第一章 1.2(1)

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件考情考向分析命题的真假判断和充分、必要条件的判定是考查的主要形式，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为填空题，低档难度．1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念一般地，如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件如果p⇒q，且q pp是q的必要不充分条件如果p q，且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分又不必要条件如果p q，且q p知识拓展从集合的角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“对顶角相等”是命题．(√)(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(×)(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)(4)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(√)(5)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√)题组二教材改编2．[P8习题T2]下列命题是真命题的是________．(填序号)①矩形的对角线相等；②若a＞b，c＞d，则ac＞bd；③若整数a是素数，则a是奇数；④命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题．答案①3．[P7例1]“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要题组三易错自纠4．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是________．答案若x≤y，则x2≤y2解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．5．“sin α>0”是“α是第一象限角”的________条件．答案 必要不充分解析 由sin α>0，可得α是第一或第二象限角及终边在y 轴正半轴上；若α是第一象限角，则sin α>0，所以“sin α>0”是“α是第一象限角”的必要不充分条件．6．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是____________． 答案 (2，＋∞)解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.题型一 命题及其关系1．下列命题是真命题的是________．(填序号) ①若1x ＝1y ，则x ＝y ；②若x 2＝1，则x ＝1； ③若x ＝y ，则x ＝y ； ④若x ＜y ，则x 2＜y 2. 答案 ①2．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是________． 答案 不拥有的人们不幸福 3．下列命题：①“若a 2<b 2，则a <b ”的否命题； ②“全等三角形的面积相等”的逆命题；③“若a >1，则ax 2－2ax ＋a ＋3>0的解集为R ”的逆否命题； ④“若3x (x ≠0)为有理数，则x 为无理数”的逆否命题． 其中正确的命题是________． 答案 ③④解析 对于①，否命题为“若a 2≥b 2，则a ≥b ”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，为假命题；对于③，当a >1时，Δ＝－12a <0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确．4．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是__________．答案若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0思维升华(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二充分必要条件的判定典例(1)(2017·浙江改编)已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的________条件．答案充要解析方法一∵数列{a n}是公差为d的等差数列，∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.若d＞0，则21d＞20d,10a1＋21d＞10a1＋20d，即S4＋S6＞2S5.若S4＋S6＞2S5，则10a1＋21d＞10a1＋20d，即21d＞20d，∴d＞0.∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件．方法二∵S4＋S6＞2S5等价于S4＋S4＋a5＋a6＞2(S4＋a5)等价于a6＞a5等价于a5＋d＞a5等价于d＞0，∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件．(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的______条件．答案充分不必要解析由5x－6>x2，得2<x<3，即q ：2<x <3. 所以q ⇒p ，pq ，所以綈p ⇒綈q ，綈q綈p ，所以綈p 是綈q 的充分不必要条件．思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．跟踪训练 (1)已知α，β均为第一象限角，那么“α＞β”是“sin α＞sin β”的________条件． 答案 既不充分又不必要解析 取α＝7π3，β＝π3，α＞β成立，而sin α＝sin β，sin α>sin β不成立．∴充分性不成立；取α＝π3，β＝13π6，sin α＞sin β，但α＜β，必要性不成立．故“α＞β”是“sin α＞sin β”的既不充分又不必要条件．(2)设向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，则“a ∥b ”是“tan θ＝12成立”的______________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 必要不充分解析 a ∥b 等价于sin 2θ＝cos 2θ等价于cos θ＝0或2sin θ＝cos θ等价于cos θ＝0或tan θ＝12，所以“a ∥b ”是“tan θ＝12成立”的必要不充分条件． 题型三 充分必要条件的应用典例 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}．由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]． 引申探究若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解， 即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练 (1)设p ：|2x ＋1|<m (m >0)；q ：x －12x －1>0.若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为__________． 答案 (0,2]解析 由|2x ＋1|<m (m >0)，得－m <2x ＋1<m ， ∴－m ＋12<x <m －12.由x －12x －1>0，得x <12或x >1.∵p 是q 的充分不必要条件，又m >0， ∴m －12≤12，∴0<m ≤2.(2)设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析 由Δ＝16－4n ≥0，得n ≤4，又n∈N*，则n＝1,2,3,4.当n＝1,2时，方程没有整数根；当n＝3时，方程有整数根1,3，当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.等价转化思想在充要条件中的应用典例已知p：⎪⎪⎪⎪1－x－13≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．思想方法指导等价转化思想是指在解题中将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题．本题中既有对题目中条件的化简，又有充分必要条件和集合间关系的转化．解析∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即p是q的充分不必要条件，由x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，得1－m≤x≤1＋m(m＞0)．∴q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x－13≤2，得－2≤x≤10，∴p对应的集合为{x|－2≤x≤10}．设N＝{x|－2≤x≤10}．