2023届四川省成都市高三高考模拟考试数学(理)试题【含答案】

2023届四川省成都市高三高考模拟考试数学（理）试题
一、单选题
1．使成立的一个充分不必要条件是（ ）21x ≥A ．B ．13x <<02x <<C ．x <2D ．02
x <≤【答案】B
【分析】根据分式不等式的解法以及充分不必要条件的概念求解.
【详解】由得，
2
1x ≥02x <≤所以“”是“”的即不充分也不必要条件，故A 错误；13x <<2
1
x ≥“”是“”的充分不必要条件，故B 正确；
02x <<2
1
x ≥“”是“”的即不充分也不必要条件，故C 错误；2x <21
x ≥“”是“”的充要条件，故D 错误.02x <≤2
1
x ≥故选：B.
2．某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X ，Y ，已知X ，Y 均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正
(
)2
11, X N μσ()2
2
2
, Y N μσ确的是（ ）
A ．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性
B ．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性
C ．甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值
D ．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值【答案】A
【分析】根据正态分布密度曲线的对称轴为，图像越瘦高数据越稳定可得.
x μ=【详解】由图知甲乙两条生产线的平均值相等，甲的正态分布密度曲线较瘦高，所以甲生产线产品
的稳定性高于乙生产线产品的稳定性.故选：A
3．设是纯虚数，若是实数，则的虚部为（ ）
z 31i z
++z A ．B ．C ．1D ．3
3-1-【答案】D
【分析】设，代入并化简，再结合是实数求解即可.
()i 0z b b =≠31i z ++31i z
++【详解】设
，
()
i 0z b b =≠则
，
()()()()
()()22
3i 1i 33i 33i 33i i i 1i 1i 1i 1i 1i 2b b b z b b b +-++-++-+-====+++--因为是实数，
31i z
++所以，即，30b -=3b =所以，故的虚部为3.3i
z =z 故选：D.
4．羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm ，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是6cm ，底部所围成圆的直径是2cm ，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．27π37π47
π3
π
【答案】C
【分析】将圆台补成圆锥，由相似求出小圆锥的母线长，结合圆心角公式求解即可.【详解】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大、小圆锥的侧面积之差，
设小圆锥母线长为x ，则大圆锥母线长为x ＋7，由相似得，即x ＝，
1
73x x =
+72所以可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为.
2π14π
77
2⋅=故选：C.
5．如图，
的值为（ ）πcos 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
A B C ．D 45
【答案】B
【分析】由位置可将转化为，
求出利用诱导公式即可.()2,2Q π4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π2xOP -∠sin α【详解】
设，
xOP α∠=
则cos α==
sin α==因，则，
()
2,2Q π4yOQ ∠=
故，
ππ42θα
+=-
ππcos cos sin 42θαα⎛⎫⎛⎫
+=-==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故选：B
6．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入的方格内，使三33⨯行､三列､对角线的三个数之和都等于15，如图所示
.
一般地.将连续的正整数1，2，3，…，n 2填入个方格中，使得每行､每列､每条对角线上的数的n n ⨯和相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的数的和即方格内的所有数的和为S ，如图三阶幻方记为
，那么
（ ）
345
S =9S =
A ．3321
B ．361
C ．99
D ．33
【答案】A
【分析】根据题意利用等差数列求和公式得结果.
【详解】由题意知，,
()222991+9123++9=
=3321
2
S =++ 故选：A
7．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6
【答案】B
【分析】利用赋值法，令，，两式相加即可求解.
1x ==1x -【详解】，
4234
01234(1)x a a x a x a x a x -=++++令，,
1x =01234+0a a a a a +++=令
,
012341,16x a a a a a =--+-+=相加可得.
0248
a a a ++=故选：B.
【点睛】本题考查了赋值法求部分项系数和问题，属于基础题.
