高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题(讲义及答案)含答案

高考数学一轮复习函数的概念与基本初等函数多选题(讲义及答案)
含答案
一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．已知函数21,01()(1)1,1
x x f x f x x ⎧-≤<=⎨-+≥⎩，方程()0f x x -=在区间0,2n
⎡⎤⎣⎦
(*n N ∈)上的所有根的和为n b ，则（ ） A ．()20202019f = B ．()20202020f = C ．21
12
2n n n b --=+
D ．(1)
2
n n n b +=
【答案】BC 【分析】
先推导出()f x 在[)(
)*
,1n n n N
+∈上的解析式，然后画出()f x 与y x =的图象，得出
()f x x =时，所有交点的横坐标，然后得出n b .
【详解】
因为当[)0,1x ∈时，()21x
f x =-，所以当[)1,2x ∈
时，[)10,1x -∈，
则()1
12
1x f x --=-，故()()11112112x x f x f x --=-+=-+=，
即[
)10,1x -∈时，[
)10,1x -∈，()1
2x f x -= 同理当[)2,3x ∈时，[)11,2x -∈，()()2
1121x f x f x -=-+=+；
当[)3,4x ∈时，[)12,3x -∈，则()()3
1122x f x f x -=-+=+；
………
故当[
),1x n n ∈+时，()()2
1x n
f x n -=+-，
当21,2n
n
x ⎡⎤∈-⎣⎦
时，()()
()21
222n x n f x --=+-.
所以()20202020f =，故B 正确；
作出()f x 与y x =的图象如图所示，则当()0f x x -=且0,2n
⎡⎤⎣⎦时，x 的值分别为：
0,1,2,3,4,5,6,
,2n
则()()121122101222221222
n n n n n n n n b ---+=+++++=
=+=+，故C 正确.
故选：BC.
【点睛】
本题考查函数的零点综合问题，难度较大，推出原函数在每一段上的解析式并找到其规律是关键.
2．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]
()f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列正确的是（ ） A ．函数()f x 是R 上单调递增函数
B ．对于任意实数a b ，
，都有()()()f a f b f a b +≤+ C ．函数()()g x f x ax =-（0x ≠）有3个零点，则实数a 的取值范围是
34434532⎛⎤⎡⎫
⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
，， D ．对于任意实数x ，y ，则()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件 【答案】BCD 【分析】
取反例可分析A 选项，设出a ，b 的小数部分，根据其取值范围可分析B 选项，数形结合可分析C 选项，取特殊值可分析D 选项． 【详解】
解：对于A 选项，()()1 1.21f f ==，故A 错误；
对于B 选项，令[]
a a r =+，[]
(,b b q r =+q 分别为a ，b 的小数部分)， 可知[]01r a a =-<，[]01q b b =-<，[]0r q +≥， 则()[][][][][][][]()()f a b a b r q a b r q a b f a f b ⎡⎤+=+++=++++=+⎣⎦，故B 错
误；
对于C 选项，可知当1k x k ≤<+，k Z ∈时，则()[]
f x x k ==，
可得()f x 的图象，如图所示：
函数()()()0g x f x ax x =-≠有3个零点，
∴函数()f x 的图象和直线y ax =有3个交点，且()0,0为()f x 和直线y ax =必过的
点，
由图可知，实数a 的取值范围是][34
43,,45
32⎛⎫⋃
⎪⎝⎭，故C 正确；
对于D 选项，当()()f x f y =时，即r ，q 分别为x ，y 的小数部分，可得01r ≤<，
01q ≤<，
[][]101x y x r y q r q -=+--=-<-=；
当1x y -<时，取0.9x =-，0.09y =，可得[]1x =-，[]
0y =，此时不满足
()()f x f y =，
故()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】
本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利用数形结合思想；
3．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定
义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Q
y f x x C Q ∈⎧==⎨∈⎩
其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函
数()f x 有如下四个命题,正确的为( ) A ．函数()f x 是偶函数
B ．1x ∀,2R x
C Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立 C ．任取一个不为零的有理数T ,f x T
f x 对任意的x ∈R 恒成立
D ．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()
33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形 【答案】ACD 【分析】
根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可． 【详解】
对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x C Q ∈，则R x C Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；
对于B ，取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈，则()()1201f x x f +==，
()()120f x f x +=，故选项B 错误；
对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x C Q ∈，则
R x T C Q +∈，满足()()f x f x T =+，故选项C 正确；
