5.2任意角的三角比(1)

5.2任意角的三角比（1）
教学目标：
掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；掌握正弦、余弦、正切等三角比对角α的条件要求；
了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；
通过任意角的三角比的建立过程及三角函数线的讲解，使学生初步领会用代数方法解决几何问题的数形结合思想.
教学重难点：
重点：任意角的三角比的定义
难点：用单位圆中的有向线段表示角的正弦、余弦、正切值.
教学过程：
在初中我们学习了锐角的三角比，它是在直角三角形的条件下，通过角α的对边、邻边与斜边之间两两的比值来定义的.
sin cos MP OM OP OP αααααα====的对边的邻边的斜边的斜边 tan cot MP OM OM MP
αααααα====的对边的邻边的邻边的对边 现在把锐角α置于平面直角坐标系xOy 中，锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.在角α的终边上任取P ，设它的坐标为(x ,y )，它与原点的距离220r x y =+>，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为x ,
线段MP 的长度为y ，则
sin ,cos ,MP y OM x OP r OP r
αα==== tan ,cot MP y OM x OM x MP y αα==== 于是锐角α的三角比能用其终边上点P (x ,角比的值与角的终边上点P 的位置无关），这种方法同样可用于定义任意角的三角比。

设α是一个任意角，在α的终边上任取除原点外的一个点P (x ,y )，则P 与原点的距离
y x
αO M P
022>+=y x r
我们规定：sin y r α=； cos x r α=； tan y x
α=； 当角α的终边在y 轴上时，即()2k k Z παπ=+
∈时，终边上任意一点P 的横坐标x 都为0，此时tan α无意义.所以tan y x
α=，()2k k Z παπ≠+∈. 除了正弦、余弦、正切外，还有余切cot α、正割sec α和余割csc α，我们规定：
cot x y
α=，()k k Z απ≠∈ sec r x α=，()2
k k Z παπ≠+∈ csc r y α=
，()k k Z απ≠∈ 例1.已知角α的终边经过点P (-2,1)，求角α的六个三角比的值.（教材P38例1）
例2.求角
4
7π的正弦、余弦和正切的值。

（教材P39页例2）
练习1.求角0，2π
，π，32
π的6个三角比的值（教材P39页表3）
三角比的一种几何表示
单位圆：以原点为圆心，半径等于单位长度1的圆叫做单位圆
有向线段（非严格定义）：带有方向的线段叫做有向线段。

坐标轴是规定了方向的直线，一条在坐标轴上或与坐标轴平行的线段也随之有两种相反的方向。

设点P (x ,y )是平面直角坐标系内除坐标原点外的任意一点，过P 作x 轴的垂线，垂足为M 。

当有向线段
且有正值x ；当有向线段OM 与x P 点横坐标），所以OM =x ；
当有向线段MP 与y 轴正方向同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当有向线段MP 与y 轴正方向反向时，MP 的方向为负向，且有负值y ，（y 为P 点横坐标），所以MP =y .
设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P (x ,y ),过P 作x 轴的垂线，垂足为M ; 则由任意角三角比的定义有：
sin 1y y y MP r α====；cos 1
x x x OM r α====
有向线段MP 、OM 分别叫做角α的正弦线、余弦线。

过点A (1,0)作单位圆的切线，设它与角α的终边（当α在第一、四象限）或其反向延长线（当α在第二、三象限）相交于T 。

则由任意角的三角比的定义有：
tan y MP AT AT x OM OA
α==== （第三个等号由三角形形似得到，其中MP 、OM 、AT 、OA 均为有向线段）
有向线段AT 叫做角α的正切线。

角α的正弦线、余弦线、正切线通称为三角函数线，三角函数线的引入为后面的学习带来许多方便。

例3.利用单位圆做出
23π的正弦线、余弦线和正切线.
练习2.若tan 2α=，且α的终边上点P ，求点P 的坐标.
练习3.已知A 是三角形的一个内角，则cos A 的值是
A .正数
B .负数
C .非负数
D .正数、零、负数都有可能。