8．德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点，是的
A B MON ∠边上的两个定点，是边上的一个动点，当在何处时，最大？问题的答案是：当
ON C OM C ACB ∠
且仅当的外接圆与边相切于点时最大，人们称这一命题为米勒定理.已知点，的坐
ABC OM C D E 标分别是，，是轴正半轴上的一动点.若的最大值为，则实数的值为
()0,1()0,m F x DFE ∠π
6m （ ）A ．2B ．3
C ．或
D ．2或4
3m =1
3
m =
【答案】C
【分析】根据米勒定理，当最大时，的外接圆与轴正半轴相切于点；再根据圆的DFE ∠DEF x F 性质得到为等边三角形，从而求出的值.
DME m 【详解】根据米勒定理，当最大时，的外接圆与轴正半轴相切于点.DFE ∠DEF x F 设的外接圆的圆心为，则，圆的半径为.DEF M 1,2F m M x +⎛⎫ ⎪
⎝
⎭M 12m r +=
因为为，所以
，即为等边三角形，DFE ∠π6π
3DME ∠=
DME 所以，即或，解得或.DE r =112m m +-=112m m +-=3m =1
3m =故选：C.
9．已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
21
(),()sin 4f x x g x x
=+=
A ．
B ．
1()()4
y f x g x =+-
1()()4
y f x g x =--
C ．
D ．
()()y f x g x =()()
g x y f x =【答案】D
【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解.【详解】对于A ，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除
()()21
sin 4y f x g x x x =+-
=+A ；对于B ，
，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；
()()21
sin 4y f x g x x x =--
=-对于C ，，则，
()()21sin 4y f x g x x x
⎛
⎫==+ ⎪⎝⎭212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭当时，，与图象不符，排除C.
4x π
=2102164y π
π⎛⎫'=++> ⎪⎝⎭故选：D.
10．已知函数 在 上单调递增，则f （x ）在上的零点可能π()sin(),06f x x ωω=+>ππ,64⎡⎤-⎢⎣⎦()0,2π有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个
【答案】A
【分析】根据条件求出的取值范围，再运用整体代入法求解.
ω【详解】由，
πππ
2π2π,262k x k k ω-
+≤+≤+∈Z
，即只能取0，得 πππππππππ
,2π2π
642666462x k x k ωωω-≤≤∴-+≤-+≤+≤+≤+ k 2ππ33x ω
ω-≤≤，
因为在 上单调递增，则 解得
，()f x ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2π
π,36ππ,34ωω⎧-≤-⎪⎪⎨
⎪≥⎪⎩403ω<≤由 ，则 ，设，()0,2πx ∈πππ,2π666x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭π6t x ω=+则 ，因为，，ππ,2π66t ω⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭ππ17π2π,666ω⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦17ππ8π2π2π3π6633-==+<所以函数在 上的零点最多有2个；sin y t =ππ,2π6
6ω⎛⎫+ ⎪
⎝⎭故选：A.
11．将《三国演义》､《西游记》､《水浒传》､《红楼梦》4本名著全部随机分给甲､乙､丙三名同学，每名同学至少分得1本，A 表示事件：“《三国演义》分给同学甲”；B 表示事件：“《西游记》
分给同学甲”；C 表示事件：“《西游记》分给同学乙”，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．()()()
P A P B P AB =()()()P A P C P AC =C ．
D ．
()512
P B A =
()512
P C A =
【答案】D
【分析】先得到
，，，从而得到()()()1
3P A P B P C ===
()118P AB =()536P A C =
和，AB 错误，利用条件概率公式得到C 错
()()()19P A P B P A B =≠()()()
1
9P A P C P A C =≠误，D 正确.
