2
＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )
【导学号：97792130】
A ．a ＝1，b ＝1
B ．a ＝－1，b ＝1
C ．a ＝1，b ＝－1
D ．a ＝－1，b ＝－1
A [由题意，知k ＝y ′|x ＝0 ＝lim Δx →0
＋Δx
2
＋a ＋Δx ＋b －b
Δx
＝1，∴a ＝1.
又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A.]
5．若曲线y ＝x 2
上的点P 处的切线与直线y ＝－12x ＋1垂直，则过点P 处的切线方程为
( )
A ．2x －y －1＝0
B ．2x －y －2＝0
C ．x ＋2y ＋2＝0
D ．2x －y ＋1＝0
A [与直线y ＝－1
2
x ＋1垂直的直线的斜率为k ＝2.
由y ＝x 2
知，y ′＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2
Δx ＝lim Δx →0
(2x ＋Δx )＝2x .
设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则2x 0＝2，即x 0＝1，故y 0＝1.
所以过P (1,1)且与直线y ＝－1
2x ＋1垂直的直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝
0.]
二、填空题
6．已知函数y ＝f (x )在点(2,1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则y ′|x ＝2等于________．
3 [因为直线3x －y －2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y ′|x ＝2＝3.] 7．已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)＝__________.
2 [∵(1，f (1))在直线x －2y ＋1＝0上，∴1－2f (1)＋1＝0，∴f (1)＝1.又f ′(1)＝12，∴f (1)＋2f ′(1)＝1＋2×1
2
＝2.] 8．已知函数y ＝ax 2
＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2.则b
a
＝__________. 2 [由导数的几何定义知y ′|x ＝1＝lim Δx →0
a ＋Δx
2
＋b －a ＋b
Δx ＝lim Δx →0
(2a ＋a Δx )
＝2a ＝2，
∴a ＝1，把切点(1,3)代入函数y ＝ax 2
＋b 得3＝a ＋b ，∴b ＝3－a ＝2，故b
a
＝2.] 三、解答题
9．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线.
【导学号：97792131】[解] 曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率
k＝y′|x＝1＝lim
Δx→0＋Δx2－＋Δx＋2－3＋4－2
Δx
＝lim
Δx→0
(3Δx＋2)＝2，
∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2，
由点斜式得y－2＝2(x＋1)，
即2x－y＋4＝0.
所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.
10．已知曲线y＝2x2－7，求：
(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?
(2)过点P(3,9)与曲线相切的切线方程．
[解] y′＝lim
Δx→0Δy
Δx
＝lim
Δx→0
x＋Δx2－7]－x2－
Δx
＝
lim
Δx→0
(4x＋2Δx)＝4x.
(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，
∴切点坐标为(1，－5)．
(2)由于点P(3,9)不在曲线上．
设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，
故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．
将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，
得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)，
解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．
从而所求切线方程为8x－y－15＝0和16x－y－39＝0.
[能力提升练]
1．若直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点P(1,3)，则b等于( )
A．3 B．－3 C．5 D．－5
A[∵点P(1,3)既在直线上又在曲线上，
∴3＝k＋1，且3＝1＋a＋b，即k＝2，a＋b＝2.根据导数的定义知y＝x3＋ax＋b的导数为y′＝3x2＋a，
∴3×12＋a＝k，∴a＝－1，b＝3.]
2．已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图3­1­10所示，则该函数的图象是( )
图3­1­10
B [由函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象自左至右先增后减，可知函数y ＝f (x )图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．]
3．如图3­1­11，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝__________；lim Δx →0
f
＋Δx －f
Δx
＝__________.(用数
字作答)
图3­1­11
2 －2 [由图象知f (0)＝4，f (4)＝2，故f (f (0))＝2， 又f ′(1)＝lim Δx →0
f
＋Δx －f
Δx
＝k AB .且k AB ＝－2
故lim Δx →0
f
＋Δx －f
Δx
＝－2.]
4．若曲线y ＝2x 2
－4x ＋M 与直线y ＝1相切，则M ＝__________. 3 [y ＝2x 2
－4x ＋M ＝2(x －1)2
＋M －2 由题意知M －2＝1，即M ＝3.]
5．已知曲线y ＝x 2
＋1，是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【导学号：97792132】
[解] 由Δy
Δx
＝
x ＋Δx
2
＋1－x 2
＋Δx
＝2x ＋Δx ，
得y ′＝lim Δx →0
Δy
Δx ＝lim Δx →0
(2x ＋Δx )＝2x .
设切点为P (x 0，y 0)，则切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0， 由点斜式得所求切线方程为：
y －y 0＝2x 0(x －x 0)．
又因为切线过点(1，a )，且y 0＝x 2
0＋1， 所以a －(x 2
0＋1)＝2x 0(1－x 0)， 即x 2
0－2x 0＋a －1＝0. 因为切线有两条，
所以Δ＝(－2)2
－4(a －1)>0，解得a <2.
故存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线，且a 的取值范围是(－∞，2).。