向量组的等价及向量组的秩

向量组的等价及向量组的秩
一 基本概念
1 设T 是由若干个n 维向量构成的集合，向量12,,,r T ααα∈ ，若有
（1）12,,,r ααα 线性无关；
（2）T 中任一向量都可由12,,,r ααα 线性表示。

那么，则称12,,,r ααα 是T 的一个极大无关组。

称r 为T 的秩数，若T 无极大无关组，即T 不含非零向量时，称T 的秩数为0。

T 的秩数记为()R T 。

2设有n 维向量组Ⅰ：12,,,s ααα 与n 维向量组Ⅱ：12,,,t βββ 。

如果Ⅰ中任一向量都可由Ⅱ中向量线性表示，反之Ⅱ中任一向量都可由Ⅰ中向量线性表示，那么则称向量组Ⅰ与Ⅱ等价。

3 矩阵A 的行向量组的秩数称为A 的行秩数；A 的列向量组的秩数称为A 的列秩数。

A 的行秩数记为行秩A ；A 的列秩数记为列秩A 。

二 主要结论
1 简化行阶梯形矩阵的性质
（1）主列构成的向量组线性无关；
（2）每一非主列均可由前面的主列线性表示；从而若有非主列，则其列向量组必线性相关。

（3）主列构成的向量组即为列向量组的一个极大无关组；从而列秩数等于主列的个数。

2 对矩阵A 进行行的初等变换不改变A 的列向量组的线性关系。

3 个数大于维数的向量组必线性相关；特别有，n +1个n 维向量必线性相关。

4 设向量组12,,,s ααα 中任一向量都可由向量12,,,t βββ 线性表示。

那么，如果s t >，则向量组12,,,s ααα 必线性相关。

等价陈述即其逆否命题为：设向量组12,,,s ααα 中任一向量都可由向量12,,,t βββ 线性表示。

那么，如果向量组12,,,s ααα 线性无关，则必有s t ≤。

推论1：向量组T 的极大无关组中所含向量个数被T 所唯一确定。

即T 的任意两个极大无关组中所含向量个数相等。

推论2：设向量组（Ⅰ）中任一向量都可由（Ⅱ）中向量线性表示，则R (Ⅰ)≤ R (Ⅱ)。

推论3：等价的向量组的秩数相等。

5 对任意矩阵A 均有，行秩A =列秩A =R （A ）。

6 设A 为n 阶方阵，则下述条件等价：
（1）A 为可逆矩阵：
（2） 0A ≠；
（3）()R A n =：
（5）行秩A =列秩A =n
（6）A 的列向量组线性无关；
（7）A 的行向量组线性无关；
例 题
一 计算题
1 求向量组1102112112,,,,2311101133-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的秩，一个极大无关组以及把其余向量表成极大无关组的线性组合。

2 已知向量组1231392,0,6317ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭与12301,2,1110a b βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
有
相同的秩，且3β可由123,,ααα线性表示，求,a b 的值。

二 单项选择题
1设n 维向量组（Ⅰ）：123,,ααα与向量组（Ⅱ）：1234,,,αααα的秩均为3，向量组（Ⅲ）：1235,,,αααα的秩为4，则向量组12354,,,ααααα-的秩为
（A ） 2， （B ） 3， （C ） 4， （D ） 5。

2设12,,,s ααα 与12,,,t βββ 是两个n 维向量组，且秩12(,,,)s ααα =秩12(,,,)t r βββ= ，则
（A ） 两个向量组等价；
（B ） 秩1212(,,,,,,,)s t r αααβββ= ；
（C ） 当12,,,s ααα 可由12,,,t βββ 线性表示时，12,,,t βββ 也可由12,,,s ααα 线性表示；
（D ） 当s t =时，两个向量组等价。

三 证明题
1设T 是一个向量组，12,,,r T ααα∈ ，且12,,,r ααα 线性无关，证明下述两条件等价：
（1）T 中任一向量都可由12,,,r ααα 线性表示；
（2）T 中任何1r +向量都线性相关。

2 设向量组T 的秩为r ，12,,,r T ααα∈ ，证明若12,,,r ααα 线性无关，则12,,,r ααα 为T 的一个极大无关组。

3 设向量组T 的秩为r ，12,,,r T ααα∈ ，证明若T 中任何向量都可由12,,,r ααα 线性表示，则12,,,r ααα 为T 的一个极大无关组。

4设向量12(1)s s αααα=+++> ，而11βαα=-，22,,
βαα=- s s βαα=-，
证明：秩12(,,,)s ααα =秩12(,,,)s βββ ；
5 举例说明两个向量组的秩相等时这两个向量组未必等价。

但若秩相等且其中一个向量组中的任何向量都可由另一个向量组中的向量线性表示，则这两个向量组等价。

6 设111121230012A -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭
，B 为33⨯矩阵，且0AB =，证明B 的列向量组线性相关。

作 业
1设向量组12,,,s ααα 的秩为r ，其中 1,0s r >>，则
（A ） 必有r s <；
（B ） 向量组12,,,s ααα 中任意个数小于r 的部分向量组必线性相关；
（C ） 向量组12,,,s ααα 中任意r 个向量必线性无关；
（D ） 向量组12,,,s ααα 中任意r +1个向量必线性相关。

2 设向量组12,,,s ααα 中任一向量都可由向量12,,,t βββ 线性表示。

则下列结论正确的是
（A ） 当s t >时向量组12,,,s ααα 线性相关；
（B ） 当s t <时向量组12,,,s ααα 线性相关；
（C ） 当s t >时向量组12,,,t βββ 线性相关；
（D ） 当s t <时向量组12,,,t βββ 线性相关。

3设A 为m n ⨯矩阵，且()R A m =，则
（A ） A 的行向量组与列向量组都线性无关；
（B ） A 的行向量组线性无关，列向量组线性相关；
（C ） 当m n ≠时，A 的行向量组线性无关，列向量组线性相关； （D ） 当m n ≠时，A 的行向量组与列向量组都线性无关。

4 求向量组1122220112,,,,1302421123⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的秩，一个极大无关组以及把其余向量表成极大无关组的线性组合。

5 设有向量组123411321326,,,15110312p p αααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（1）p 为何值时该向量组线性无关？并在此时将向量41610α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
用1234,,,αααα线性表示；
（2）p 为何值时该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组。

6 设T 是一个向量组，12,,,m T ααα∈ ，若T 中任何向量都可由12,,,r ααα 唯一线性表示，证明12,,,r ααα 为T 的一个极大无关组。

7 设n 维向量组（Ⅰ）：12,,,s ααα ，的秩为1r ，向量组（Ⅱ）：12,,,t βββ 的秩为2r ，向量组（Ⅲ）：12,,,s ααα ，12,,,t βββ 的秩为3r ，证明下列结论：
（1）若向量组（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示，则2r =3r ；
（2）若向量组（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示，则1r =3r ；
（3）若2r =3r ，则12r r ≤；
（4）若1r =3r ，则21r r ≤。

8 设向量组12,,,m ααα 的秩为r ，证明向量组12,,,,m αααβ 的秩仍为r 的充分必要条件是β可由12,,,m ααα 线性表示。