【详解】将《三国演义》､《西游记》､《水浒传》､《红楼梦》4本名著全部随机分给甲､乙､丙三
名同学，共有（个）基本事件，
22
43C A 36=《三国演义》连同另一本书分给同学甲，则三本书和三名同学进行全排列，有种情况，
33
A 同学甲只分一本《三国演义》，则将三本书分为2组，再分给乙和丙，故有种情况，
2232
C A 故事件A 包含的基本事件数为，则，
3223
3
2
A C A 12+=()121
363P A =
=同理，
，
()()1
3P B P C ==
《三国演义》和《西游记》分给同学甲，则剩余两本书，分给乙丙，则事件包含的基本事件数AB 为
，则
，
22
A 2
=()213618P AB =
=
《三国演义》分给同学甲，《西游记》分给同学乙，若剩余两本书给丙，则有种情况，
22
C 若剩余两本书其中一本给丙，另一本给甲或乙，则有
种情况，1122
C C 故事件包含的基本事件数为，则
，
AC 2
112
22
C CC 5+=()5
36P A C =
A 选项，因为，故A 错误；()()()
1
9P A P B P A B =≠B 选项，因为
，故B 错误；()()()1
9P A P C P A C =
≠C 选项，因为，故C 错误.
()()()
1
6
P AB P B A P A =
=D 选项，因为，故D 正确；
()()()
512
P AC P C A P A =
=
故选：D
12．对于非空实数集，记.设非空实数集合，若时，则.
A {,}
A y x A y x *=∀∈≥M P ⊆1m >m P ∉现给出以下命题：
①对于任意给定符合题设条件的集合M ､P ，必有；**P M ⊆②对于任意给定符合题设条件的集合M ､P ，必有；*M P ⋂≠∅③对于任意给定符合题设条件的集合M ､P ，必有；
*M P ⋂=∅④对于任意给定符合题设条件的集合M ､P ，必存在常数，使得对任意的，恒有，
a *
b M ∈*a b P +∈其中正确的命题是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④
【答案】B
【分析】根据集合定义得为不小于集合中最大值的所有数构成的集合.利用集合定义得到新集*A A 合，利用集合关系判断①，利用特殊集合判断②③，利用特例法结合集合定义判断④.【详解】由已知，为不小于集合中最大值的所有数构成的集合.
*A A ①因为，设集合M 和P 中最大值分别为m 和p ，则，故有，正确；M P ⊆p m ≥**P M ⊆②设，则，故，错误；{}01M P x x ==<<{}1M x x *=≥*M P ⋂=∅③设，则，故，错误；
{}01M P x x ==<≤{}1P x x *=≥*M P ⋂≠∅④令，则对任意的，，故恒有，正确.
**
min min a P M =-*b M ∈***min min min a b P M b P +=-+≥*a b P +∈故选：B
二、填空题
13．已知S 是ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若＝，则x ＋y ＋z ＝
BD
xAB y AC z AS ++ _______．【答案】0
【分析】以
为基底表示向量，再根据＝求解.
{},,AB AC AS
BD BD
xAB y AC z AS ++ 【详解】如图所示：
，
BD AD AB =- ，()
12AS AC AB =+-
，
1122AB AS AC
=-++ 又因为＝，
BD
xAB y AC z AS ++ 所以
，
1
1,2x y z =-==
所以，0x y z ++=故答案为：0
14．写出一个同时满足下列条件①②的等比数列的通项公式__________.
{}n a n a =①
；②
10
n n a a +<1
n n a a +<【答案】
（答案不唯一）
()2n
-【分析】可构造等比数列，设公比为，由条件，可知公比为负数且，再取符合的值即可q q
||1q >得解.
【详解】可构造等比数列，设公比为，q
由
，可知公比为负数，10
n n a a +<q
因为
，所以
，
1
n n a a +<1
q >所以可取设，q
2,-12a =-则
.
()
1
2(2)2n n n a -=-=-⋅-故答案为：
.
()2n
-15．经过椭圆中心的直线与椭圆相交于M ，N 两点（点M 在第一象限），过点M 作x 轴2
21
2x y +=的垂线，垂足为点E ，设直线NE 与椭圆的另一个交点为P ，则∠NMP 的大小为___________.