对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：
①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；
②直角顶点A 在1y =上，斜边不在x 轴上，此时点B 的横坐标为无理数，则点A 的横坐标也应为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；
③直角顶点A 在x 轴上，斜边在1y =上，此时点B ，点C 的横坐标为有理数，则BC 中点的横坐标仍然为有理数，那么点A 的横坐标也应为有理数，这与点A 的纵坐标为0矛盾，故不成立；
④直角顶点A 在x 轴上，斜边不在1y =上，此时点A 的横坐标为无理数，则点B 的横坐标也应为无理数，这与点B 的纵坐标为1矛盾，故不成立．
综上，不存在三个点()()
11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()
33C x f x ，，使得ABC ∆为等腰直角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．
4．下列选项中a 的范围能使得关于x 的不等式2
20x x a +--<至少有一个负数解的是（ ） A ．9,04⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B ．()2,3
C ．1,2
D ．0,1
【答案】ACD 【分析】
将不等式变形为2
2x a x -<-，作出函数2
,2y x a y x =-=-的图象，根据恰有一个负数解时判断出临界位置，再通过平移图象得到a 的取值范围. 【详解】
因为2
20x x a +--<，所以2
2x a x -<-且2
20x ，
在同一坐标系中作出2
,2y x a y x =-=-的图象如下图：
当y x a =-与2
2y x =-在y 轴左侧相切时，
22x a x -=-仅有一解，所以()1420a ∆=++=，所以9
4
a =-，
将y x a =-向右移动至第二次过点()0,2时，02a -=，此时2a =或2a =-（舍），
结合图象可知：9,24a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，所以ACD 满足要求. 故选：ACD. 【点睛】
本题考查函数与方程的综合应用，着重考查数形结合的思想，难度较难.利用数形结合可解决的常见问题有：函数的零点或方程根的个数问题、求解参数范围或者解不等式、研究函数的性质等.
5．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=，且当0x ≥时，
()x f x e x b =+-.若((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤.在x ∈R 上恒成立，则k 的可能取
值为( ) A ．1 B ．0
C ．1-
D ．2-
【答案】CD 【分析】
先判断函数的奇偶性和单调性,得到sinx ≥k (2+sinx ), 再根据题意，利用检验法判断即可. 【详解】
因为定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +-=,
所以()f x 为奇函数，
0x ≥时，()x f x e x b =+-，
显然()f x 在[0,)+∞上单调递增， 所以()f x 在R 上单调递增，
由((2sin ))(sin )0f k b x f x ++-≤恒成立， 可得(sin )((2sin ))f x f k x +在R 上恒成立， 即sin (2sin )x k x +， 整理得：(1)sin 2k x k -
当1k =时，02≥，不恒成立，故A 错误; 当0k =时，sin 0x ≥，不恒成立，故B 错误; 当1k =-时，sin 1x ≥-，恒成立，故C 正确； 当2k =-时，4
sin 3
x ≥-，恒成立，故D 正确. 故选：CD 【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.
6．下列命题正确的是（ ）
A ．已知幂函数21()(1)m f x m x --=+在(0,)+∞上单调递减则0m =或2m =-
B ．函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个充分不必要条件是1m <-．
C ．已知函数3
1()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫
=++
⎪-⎝⎭
，若(21)0f a ->，则a 的取值范围为1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
D ．已知函数()f x 满足()()2f x f x -+=，1
()x g x x
+=，且()f x 与()g x 的图像的交点为()()()112288,,,,x y x y x y 则128128x x x y y y ++⋯++++⋯+的值为8
【答案】BD 【分析】
根据幂函数的性质，可判定A 不正确；根据二次函数的性质和充分条件、必要条件的判定，可得判定B 是正确；根据函数的定义域，可判定C 不正确；根据函数的对称性，可判定
D 正确，即可求解. 【详解】
对于A 中，幂函数2
1
()(1)m f x m x
--=+，可得11m +=±，解得0m =或2m =-，
当0m =时，函数1()f x x -=在(0,)+∞上单调递减；当2m =-时，函数()f x x =在
(0,)+∞上单调递增，所以A 不正确；
对于B 中，若函数2
()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0，
则满足(0)30f m =<，解得0m <，
所以1m <-是函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0的充分不必要条件，所以B 是正确； 对于C 中，由函数31()sin ln(
)1x f x x x x +=++-，则满足101x
x
+>-，解得11x -<<， 即函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以不等式(21)0f a ->中至少满足1211a -<-<， 即至少满足01a <<，所以C 不正确；
对于D 中，函数()f x 满足()()2f x f x -+=，可得函数()y f x =的图象关于(0,1)点对称， 又由11
()x x g x x x
-+--=
=-，可得()()2g x g x -+=，所以函数()y g x =的图象关于(0,1)点对称，则1281280428x x x y y y ++⋯++++⋯+⨯+==，所以D 正确.
故选：BD. 【点睛】
本题主要考查了以函数的基本性质为背景的命题的真假判定，其中解答中熟记函数的基本性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
7．已知函数1()x x f x e
+=，当实数m 取确定的某个值时，方程2
()()10f x mf x ++=的根的个数可以是（ ） A ．0个 B ．1个
C ．2个
D ．4个
【答案】ABC 【分析】
令()t f x =，画出1
()x x f x e
+=，结合210t mt ++=的解的情况可得正确的选项. 【详解】
()x
x f x e '=-
， 故当0x <时，0f x ，故()f x 在,0上为增函数；
当0x >时，0f
x
，故()f x 在0,
上为减函数，
而()10f -=且当0x >时，()0f x >恒成立，故()f x 的图象如图所示：
考虑方程210t mt ++=的解的情况.
24m ∆=-，
当2m <-时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的正根12t t <， 因为121t t =，故101t <<，21t >，
由图象可知方程()1t f x =的解的个数为2，方程()2t f x =的解的个数为0， 故方程2
()()10f x mf x ++=的根的个数是2.
当2m =-时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的正根121t t ==， 由图象可知方程1f x
的解的个数为1，
故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.
当22m -<<时，∆<0，此时方程210t mt ++=无解， 故方程2
()()10f x mf x ++=的根的个数是0.
当2m =时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的负根121t t ==-， 由图象可知方程()1f x =-的解的个数为1， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.
当2m >时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的负根12t t <， 由图象可知方程()1t f x =的解的个数为1，方程()2t f x =的解的个数为1， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是2. 故选：ABC ． 【点睛】
本题考查复合方程的解，此类问题，一般用换元法来考虑，其中不含的参数的函数的图象应利用导数来刻画，本题属于难题．
8．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相
对统一的和谐美. 定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”.则下列有关说法中，正确的是（ ）
A ．对于圆O ：221x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数
B ．函数()sin 1f x x =+是圆O ：()2
211x y +-=的一个太极函数
C ．存在圆O ，使得()1
1
x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数
D ．直线()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆O ：
()()
()22
2210x y R R -+-=>的太极函数
【答案】BCD 【分析】
利用“太极函数”的定义逐个判断函数是否满足新定义即可. 【详解】
对于A ，如下图所示，若太极函数为偶函数，且ACE
PCO
POD
DFB
S S
S
S
===，所以该函
数平分圆O 的周长和面积，故A 错误；
对于B ，()sin 1f x x =+也关于圆心(0,1) 对称，平分圆O 的周长和面积，所以函数
()sin 1f x x =+是圆()2
2:11O x y +-=的一个太极函数；故B 正确；
对于C ，()()
+12121+1+1+1
x x x x x e e f x e e e --===-，. ()()1
1
111+11++1x
x
x x x
x e e e f x f x e e e
------====-，该函数为奇函数，图象关于原点对称.
所以存在圆O ：2
2
1x y +=使得()1
1
x x e f x e -=+是圆O 的一个太极函数，如下图所示，故
C 正确；
对于D ，对于直线()()12110m x m y +-+-=的方程，变形为
()()210m x y x y -+--=，
令2010x y x y -=⎧⎨--=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩
，直线()()12110m x m y +-+-=经过圆O 的圆心，可以平
分圆O 周长和面积，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】
本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推理能力，属于较难题.
9．下列说法中，正确的有（ ） A ．若0a b >>，则
b a a b
> B ．若0a >，0b >，1a b +=，则11
a b
+的最小值为4 C ．己知()11212
x
f x =
-+，且()()2
110f a f a -+-<，则实数a 的取值范围为()2,1- D ．已知函数()()
2
2log 38f x x ax =-+在[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是
(]11,6--
【答案】BCD 【分析】
利用不等式的基本性质可判断A 选项的正误；将+a b 与
11
a b
+相乘，展开后利用基本不等式可判断B 选项的正误；判断函数()f x 的单调性与奇偶性，解不等式
()()2110f a f a -+-<可判断C 选项的正误；利用复合函数法可得出关于实数a 的不等
式组，解出a 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，0a b >>，则1a b
b a
>>，A 选项错误； 对于B 选项，
0a >，0b >，1a b +=，
(
)1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫
∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
， 当且仅当12a b ==
时，等号成立，所以，11
a b
+的最小值为4，B 选项正确； 对于C 选项，函数()f x 的定义域为R ， 任取1x 、2x R ∈且12x x <，则21220x x >>， 所以，
()()()()
2112121
2121
1111122021221221212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-=> ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，
即()()12f x f x >，所以，函数()f x 为R 上的减函数，
()()()()
2211112212221212x
x
x x x f x -+-=-==+++，
则()()()()()
()2121221
2122212221x x x x x x x x
f x f x --------====-+⋅++， 所以，函数()f x 为R 上的奇函数，且为减函数， 由()(
)2
110f a f a
-+-<可得()()()2
2
111f a f a f a
-<--=-，
所以，211a a -<-，即220a a +-<，解得21a -<<，C 选项正确； 对于D 选项，对于函数()()
2
2log 38f x x ax =-+，令238u x ax =-+，
由于外层函数2log y u =为增函数，则内层函数238u x ax =-+在[)1,-+∞上为增函数，
所以min 16380
a
u a ⎧≤-⎪⎨⎪=++>⎩，解得116a -<≤-，D 选项正确.
故选：BCD. 【点睛】
方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；
（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
10．已知当0x >时，2()24f x x x =-+；0x ≤时(2)y f x =+，以下结论正确的是（ ）
A ．()f x 在区间[]6,4--上是增函数；
B ．()()220212f f -+-=；
C ．函数()y f x =周期函数，且最小正周期为2；
D ．若方程()1f x kx =+恰有3
个实根，则1
42
k <<-
4k =； 【答案】BD 【分析】
利用函数的性质，依次对选项加以判断，ABC 考查函数的周期性及函数的单调性，重点理解函数周期性的应用，是解题的关键，D 选项考查方程的根的个数，需要转化为两个函数的交点个数，在同一图像中分别研究两个函数，临界条件是直线与函数()f x 相切，结合图像将问题简单化. 【详解】
对于A ，0x ≤时(2)y f x =+，
即()f x 在区间[]6,4--上的单调性与()f x 在区间[]
0,2上单调性一致， 所以()f x 在[]6,5--上是增函数，在[]
5,4--上是减函数，故A 错误； 对于B ，当0x ≤时，()2()f x f x +=，
()()22=22242=0f f -=-⨯+⨯，
()()()()20211=1+2=1=2+42f f f f -=---=，故B 正确；
对于C ，当0x ≤时，()2()f x f x +=， 当0x >时，()f x 不是周期函数，故C 错误； 对于D ，由0x >时，2
()24f x x x =-+；
0x ≤时(2)y f x =+，可求得当20x -<<时，2()24f x x x =--；
直线1y kx =+恒过点(0,1)，方程()1f x kx =+恰有3个实根， 即函数()f x 和函数1y kx =+的图像有三个交点，
当0k >时，直线1y kx =+与函数()f x （0x >）相切于点00(,)x y ，
则0200012
44124k k x kx x x
⎧
>⎪⎪=-+⎨⎪+=-+⎪⎩
，解得04k x ⎧=-⎪
⎨⎪⎩，
要函数()f x 和函数1y kx =+的图像有三个交点，
则k的取值范围为：1
422 2
k
<
<-；
当0
k<时，当0
x>时，直线1
y kx
=+与函数()
f x有两个交点，
设直线1
y kx
=+与函数()
f x（0
x≤）相切于点
00
(,)
x y
''，
则0
2
000
44
124
k x
kx x x
=-'-
⎧
⎨
'+=-'-'
⎩
，解得
224
2
=
2
k
x
⎧=-
⎪
⎨
'-
⎪
⎩
综上，方程()1
f x kx
=+有3个实根，
则
1
422
2
k
<<-或224
k=-,故D正确.
故选：BD.
【点睛】
本题考查函数的性质，单调性，及函数零点个数的判断，主要考查学生的逻辑推理能力，数形结合能力，属于较难题.
11．已知函数
2
ln(1),0
()
21,0
x x
f x
x ax x
+≥
⎧
=⎨
-+<
⎩
，其中实数a∈R，则下列关于x 的方程f2 (x) − (1+ a)⋅f (x) + a = 0的实数根的情况，说法正确的有（）
A．a 取任意实数时，方程最多有5个根
B．当
1515
22
a
-+
<<时，方程有2个根
C．当
15
2
a
--
=时，方程有3个根
D．当a ≤ −4时，方程有4个根
【答案】CD
【分析】
先化简方程为()1
f x=或()
f x a
=，再对a进行分类讨论，结合图象来确定()1
f x=或
()f x a =分别有几个根，根据结果逐一判断选项正误即可.
【详解】
解：关于x 的方程f 2 (x ) − (1+ a )⋅ f (x ) + a = 0，即[][]
()1()0f x f x a --=，故()1f x =或
()f x a =.
函数2
ln(1),0()21,0
x x f x x ax x +≥⎧=⎨-+<⎩中，()0,()ln 1x f x x ≥=+单调递增，()2
220,(2)11x a x f x a x x a -+=-<=+-，对称轴为x a =，判别式
()()411a a ∆=+-.
（1）当0a ≥时，函数()f x 图象如下：
由图象可知，方程()1f x =有1个根，1a >时方程()f x a =有2个根，01a ≤≤时，方程
()f x a =有1个根，故1a >时已知方程有3个根，01a ≤<时，已知方程有2个根，
1a =时已知方程有1个根；
（2）1a =-时，函数()f x 图象如下：
10a -<<时，函数()f x 图象如下：
由两个图象可知，10a -≤<时，方程()1f x =有2个根，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根；
（3）1a <-时，函数()f x 图象如下：方程()1f x =有两个根.
下面讨论最小值21a -与a 的关系，由21a a -<解得15
a --<， 故当15
a --<
时，21a a -<，直线y a =如图①，方程()f x a =有2个根，故已知方程有4个根； 当15
2
a -=
时，21a a -=，直线y a =如图②，方程有()f x a =有1 个根，故已知方程有3个根； 当
15
12
a -<<-时，21a a ->，直线y a =如图③，方程()f x a =没有根，故已知方程有2个根.
综上可知，a 取任意实数时，方程最多有4个根，选项A 错误；
15
12
a --<<时方程有2个根，1a =时已知方程有1个根，1a >时方程有3个根，故选项B 错误；当
15a --=
3个根，C 正确；当 15
42
a --≤-<时，方程有4个根，故D 正确.
故选：CD. 【点睛】 关键点点睛：
本题的解题关键在于分类讨论确定二次函数的图象，以及其最低点处21a -与a 的关系，以确定方程()f x a =的根的情况，才能突破难点.
12．已知函数22,0
()(2),0
x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）
A ．函数()f x 在区间[2,4]上是减函数
B ．(2020)(2021)1f f +=
C ．若方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根，则11,46m ⎛⎫
∈-- ⎪⎝⎭
D ．若函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点(
)*
8,i x i i N ≤∈，则8
1
16i i x ==∑
【答案】BCD 【分析】
对于A ，画出函数的图象即可判断；对于B ，由函数的周期性可计算求解；对于C ，方程
()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根等价于()y f x =与直线1y mx =+有5
个交点，画出图形即可判断求解；对于D ，函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点，则()y f x =与y k =有8个交点，由对称性可求解. 【详解】
由题可知当0x ≥时，()f x 是以2为周期的函数，则可画出()f x 的函数图象，
对于A ，根据函数图象可得，()f x 在()2,3单调递增，在()3,4单调递减，故A 错误； 对于B ，()()()2020020f f f ==-=，()()()2021111f f f ==-=，则
(2020)(2021)1f f +=，故B 正确；
对于C ，方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根等价于()y f x =与直线
1y mx =+有5个交点，如图，直线1y mx =+过定点()0,1A ，观察图形可知
AB AC k m k <<，其中()()4,0,6,0B C ，则11,46AB AC k k =-=-，故11,46m ⎛⎫
∈-- ⎪⎝⎭
，故
C 正确；
对于D ，若函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点，则()y f x =与y k =有8个交点，如图，可知这八个零点关于2x =对称，则
8
1
4416i
i x
==⨯=∑，故D 正确.
故选：BCD. 【点睛】
关键点睛：本题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是判断出函数的周期性，画出函数的图象，即可将方程的解的个数问题、函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合的思想可快捷解决问题.
13．下列结论正确的是（ ）
A ．函数()y f x =的定义域为[]
1,3，则函数()21y f x =+的定义域为[]0,1 B ．函数()f x 的值域为[]1,2，则函数
()1f x +的值域为[]2,3
C ．若函数24y x ax =-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，则a 的取值范围是
()0,3
D ．已知函数()2
3,f x x x x R =+∈，若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数
根，则实数a 的取值范围为()()0,19,⋃+∞ 【答案】ACD 【分析】
根据抽象函数定义域及代换的方法可求函数的定义域，判断A ，利用函数图象的平移可判断函数值域的变换情况，判断B ，利用数形结合及零点的分布求解判断C ，作出函数
()23f x x x =+与1y a x =-的图象，数形结合即可判断D.
【详解】
对于A, ()y f x =的定义域为[]
1,3，则由1213x ≤+≤可得()21y f x =+定义域为
[]0,1，故正确；
对于B ，将函数()f x 的图象向左平移一个单位可得函数()1f x +的图象，故其值域相
同，故错误；
对于C, 函数2
()4y g x x ax ==-++有两个零点，一个大于2，另一个小于-1只需
(2)0
(1)0g g >⎧⎨
->⎩
，解得0<<3a ，故正确； 对于D, 作出函数()2
3f x x x =+与1y a x =-的图象，如图，
由图可以看出，0a ≤时，不可能有4个交点，找到直线与抛物线相切的特殊位置1a =或
9a =，观察图象可知，当01a <<有4个交点，当9a <时，两条射线分别有2个交点，
综上知方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根时，()()0,19,a ∈+∞正确.
故选：ACD 【点睛】
关键点点睛：对于方程实根问题，可转化为函数图象交点问题，本题中，()2
3f x x x
=+图象确定，而1y a x =-是过(1,0)关于1x =对称的两条射线，参数a 确定两射线张角的大小，首先结合图形找到关键位置，即1a =时左边射线与抛物线部分相切，9a =时右边射线与抛物线相切，然后观察图象即可得出结论.
14．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，(1)f x +是偶函数，且当(]
0,1x ∈时，
()(2)f x x x =--，则（ ）
A ．()f x 是周期为2的函数
B ．()()201920201f f +=-
C ．()f x 的值域为[]1,1-
D ．()y f x =在[]0,2π上有4个零点
【答案】BCD 【分析】
对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得(4)()f x f x +=，则()f x 是
周期为4的周期函数，可判断A.
对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，
()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．
对于C ，当(]
01
x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[
)10
x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，根据函数的周期性和对称性，可以求出函数在各段上的解析式，从而求出函数的零点，可判断D ． 【详解】 解：对于A ，
()1f x +为偶函数，其图像关于x 轴对称，把()1f x +的图像向右平移1个
单位得到()f x 的图像，所以()f x 图象关于1x =对称， 即(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，
()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(2)()f x f x +=-，
用2x +替换上式中的x 得， (4)(2)f x f x +=-+，
所以，(4)()f x f x +=，则()f x 是周期为4的周期函数.故A 错误. 对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，
()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；
当(]
0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，
则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-， 则()()201920201f f +=-.故B 正确.
对于C ，当(]
01
x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x <≤， 又由()f x 为R 上的奇函数，则[
)1,0x ∈-时，()10f x -≤<，
(0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[]1,1-.故C 正确.
对于D ，
(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，
[0,1]x ∴∈，()(2)f x x x =--，
[1,2]x ∴∈，2[0,1]x -∈，()(2)(2)f x f x x x =-=--
①[0,2]x ∴∈时，()(2)f x x x =--，此时函数的零点为0，2；
()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+，
②(]2,4x ∴∈时，
()f x 的周期为4，[]42,0x ∴-∈-，
()()()()424f x f x x x =-=--，此时函数零点为4；
③(]4,6x ∴∈时，[]40,2x ∴-∈，
()()4(4)(6)f x f x x x =-=---，此时函数零点为6；
④(]6,2x π∴∈时，(]42,4x ∴-∈，()()()()468f x f x x x =-=--，此时函数无零点；
综合以上有，在(0,2)π上有4个零点.故D 正确； 故选：BCD 【点睛】
关键点点睛：由(1)f x +是偶函数，通过平移得到()f x 关于1x =对称，再根据()f x 是奇函数，由此得到函数的周期，进一步把待求问题转化到函数的已知区间上，本题综合考查抽象函数的奇偶性、周期性.
15．已知函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对(),y f x x R =∈，当
12,(,0]x x ∈-∞时，
()()2121
0f x f x x x -<-成立，若()()2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒
成立，则a 的可能取值为（ ）
A ．
B ．1-
C ．1 D
【答案】BC 【分析】
由已知得函数()f x 是偶函数，在[0,)+∞上是单调增函数，将问题转化为2
|2||21|ax x <+对
任意的x ∈R 恒成立，由基本不等式可求得范围得选项． 【详解】
因为函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，所以函数()y f x =的图象关于直线
0x =（即y 轴）对称，所以函数()f x 是偶函数.
又12,(,0]x x ∈-∞时，
()()2121
0f x f x x x -<-成立，所以函数()f x 在[0,)+∞上是单调增函数.
且()()
2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒成立，所以2
|2||21|ax x <+对任意的x ∈R 恒成
立，
当0x =时，01<恒成立，当0x ≠时，2|21|11
|||||||||2|22x a x x x x x
+<
=+=+，
又因为1|||
|2x x +=≥||x =
时，等号成立，
所以||a <，因此a <<，
故选：BC. 【点睛】
方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或
()max 0f x ≤恒成立.
16．已知函数()()(
)2
2
2
24x x f x x x m m e
e --+=-+-+（e 为自然对数的底数）有唯一零
点，则m 的值可以为（ ） A ．1 B ．1-
C ．2
D ．2-
【答案】BC 【分析】
由已知，换元令2t x =-，可得()()f t f t -=，从而f t 为偶函数，()f x 图象关于
2x =对称，结合函数图象的对称性分析可得结论.
【详解】
∵22222222()4()()(2)4()()x x x x f x x x m m e e x m m e e --+--+=-+-+=--+-+， 令2t x =-，则2
2
()4()()t
t
f t t m m e e -=-+-+，定义域为R ，
22()()4()()()t t f t t m m e e f t --=--+-+=，故函数()f t 为偶函数，
所以函数()f x 的图象关于2x =对称， 要使得函数()f x 有唯一零点，则(2)0f =， 即2
482()0m m -+-=，解得1m =-或2 ①当1m =-时，2()42()t t f t t e e -=-++ 由基本不等式有2t t e e -+≥，当且仅当0t =时取得
2()4t t e e -∴+≥
故2()42()0t t f t t e e -=-++≥，当且仅当0t =取等号 故此时()f x 有唯一零点2x =
②当2m =时，2()42()t t f t t e e -=-++，同理满足题意. 故选：BC ． 【点睛】
方法点睛：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.
②()y f x =的图象关于直线x a =对称 ()()f a x f a x ⇔-=+()()2f x f a x ⇔-=+
17．对于函数()9
f x x x
=+
，则下列判断正确的是（ ） A ．()f x 在定义域内是奇函数
B ．函数()f x 的值域是(][
),66,-∞-⋃+∞ C ．()12,0,3x x ∀∈，12x x ≠，有
()()1212
0f x f x x x ->-
D ．对任意()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠，有()()12121
22x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
【答案】ABD 【分析】
根据函数奇偶性定义判断()f x 的奇偶性，利用基本不等式求()f x 的值域，设
1203x x <<<，根据解析式判断()()12,f x f x 的大小，进而确定
()()1212
,0f x f x x x --的大
小关系，应用作差、作商法判断12122,2()()f x f x x x f +⎛⎫
⎪+⎝⎭
大小关系，进而确定各项的
正误. 【详解】
A ：由解析式知：定义域为0x ≠，99
()()()f x x x f x x x
-=-+=-+=--，即()f x 在定义域内是奇函数，正确；
B ：当0x >时，()96f x x x =+
≥=当且仅当3x =时等号成立；当0x <时有
0x ->，()9[()()]6f x x x
=--+-≤-=-当且仅当3x =-时等号成立；
故其值域(][
),66,-∞-⋃+∞，正确；
C ：当1203x x <<<时，()()1212121212
999()(1)f x f x x x x x x x x x -=-+
-=--，而120x x -<，12910x x -
<，则()()120f x f x ->，所以()()1212
0f x f x x x -<-，错误；
D ：若12
0x x >>，1212123622x x f x x x x +⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭
，121212
99
()()f x f x x x x x +=++
+，所以121212123699()()]2[()2f x f x x x x x x x f +⎛⎫
- ⎪⎝+=-++⎭，而12122
121236
4199()x x x x x x x x +=<++，即()()1212122
x x f f x f x +⎛⎫<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，正确； 故选：ABD 【点睛】
关键点点睛：综合应用函数奇偶性的证明、对勾函数值域的求法、作差(作商)法比较大小，判断各选项的正误.
18．已知函数()2,0
21,0
x x ax x f x x -⎧+≤=⎨->⎩，则（ ）
A ．()f x 的值域为()1,-+∞
B ．当0a ≤时，()()
2
1f x f x >+
C ．当0a >时，存在非零实数0x ，满足()()000f x f x -+=
D ．函数()()g x f x a =+可能有三个零点 【答案】BC 【分析】
A ．考虑2a =时的情况，求解出各段函数值域再进行判断；
B ．先根据条件分析()f x 的单调性，再根据21x +与x 的大小关系进行判断；
C ．作出
222,,y x ax y x ax y x ax =+=-+=-+的函数图象，根据图象的对称性进行分析判断；
D ．根据条件先分析出()0,1a ∈，再根据有三个零点确定出a 满足的不等式，由此判断出
a 是否有解，并判断结论是否正确.
【详解】
A ．当0x >时，21011x
y -=->-=-，当0x ≤时，2
22
24a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝
⎭，取
2a =，此时()2
111y x =+-≥-，
所以此时的值域为[)1,-+∞，故A 错误；
B ．当0a ≤时，2
22
24a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝
⎭的对称轴为02a x =-≥，所以()f x 在
(],0-∞上单调递减，
又因为()f x 在()0,∞+上单调递减，且200021a -+⨯=-，所以()f x 在R 上单调递减，
又因为2
2131024x x x ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝
⎭，所以21x x +>，所以()()
21f x f x >+，故B 正
确；
C ．作出函数22,,21x y x ax y x ax y -=+=-+=-的图象如下图所示：
由图象可知：22,y x ax y x ax =+=-+关于原点对称，且2
y x ax =-+与21x y -=-相
交于()00,x y ，
因为点()00,x y 在函数2
y x ax =-+的图象上，所以点()00,x y --在函数2
y x ax =+的图
象上，
所以()()()00000f x f x y y +-=+-=，
所以当0a >时，存在0x 使得()()000f x f x -+=，故C 正确；
D ．由题意知：()f x a =-有三个根，所以()f x 不是单调函数，所以0a >， 又因为()2
11,0x
y -=-∈-，所以()1,0a -∈-，所以()0,1a ∈，
且22
,4a y x ax ⎡⎫=+∈-+∞⎪⎢⎣⎭
，若方程有三个根，则有2
4a a ->-，所以4a >或0a <，这与()0,1a ∈矛盾，
所以函数()()g x f x a =+不可能有三个零点，故D 错误， 故选：BC. 【点睛】
思路点睛：函数与方程的综合问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有： （1）确定方程根的个数； （2）求参数范围； （3）求不等式解集； （4）研究函数性质.
19．已知()f x 为定义在R 上且周期为5的函数，当[)0,5x ∈时，()243f x x x =-+.则下列说法中正确的是（ ）
A ．()f x 的增区间为()()15,2535,55k k k k ++⋃++，k Z ∈
B ．若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1
C ．当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]
1,4
D ．若()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，则k 的取值范围为12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】BC 【分析】
首先作出()f x 的图象几个周期的图象，由于单调区间不能并，可判断选项A 不正确；利用数形结合可判断选项B 、C ；举反例如1k =时经分析可得()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，可判断选项D 不正确，进而可得正确选项. 【详解】
对于选项A ：单调区间不能用并集，故选项A 不正确；
对于选项B ：由图知若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1， 故选项B 正确；
对于选项C ：()10f =，()43f =，由图知当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]
1,4，故选项C 正确；
对于选项D ：当1k =时，直线为2y x =-过点()5,3，()f x 也过点()5,3，当10x =时，1028y =-=，直线过点
()10,8，而点()10,8不在()f x 图象上，由图知：当
1k =时，直线为2y x =-与()y f x =有3个交点，由排除法可知选项D 不正确，
故选：BC 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
20．已知函数()221,0log 1,0
x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程()()22
210f x f x a -+-=的根的个数
可能为（ ） A ．2 B ．6
C ．5
D ．4
【答案】ACD
【分析】
先画出()f x 的图象，再讨论方程()()22
210f x f x a -+-=的根，求得()f x 的范围，再
数形结合，得到答案. 【详解】
画出()f x 的图象如图所示：
令()t f x =，则22210t t a -+-=，则24(2)a ∆=-，
当0∆=，即22a =时，1t =，此时()1f x =，由图1y =与()y f x =的图象有两个交点，
即方程()()22
210f x f x a -+-=的根的个数为2个，A 正确；
当>0∆时，即22a <时，212t a =-，则2022a <-≤
故211212a <+-≤212121a ≤-<，
当212t a =-2()12f x a =--(1,1)∈-，则x 有2解， 当212t a =-t (1,2]∈，则x 有3解；若t (2,12]∈+
，则x 有2解，
故方程()()22
210f x f x a -+-=的根的个数为5个或4个，CD 正确；
故选：ACD 【点睛】
本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.。