由p是q的充分不必要条件知，N M，∴⎩⎪⎨⎪⎧m＞0，1－m＜－2，1＋m≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m＞0，1－m≤－2，1＋m＞10，解得m≥9.∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．答案[9，＋∞)1．一个命题的逆否命题是“若1∈A,1∈B，则A∩B＝{1}”，那么该命题是________命题．(填“真”或“假”)答案假2．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为________．答案 2解析原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个假命题．3．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________条件．答案必要不充分4．已知命题p：若a<1，则a2<1，则下列说法正确的是________．(填序号)①命题p是真命题；②命题p的逆命题是真命题；③命题p的否命题是“若a<1，则a2≥1”；④命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a<1”．答案②解析若a＝－2，则(－2)2>1，∴命题p为假命题，∴①不正确；命题p的逆命题是“若a2<1，则a<1”，为真命题，∴②正确；命题p的否命题是“若a≥1，则a2≥1”，∴③不正确；命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a≥1”，∴④不正确．log(x＋2)＜0”的________条件．5．“x＞1”是“12答案充分不必要解析 由x ＞1，得x ＋2＞3，即12log (x ＋2)＜0，12log (x ＋2)＜0，得x ＋2＞1，即x ＞－1，故“x ＞1”是“12log (x ＋2)＜0”成立的充分不必要条件．6．若实数a ，b 满足a >0，b >0，则“a >b ”是“a ＋ln a >b ＋ln b ”的________条件． 答案 充要解析 设f (x )＝x ＋ln x ，显然f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∵a >b ，∴f (a )>f (b )，∴a ＋ln a >b ＋ln b ，故充分性成立； ∵a ＋ln a >b ＋ln b ，∴f (a )>f (b )，∴a >b ，故必要性成立，故“a >b ”是“a ＋ln a >b ＋ln b ”的充要条件．7．已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的________条件． 答案 充分不必要解析 若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交．8．在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，则“cos A >sin B ”是“△ABC 为钝角三角形”的________条件． 答案 充要解析 因为cos A >sin B ，所以cos A >cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， 因为角A ，B 均为锐角，所以π2－B 为锐角，又因为余弦函数y ＝cos x 在(0，π)上单调递减， 所以A <π2－B ，所以A ＋B <π2，在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以C >π2，所以△ABC 为钝角三角形；若△ABC 为钝角三角形，角A ，B 均为锐角， 则C >π2，所以A ＋B <π2，所以A <π2－B ，所以cos A >cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， 即cos A >sin B .故“cos A >sin B ”是“△ABC 为钝角三角形”的充要条件．9．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则原命题及命题的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________． 答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．10．设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要解析 当x >1，y >1时，x ＋y >2一定成立，即p ⇒q ， 当x ＋y >2时，可令x ＝－1，y ＝4，即q ⇏p ， 故p 是q 的充分不必要条件．11．已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x ＜0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________． 答案 (0,3)解析 令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x ＜0}＝{x |0＜x ＜4}． ∵p 是q 的充分不必要条件，∴M N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a ＋1＜4，解得0＜a ＜3.12．有下列几个命题：①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________． 答案 ②③解析 ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，错误； ②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，正确； ③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，正确．13．已知p ：函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，q ：函数g (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0，且a ≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p 是q 的________条件．答案 充要解析 易知p 成立等价于a ≤1，q 成立等价于a ＞1，所以綈p 成立等价于a ＞1，则綈p 是q 的充要条件．14．已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析 方法一 命题p 为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤1， 命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．綈p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <12， 綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1或x <a }．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a <12，∴0≤a ≤12. 方法二 命题p 为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 12≤x ≤1， 命题q 为B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件，即A B .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a <12或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>1，a ≤12，∴0≤a ≤12.15．若“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是________________．答案 ⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 解析 若数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)为递增数列，则有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1>2λ对任意的n ∈N *都成立，于是可得3>2λ，即λ<32. 故所求λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 16．设a ，b 为正数，则“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 充分不必要解析 ∵a －b >1，即a >b ＋1.又∵a ，b 为正数，∴a 2>(b ＋1)2＝b 2＋1＋2b >b 2＋1，即a 2－b 2>1成立；反之，当a ＝3，b ＝1时，满足a 2－b 2>1，但a －b >1不成立．所以“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的充分不必要条件．。