【答案】/2π
90
【分析】设出相关点的坐标，利用点差法得出，利用斜率公式得出相关直线的斜率即
1
2MN MP k k ⋅=-
可求解.【详解】设
，则
，
()()()
111100,0,0,,M x y x y P x y >>()()
111,,,0N x y E x --所以
，
101011110110,,2MN PN EN PM y y y y y y
k k k k x x x x x x +-=====+-，
22101010210101012PN PM
y y y y y y k k x x x x x x -+-⨯=⋅==--+-所以
，所以.
11122PN PM y k k x =-=1
1PM x
k y =-所以
，所以，所以
.11111MN PM y x k k x y ⎛⎫⨯=⨯-=- ⎪⎝⎭MN MP ⊥π2
NMP ∠=故答案为：π
2
16．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，两个底面均为边长为1的正方形，过BD 1
作平面
分别交棱AA 1，CC 1于E ，F ，则四边形BFD 1E 面积的最小值为________．
α【分析】先确定四边形BFD 1E 为平行四边形，连接BD 1，设△BFD 1中BD 1边上的高为h ，于是
，因此只需求h 的最小值即可．
11122BFD BFD E S S BD h h
===⋅△四边形【详解】如图所示，过点F 作FH ⊥BD 1交BD 1于H ，设FH ＝h ．
由题意得，长方体对面平行，所以截面BFD 1
E 为平行四边形，
12BD ==则
，
11122BFD BFD E S S BD h h
===⋅△四边形当h 取最小值时四边形BFD 1E 的面积最小，h 的最小值为直线CC 1与直线BD 1间的距离．易知
平面，故到平面的距离即为的最小值，
1CC ∥11BDD B 1CC 11BDD B h
.
min 2AC h =
=
()
1min
2BFD E
S =四边形
故四边形BFD 1E ．
.
三、解答题17．如图，在三棱柱
中，平面，，，，点、
111ABC A B C -1CC ⊥ABC AC BC ⊥2AC BC ==13CC =D 分别在棱和棱上，且，，为棱的中点.
E 1AA 1CC 1AD =2CE =M 11A B
（1）求证：；11C M B D ⊥（2）求二面角
的正弦值.
1B B E D
--
【答案】（1）证明见解析；（2
【分析】（1）证明出
平面
，即可证得；
1C M ⊥
11AA B B
11C M B D ⊥（2）计算出的边上的高，并求出点到平面
的距离，由此可得出二面角
1 B DE DE h D 11
BCC B d 的正弦值为.1B B E D
--d h 【详解】（1）在三棱柱
中，平面，则平面，111ABC A B C -1CC ⊥ABC 1BB ⊥111A B C 平面
，则
，
1C M ⊂
111
A B C 11
C M BB ⊥，则，为的中点，则，
AC BC = 1111A C B C =M 11A B 111C M A B ⊥，平面，
1111BB A B B = 1C M ∴⊥11AA B B
平面
，因此，；
1B D ⊂
11AA B B
11C M B D ⊥（2），，，所以，
112B C = 11C E =111B C C E
⊥1B E ==同理可得1B D ==取
的中点，连接，则，
1A D F EF 111A F C E ==因为
且
，故四边形为矩形，则
，
11//
A F C E
1
11A C C E
⊥11A
C EF 112
EF A C ==所以，DE ==由余弦定理可得
，则
22211111cos 25B E DE B D B ED B E DE +-∠==-
⋅1
sin B ED ∠=所以，的边上的高
1 B DE DE 1sin h DE B ED =∠=平面，平面，则，
1CC ⊥
ABC AC ⊂ABC 1AC CC ⊥
，，平面，
AC BC ⊥ 1BC CC C ⋂=AC ∴⊥11BB C C 因为
，平面，平面，故平面，
11//AA CC 1AA ⊄11BB C C 1CC ⊂11BB C C 1//AA 11BB C C ，故点到平面
的距离，
1
D AA ∈ D 11BB C C 2d AC ==设二面角
为，则
1B B E D
--θsin 2
d h θ=
==18．如图是某企业2016年至2022年的污水净化量（单位：吨）的折线图.注：年份代码1~7分别对应年份2016~2022.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 和t
的关系，请建立y 关于t 的回归方程，并预测2025年该企业的污水净化量；
(2)请用相关指数说明回归方程预报的效果.
