九年级数学切线长定理浙江版知识精讲

九年级数学切线长定理某某版
【本讲教育信息】
一. 教学内容： 切线长定理
二. 教学重、难点：
重点：切线长定理的理解 难点：切线长定理及其应用
三. 知识回顾：
1. 切线长的概念：
过圆外一点引圆的两条切线，则圆外一点到切点之间的线段长叫做该点到圆的切线长。

2. 切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

3. 几个重要结论
（1）从圆外一点引圆的两条切线，则有连结两切点的弦被圆心和这一点的连线垂直平分，过两切点半径的夹角被圆心和这一点的连线所平分；
（2）圆外切四边形的两组对边之和相等。

（3）圆外切平行四边形为菱形。

【典型例题】
例1. 如图，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B ，OP 交AB 于C ，AB=8，AB 的弦心距为3，求PA 的长．
解：连AO 。

∵PA 、PB 为圆O 的切线 ∴PA=PB ，∠APO=∠BPO ∴PO 垂直平分AB ∴4AB 2
1
AC ==
，又OC=3，OA ⊥PA
∴5OC AC AO 22=+=
又OA ⊥PA ，AC ⊥PO ∴可证得∠APO=∠OAC ∴Rt △PCA ∽Rt △ACO 3
20
CO AC AO PA CO AC AO PA =
⋅=∴=∴
注：运用切线长定理计算时，常常综合运用勾股定理，垂径定理，相似三角形以及等腰三角形的知识．
例2. 如图，AC 、BD 为圆O 的两条平行切线，A 、B 为切点，CD 也与圆O 相切，求证：AC ·BD 为定值．
由圆的“背景”证定值，猜想这个定值与圆的半径有关，故设圆O 的半径为R ．
证明：设CD 切圆O 于E ，连结OC 、OD 、OE ，由切线长定理知AC=CE ，BD=DE ． ∴AC ·BD=CE ·DE 又可证∠OCE=∠OCA ︒=︒
=
∠+∠⇒⎭⎬⎫∠=∠902180ODE OCE CA//DB ODB ODE 且 ∠COD=90° ∵OE ⊥CD 于E ∴OE 2=CE ·DE ∴AC ·BD=OE 2 显然OE=R
∴AC ·BD=R 2为定值
例3. 如图，△ABC 中，DE//BC ，交AB 、AC 于点D 、E ，圆O 内切于四边形DBCE 于点N 、P 、Q 、M ，已知△ABC 的周长为16，且BC=4．
求：（1）AN 的长．
（2）△ADE 的周长和DE 的长．
C
解析：∵圆O 内切于四边形DBCE 于点N 、P 、Q 、M ． ∴16)AN PC BP (2=++ ∴BP+PC+AN=8 又BP+PC=4 ∴AN=4
∵EA DE AD C ADE ++=∆ 又DM=DN ，EM=EQ 8AN 2C ADE ==∴∆ ∵DE//BC 2DE 168
4DE C C BC DE ABC
ADE =∴=
∴
=
∴∆∆ 注：“圆外切四边形两组对边的和相等”的理论依据就是切线长定理．
例4. 如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 所对的边，P 为内心，PD ⊥BC 于D ，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ．
求证：BD 、AE 为方程0ab cx 2x 22=+-的两个实根．
证明：由切线长定理，得⎪
⎩⎪⎨⎧=+-+=
⇒+=+⇒⎭⎬⎫=+=+③
②①b R AE 2
b c a BD c a b BD 2c AE BD a R BD
2a c b AE c b BD R AE 2:
-+=
+=+++③②
2
a
c b AE ,2b c a BD -+=
-+= ∴ab 2
1
4ab 2b a c 4)b a (c 4)a c b )(b c a (AE BD 22222=+--=--=-+-+=⋅
又BE+EA=BD+EA=c
∴BD+EA=c ，BD ·EA=ab 21
∴BD 、AE 为方程0ab cx 2x 22
=+-的两个实数根．
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 圆外切梯形的周长是16，则此梯形的中位线长为_______________．
2. 已知Rt △ABC 的斜边上的中线长为6.5，它的周长为30，求Rt △ABC 内切圆的半径．
3. 如图，过半径为6的圆O 直径AB 的两端作该圆的切线AC 、BD ．现过圆O 上一点P 作圆O 的切线与AC 、BD 分别交于C 、D ，已知90S ABCD =四边形，求四边形ABCD 各边的长．
4. 如图，圆O 内切于△ABC ，切点为P 、Q 、R ，直线DE 切圆O 于M ，交AB 和AC 于D 、E
．已知△ABC 的周长为8cm ，BC=2cm ，且BC//DE ，求DE 的长．
C
5. 已知I 是△ABC 的内心，ID ⊥BC 于D ，AB ·AC=2BD ·DC ．求证：∠A=Rt ∠．
6. 如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥BC ，以AB 为直径的圆O 与CD 切于E ，对角线AC 、BD 相交于F ．
求证：∠DFE=∠DBC ．
C
7. O 为正方形ABCD 一边BC 的中点，AP 与以O 为圆心，OB 为半径的半圆切于点T ，求AT ：TP 的值．
8. AB 为圆O 直径，AD 、BC A 、B 、E ，OD 与AE 相交于点F ，CO
与BE 相交于点G ．
求证：（1）CO ⊥OD ．
（2）四边形EFOG 是矩形．
试题答案
1. 4
2. 2
3. 各边长分别为12，12，15和3．
提示：连CO 、PO 、DO ，则由PD CP OP 2⋅=得36BD AC =⋅ 又90S ABCD =四边形
∴AC+BD=15
解方程15BD AC =+且AC ·BD=36即可 4. DE=1cm ．
提示：证明△ADE ∽△ABC 则△ADE 的周长：△ABC 的周长=DE ：BC 即4：8=DE ：2 ∴DE=1
5. 由切线长定理知2
AB
AC BC CD ,2AC BC AB BD -+=
-+=
又AB ·AC=2BD ·DC
∴)AC AB 2AB AC BC (2
1
)AB AC BC )(AC BC AB (21AC AB 222⋅+--=-+-+=⋅
∠
=∠∴+=∴Rt A AB AC BC 2
22
6. 由AD//BC ，AB ⊥BC 知，AB ⊥AD
∵AB 为直径
∴AD 、BC 切圆O ，又CD 切圆O 于E ∴AD=DE ，BC=CE 又可证△AFD ∽△CFB ∴FB DF BC AD = DBC
DFE BC
//FE FB
DF EC DE ∠=∠∴∴=∴ 7. AT ：TP=4：1
提示：连AO 、OT 、PO ．由222DP AD AP +=得4
a PC = 设AB=a
又a AB AT ==，4
a PC TP =
= ∴1:4TP :AT =
8. 提示：运用切线长定理证明．。