广东省茂名市茂东学校高三数学理联考试题含解析

广东省茂名市茂东学校高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列命题中的假命题是（）
A．
B．，
C．，当时，恒有
D．，使函数的图像关于轴对称
参考答案：
C.
试题分析：A：根据指数函数的性质，可知A正确； B：当时，有，，显然成立，当时，令，∴，
∴在上单调递增，∴，综上，不等式对于任意恒成立，B正确；
C：∵为底数大于的指数函数，为幂函数，∴当时，，∴不存在满足条件的，C错误；D：取，可知函数的图象关于轴对称，D正确.
考点：函数的性质.
2. 下列有关命题的说法正确的是( )．
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“?x∈R，使得＋x－1<0”的否定是“?x∈R，均有＋x－1>0”
D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
参考答案：
D
3. 已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A-BCD的外接球，
，，点E在线段BD上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
分析：过作球的截面中，面积最大的是过球心的截面，最小的是垂直于的截面，求出球的半径，以及垂直于的截面半径，从而可得结果.
详解：
显然过作球的截面中，面积最大的是过球心的截面，最小的是垂直于的截面，
设三棱锥的外接球半径为，
，解得
，截面面积最大为，
如图，，
，
，
垂直于的截面半径满足，
，即截面最小面积为，
截面圆面积的取值范围是，故选A.
点睛：本题主要考球的性质及圆内接三角形的性质、棱锥的体积公式及球的体积公式，属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质.
4.
函数的大致图象是（）
A. B.
C. D
参考答案：
答案：C
5. 复数（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
6. 曲线与曲线 (12<k<16)的( )
A．长轴长与实轴长相等
B．短轴长与虚轴长相等C．焦距相等
D．离心率相等
参考答案：
C
对于椭圆＝(16－k)＋(k－12)＝4，∴c1＝2，故选C.
7. 设函数，则（）
A．在区间内均有零点
B．在区间内均无零点
C．在区间内有零点，在区间内无零点
D．在区间内无零点，在区间内有零点
参考答案：
D
，根据根的存在定理可知，选D.
8. 集合，，A∩B=（）
A. B.
C. D.
参考答案：
C
【分析】
由A与B，找出两集合的交集即可．
【详解】∵，，
∴A∩B＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．
9. 已知复数z1=2+i，z2=a i，z1·z2是实数，则实数a=
A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：
A
10. 复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）＜，则不等式f（x2）＜
的解集为．
参考答案：
（﹣∞，﹣
1）∪（1，+∞）
【考点】导数的运算；其他不等式的解法．
【专题】压轴题；导数的概念及应用．
【分析】设F（x）=f（x）﹣x，根据题意可得函数F（x）在R上单调递减，然后根据f（x2）＜可得f（x2）﹣＜f（1）﹣，最后根据单调性可求出x的取值范围．
【解答】解：设F（x）=f（x）﹣x，则F′（x）=f′（x）﹣
∵f′（x）＜，∴F′（x）=f′（x）﹣＜0
即函数F（x）在R上单调递减
而f（x2）＜即f（x2）﹣＜f（1）﹣∴F（x2）＜F（1）而函数F（x）在R上单调递减
∴x2＞1即x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【点评】本题主要考查了导数的运算，以及利用单调性解不等式和构造法的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
12. 已知F是抛物线的焦点,A,B为抛物线上的两点,且|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点M到y轴的距离为 ________
参考答案：
【知识点】抛物线及其几何性质H7
解析：因为抛物线的准线为，由抛物线的定义及梯形的中位线的性质可得M到抛物线的准线
的距离为，所以到y轴的距离为.
【思路点拨】在圆锥曲线中遇到曲线上的点与焦点的距离时通常利用其定义进行转化.
13. 已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={y|y=}，则M∩N等于．
参考答案：
【考点】交集及其运算．
【分析】化简M={y|y＞1}，N={y|0≤y≤1}，利用两个集合的交集的定义求出M∩N．
【解答】解：集合M={y|y=2x，x＞0}={y|y＞1}，N={y|y=}={y|0≤y≤1}，
故M∩N={y|y＞1}∩{y|0≤y≤1}=?，
故答案为：?．
14. 已知符号函数sgn（x）=，则函数f（x）=sgn（lnx）﹣|lnx|的零点个数为．
参考答案：
2
考点：根的存在性及根的个数判断．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：化简f（x）=sgn（lnx）﹣|lnx|=，从而求出函数的零点即可．解答：解：由题意，
f（x）=sgn（lnx）﹣|lnx|
=，
显然x=1是函数f（x）的零点，
当x＞1时，
令1﹣lnx=0得，x=e；
则x=e是函数f（x）的零点；
当0＜x＜1时，
﹣1+lnx＜0，故没有零点；
故函数f（x）=sgn（lnx）﹣|lnx|的零点个数为2；
故答案为：2．
点评：本题考查了分段函数的应用及函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题．
15. 设函数f（x）=，已知f（2）=5，则f（﹣2）= ．
参考答案：
﹣3
【分析】将函数f （x）分离，把x=2带入的值等于5，利用奇偶性找出关系式即可得答案．【解答】解：f （x）===1+．∵f（2）=5，
∴=4．
那么：f（﹣2）=1﹣=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了函数的化解和奇偶性的灵活运用．属于基础题．
16. 5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有种（用数字作答）．参考答案：
解析：可恩两个步骤完成，第一步骤先排除甲乙外的其他三人，有种，第二步将甲乙二人插入前人形成的四个空隙中，有种，则甲、乙两不相邻的排法有种。

17. 的展开式中的系数是
参考答案：
240
本题主要考查二项式定理，以及简单的基本运算能力．难度较小．
∵含x4的项为C(2x)4＝240x4，∴展开式中x4的系数是240．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）已知为等差数列，且
（1）求数列的通项公式；
（2）的前项和为，若成等比数列，求正整数的值。

参考答案：
（1）设数列的公差为d,由题意知解得
所以
（2）由（Ⅰ）可得因成等比数列，所以从而，即
解得或（舍去），因此。

19. （15分）
如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AB=a.
（Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1；
（Ⅱ）求点D到平面ACC1的距离；
（Ⅲ）判断A1B与平面ADC的位置关系，
并证明你的结论.
参考答案：
解析：（Ⅰ）证法一：∵点D是正△ABC中BC边的中点，∴AD⊥BC，又A1A⊥底面ABC，∴A1D⊥BC ，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1.
证法二：连结A1C1，则A1C=A1B. ∵点D是正△A1CB的底边中BC的中点，∴A1D⊥BC ，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1.
（Ⅱ）解法一：作DE⊥AC于E，∵平面ACC1⊥平面ABC，
∴DE⊥平面ACC1于E，即DE的长为点D到平面ACC1的
距离. 在Rt△ADC中，AC=2CD=
∴所求的距离
解法二：设点D到平面ACC1的距离为，
∵体积
即点D到平面ACC1的距离为.
（Ⅲ）答：直线A1B//平面ADC1，证明如下：
证法一：如图1，连结A1C交AC1于F，则F为A1C的中点，∵D是BC的中点，∴DF∥A1B，
又DF平面ADC1，A1B平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1.
证法二：如图2,取C1B1的中点D1，则AD∥A1D1，C1D∥D1B，
∴AD∥平面A1D1B，且C1D∥平面A1D1B，
∴平面ADC1∥平面A1D1B，∵A1B平面A1D1B，∴A1B∥平面ADC1.
20. 已知函数f(x)= -ax(a∈R,e为自然对数的底数).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若a=1，函数g(x)=(x-m)f(x)-+x2+x在区间（0，+）上为增函数，求整数m 的最大值.
参考答案：
解：（Ⅰ）定义域为，，
当时，，所以在上为增函数；………………2分
当时，由得，且当时，，
当时，
所以在为减函数，在为增函数．……………6分
（Ⅱ）当时，，
若在区间上为增函数，
则在恒成立，
即在恒成立………………8分
令，；
，；令，
可知，，
又当时，
所以函数在只有一个零点，设为，即，且；…………9分
由上可知当时，即；当时，即，所以，，有最小值，…………10分
把代入上式可得，又因为，所以，又恒成立，所以，又因为为整数，
所以，所以整数的最大值为1．…………………12分
略
21. （12分）已知中，角对边分别为，,
(1)求的值；
(2)若，求的面积。

参考答案：
【知识点】解三角形.C8
【答案解析】（1）；（2）解析：（1）,，又，即sin（A+C）=，
即
.-----------6分
（2）由（1）得：
由正弦定理得,
.---------12分
【思路点拨】（1）利用同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式，诱导公式及求解；（2）利用同角三角函数的基本关系及正弦定理求边c，再由三角形面积公式求得结论.
22. 在中，角的对边分别为，是该三角形的面积，
（1）若，，，求角的度数；
（2）若，，，求的值.
参考答案：。