参考数据：
；
()()7
154, 3.74,
i i i y t t
y y ==--=≈∑ (
)
7
2
1
9
4i i
i y y =-=
∑参考公式：线性回归方程
；
1
2
1
ˆˆ()(ˆˆˆˆ)
,,()n
i
i i n
i
i t
t y y y
a bt
b a
y bt t
t ==--=+==--∑∑相关指数：
221
2
1
()1(ˆ)
n
i
i
i n
i
i y y
R y y ==-=-
-∑∑【答案】(1)，58.5吨3
ˆ514y t =+(2)答案见解析
【分析】（1）结合题目数据利用最小二乘法求出线性回归直线方程，代入计算即可；（2）利用已知数据求出相关指数，利用统计知识说明即可.【详解】（1）由折线图中的数据得，，
4t =54y =
，
1
22222222
1
()()
21213
(14)(24)(34)(44)(54)(64)(74)284
()ˆn
i
i i n
i
i t
t y y b
t
t ==--==
==
-+-+-+-+-+-+--∑∑所以，
3ˆˆ544514a
y bt =-=-⨯=所以y 关于t 的线性回归方程为，3ˆˆˆ514y
bt a t =+=+将2025年对应的t =10代入得，3
ˆ105158.54y =⨯+=所以预测2025年该企业污水净化量约为58.5吨.
（2）因为
，
7
2
21
7
2
1
()9117
1110.875
41888
(ˆ)
i
i
i i
i y y
R y y ==-=-
=-⨯=-==-∑∑所以“污水净化量的差异”有87.5%是由年份引起的，说明回归方程预报的效果是良好的.19．在△ABC 中，D 为边BC 上一点，，，．
90BAD ∠=︒B DAC ∠=∠127BD AC
=(1)求；
tan 2B (2)若，求内切圆的半径．
7AB =ABC 【答案】(1)24
7
(2)2
【分析】（1）设，在利用余弦定理结合已知条件即可求解；B DAC α∠=∠=ADC △（2）结合（1）的结论得到，然后在中利用余弦定理得到，然后利用三角
4
cos 5α=
ABC 20BC =形面积相等即可求解.
【详解】（1）设，
B DA
C α∠=∠
=∴，，
90ADC α∠=︒+902C α∠=︒-在中，由正弦定理可得
，
ADC △()()
sin 902sin 90AD AC
αα=
︒-+
在中，，又
，
ABD △sin AD BD α=127AC BD =
所以，12
sin 7cos 2cos BD
BD ααα=∴
，
12
sin cos cos 27ααα=
∴，112
sin 2cos 227αα
=∴
．
24tan 27α=
（2）∵，
22tan 24
tan 21tan 7ααα=
=
-∴，又易知为锐角，
()()3tan 44tan 30αα+-=α∴
，∴，，3tan 4α=
3sin 5α=4cos 5α=
∵，∴，∴中，，
7AB =35
4BD =
ABD △15AC =又
，
()3cos cos 90sin 5BAC αα︒∠=+=-=-
在中，由余弦定理可得，ABC 222
2cos 400
BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=∴．
20BC =设的内切圆半径为r ，则，
ABD △()11
sin 22ABC S AB AC BAC AB AC BC r ∆=
⋅∠=++则.
2r =20．已知双曲线E ：与直线l ：相交于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点．2
21
4x y -=3y kx =-(1)当k 变化时，求点M 的轨迹方程；
(2)若l 与双曲线E 的两条渐近线分别相交于C 、D 两点，问：是否存在实数k ，使得A 、B 是线段CD 的两个三等分点？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)，其中或
2
2
412x y y =+3y ≤-1
3
y >
(2)存在，
32k =±
【分析】（1）设
，
，
，联立直线l 与双曲线E 的方程，消去y ，得
()
11,A x y ()
22,B x y ()
00,M x y ，根据已知直线l 与双曲线E 相交于A 、B 两点，得且
()2
2
1424400
k x
kx -+-=2
160640k ∆=->
，即且
，由韦达定理，得，2140k -≠252k <
2
14k ≠12
22414k x x k -+=-则，，联立消去k ，得
，再根据的范围得出的范围，即可021214k
x k -=-02314y k -=-22
000412x y y =+k y 得出答案；（2）设
，
，根据双曲线E 的渐近线方程与直线l 的方程联立即可得出
()
33,C x y ()
44,D x y ，，则，即线段AB 的中点M 也是线段CD 的中点，若
3621x k =
-46
21x k =
+340212214x x k x k +-==-A ，B 为线段CD 的两个三等分点，则
，结合弦长公式列式得
，即可
3CD AB
=3412
3x x x x -=-化简代入得出
，即可解出答案.
21241k =-【详解】（1）设，
，
，
()
11,A x y ()
22,B x y ()
00,M x y 联立直线l 与双曲线E 的方程，得
，223
44y kx x y =-⎧⎨-=⎩消去y ，得
．
()2
2
1424400
k x
kx -+-=由且，得
且
．2
160640k ∆=->2
140k -≠252k <
21
4k ≠
由韦达定理，得
．1222414k
x x k -+=
-所以
，．120212214x x k x k +-==-2002
2123
331414k y kx k k --=-=-=--由消去k ，得
．020********k x k y k -⎧=⎪⎪-⎨
-⎪=⎪-⎩22000412x y y =+由
且，得或．
252k <
21
4k ≠
03y -≤013y >所以，点M 的轨迹方程为，其中或
．
2
2
412x y y =+3y ≤-1
3y >
（2）双曲线E 的渐近线方程为
．12y x
=±设，，联立得
，同理可得，()33,C x y ()44,D x y 123y x
y kx ⎧
=⎪⎨⎪=-⎩3621x k =-46
21x k =+因为，
340
2
12214x x k
x k +-==-所以，线段AB 的中点M 也是线段CD 的中点．若A ，B 为线段CD 的两个三等分点，则
．
3CD AB
=
，
．
42
x x
=3412
3x x x x -=-而
，．
1x
-=34
26612212141x x k k k -=-=-+-所以，，
21241k =-3
2k =±
所以
，存在实数，使得A 、B 是线段CD 的两个三等分点．
3
2k =±
21．已知函数.
()()
2
ln x
f x x a =
-(1)当时，求在区间
上的值域；
0a =()
f x []1,e (2)若
有唯一的极值点，求的取值范围.
()
f x a 【答案】(1)10,2e ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
(2)
(]{}
,01-∞ 【分析】（1）根据
的正负可确定的单调性，由此可确定最值点，根据最值可得值域；
()
f x '()
f x （2）将问题转化为讨论的变号零点，令
，分别在和的情况下，
()
f x '()12ln a
g x x x =--0a ≤0a >
结合
的单调性和零点存在定理的知识可说明的正负，从而得到
单调性，由极值点
()
g x ()
f x '()
f x 定义可确定满足题意的的范围
.a 【详解】（1）当时，
，则，
0a =()2ln x
f x x =
()
3
12ln x f x x -'=当
时，；当时，；
∴
x ⎡∈⎣()0f x ¢>x ∈⎤⎦()0f x '<在上单调递增，在上单调递减，
，
()f x \⎡⎣⎤⎦()max 1
2e
f x f ∴==又，，，()10f =()21
e e
f =()()min 10f x f ∴==在上的值域为
.()f x \[]1,e 10,2e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦（2）
，的极值点即为的变号零点，
()()()
33
2ln 12ln x a a
x x
x x f x x a x a ----'==--()f x ()f x '设，；()12ln a g x x x =--()2222a a x
g x x x x -'=-=
①若，与在上单调递减，0a ≤a
y x =-
2l n y x =-()0,∞+在
上单调递减；
()
g x ∴()0,∞+，
，
()110
g a =-> ()()e 12ln e 0e a
g a a a -=-
--<-存在唯一的，使得，
∴()01,e x a ∈-()00g x =又
定义域为
，，
()
f x ()0,∞+()3
x a ->，且当
时，
；当
时，
；
()00f x '∴=()
00,x x ∈()0
f x ¢>()
0,x x ∈+∞()0
f x '<在
上单调递增，在上单调递减，
()f x \()00,x ()0,x +∞存在唯一的极大值点，符合题意；
()
f x \②若，
定义域为
，
0a >()
f x ()()0,,a a +∞ 当时，
，
，
，单调递减，
x a >()3
x a ->()0
g x '<()2ln g a a
=-()g x ∴（i ）当时，，，即，
1a >()0
g a <()0g x ∴<()0f x '<在
上无极值点；
()
f x \(),a +∞（ii ）当时，，，即，
1a =()0
g a =()0g x ∴≤()0f x '≤在
上无极值点；
()
f x \(),a +∞（iii ）当时，
，，
01a <<()0
g a >()20
g <存在唯一的
，使得，即，∴()
1,2x a ∈()10g x =()10
f x '=当
时，
，即
；当
时，
，即
；
()
1,x a x ∈()0g x >()0
f x ¢>()1,x x ∈+∞()0
g x <()0
f x '<是的极大值点，此时在上有一个极值点；
1x x ∴=()f x ()f x (),a +∞当时，
；令
，解得：
，
0x a <<()
3
x a -<()0
g x '=2a
x =
则当
时，；当时，；0,2a x ⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭()0g x '>,2a x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x '<在上单调递增，在上单调递减；()g x ∴0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
令，解得：
12ln 022a a g ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭a =
（i ）当时，若，，，
1a
>a ⎛∈ ⎝02a g ⎛⎫> ⎪⎝⎭()2ln 0
g a a =-<当时，，0,2a x ⎛⎫∈ ⎪
⎝
⎭22161612ln 1430
1616a a g a a ⎛⎫=--<--=-< ⎪⎝⎭，，使得，22,162a a x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭3,2a x a ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭()()230g x g x ==则当
时，
，即
；当
时，
，即
；
()()
230,,x x x a ∈ ()0
g x <()0
f x ¢>()
23,x x x ∈()0
g x >()0
f x '<在
上单调递增，在上单调递减，
()
f x \()()230,,,x x a ()23,x x 此时
在
上有两个极值点；
()
f x ()0,a 若，则，，则
，a ⎫∈+∞⎪⎭0
2a g ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭()0g x ≤()0f x '≥此时
在
上无极值点；
()
f x ()0,a 不符合题意；
1a ∴>（ii ）当时，，，，1a =102g ⎛⎫
> ⎪⎝⎭10
16g ⎛⎫< ⎪⎝⎭()10
g =存在唯一的，使得，∴411,162x ⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭()40g x =则当
时，
，则
；当
时，
，则
；
()
40,x x ∈()0
g x <()0
f x ¢>()
4,x x ∞∈+()0
g x >()0
f x '<在
上单调递增，在上单调递减，
()
f x \()40,x ()4,x +∞为唯一的极大值点，此时在有一个极值点，
4x x ∴=()f x ()f x ()0,a 则符合题意；
1a =（iii ）当时，，；
01a <<0
2a g ⎛⎫> ⎪⎝⎭()2ln 0
g a a =->当时，；
0,2a x ⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭2160g a ⎛⎫< ⎪⎝⎭存在唯一的
，使得，∴25,16a x a ⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭()50g x =
当
时，
，则
；当
时，
，则
；
()
50,x x ