2019高考数学总复习课件135数学归纳法

知能迁移2 求证：（3n+1）×7n-1 (n∈N+)能被9 整除. 证明 (1)当n=1时,(3n+1)×7n-1=27能被9整除. (2)假设n=k (k∈N+)时命题成立，即 (3k+1)×7k-1能被9整除， 那么n=k+1时： ［3(k+1)+1］×7k+1-1=［(3k+1)+3］×(1+6)7k-1 =(3k+1)7k-1+(3k+1)×6×7k+21×7k =［(3k+1)7k-1］+3k×6×7k+(6+21)×7k. 以上三项均能被9整除. 则由（1）（2）可知，命题对任意n∈N+都成立.
题型三 用数学归纳法证明不等式
【例3】 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然
数，不等式 (1? 1)(1? 1)? (1? 1 ) ? 2n ? 1
35
2n ? 1
2
均成立.
思维启应迪注意到题目条件，第一步应验证
n=2时不等式成立.
2
A.1
B边数最少的凸n边形是三角形.
3.如果命题p(n)对n=k成立，则它对n=k+2也成立. 若p(n)对n=2成立，则下列结论正确的是(B ) A.p(n)对所有正整数n都成立 B.p(n)对所有正偶数n都成立 C.p(n)对所有正奇数n都成立 D.p(n)对所有自然数n都成立 解析 归纳奠基是：n=2成立. 归纳递推是：n=k成立，则对n=k+2成立. ∴p（n）对所有正偶数n都成立.
1
2? 4 4? 6 6? 8
2k(2k ? 2) 2(k ? 1)[2(k ? 1) ? 2]
? k?
1
4(k ? 1) 4(k ? 1)(k ? 2)
? k(k ? 2) ? 1 ? (k ? 1)2 4(k ? 1)(k ? 2) 4(k ? 1)(k ? 2)
? k?1 , 4[(k ? 1) ? 1]
即n=k+1时等式成立.
由（1）（2）可知，对任意n∈N+等式均成立.
题型二 用数学归纳法证明整除问题
【例2】 用数学归纳法证明an+1+(a+1)2n-1 (n∈N+） 能被a2+a+1整除.
思维启迪 验证n=1时命题是否成
立
假设n=k时命题成
推证n=k+1时命题成
立
立
得结论
解 （1）当n=1时， a2+(a+1)=a2+a+1可被a2+a+1整除. （2）假设n=k(k∈N+)时， ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除，
5.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2= n4 ? n2 ,则当 2
n=k+1时左端应在n=k的基础上加上(C ) A.k2+1 B.（k+1）2
C. (k ? 1)4 ? (k ? 1)2 2
D.（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2
解析 ∵当n=k时，左边=1+2+3+…+k2，
则当n=k+1时， ak+2+(a+1)2k+1=a·ak+1+(a+1)2(a+1)2k-1 =a·ak+1+a·(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1 =a［ak+1+(a+1)2k-1］+(a2+a+1)(a+1)2k-1, 由假设可知a［ak+1+(a+1)2k-1］能被a2+a+1整除， (a2+a+1)(a+1)2k-1也能被a2+a+1整除， ∴ak+2+（a+1）2k+1也能被a2+a+1整除， 即n=k+1时命题也成立， ∴对任意n∈N+原命题成立. 探究提高 证明整除问题的关键是“凑项”，而 采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出 n=k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证.
4.某个命题与自然数n有关，若n=k(k∈N+)时命题 成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立，现 已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得( C ) A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立 解析 方法一 由n=k(k∈N+)成立,可推得当 n=k+1时该命题也成立.因而若n=4成立，必有 n=5成立.现知n=5不成立，所以n=4一定不成立. 方法二 其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成 立，则当n=k时也不成立”为真，故“n=5时不 成立” “n=4时不成立”.
§13.5 数学归纳法
基础知识 自主学习
要点梳理
1.归纳法 由一系列有限的特殊事例得出 一般结论的推理 方法叫归纳法.根据推理过程中考查的对象是涉 及事物的全体或部分可分为 完全 归纳法和 不完 全 归纳法.
2.数学归纳法 (1)数学归纳法：设{Pn}是一个与正整数相关的 命题集合，如果①证明起始命题P1（或P0) 成立；②在假设Pk成立的前提下，推出Pk+1 也成立，那么可以断定{Pn}对一切正整数成立. (2)数学归纳法证题的步骤 ①(归纳奠基)证明当n取第一个值 n=n0 时,命题 成立. ②(归纳递推）假设 n=k(k≥n0,k∈N+)时命题 成立，证明当 n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开始 的所有正整数n都成立.
. 1)
证明 （1）当n=1时，等式左边? 1 ? 1 , 2? 4 8
等式右边 ? 1 ? 1 , 所以等式成立. 4(1? 1) 8
（2）假设n=k（k∈N+）时等式成立，
即 1 ? 1 ? ? ? 1 ? k 成立,
2? 4 4? 6
2k(2k ? 2) 4(k ? 1)
那么当n=k+1时，
1 ? 1 ? 1 ?? ? 1 ?
基础自测
1.用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+an+1? 1 ? a n?2 1? a
(a≠1)”在验证n=1时，左端计算所得的项
为( C ) A.1
B.1+a
C.1+a+a2
D.1+a+a2+a3
2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为
1 n(n ? 3) 条时，第一 步检验第一个值n0等于( C )
当n=k+1时， 左边=1+2+3+…+k2+（k2+1）+…+（k+1）2，
∴当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上 （k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2.
知能迁移1 用数学归纳法证明：
1 ? 1 ? 1 ?? 2? 4 4? 6 6? 8
?
1 2n(2n
?
2)
?
n 4(n ?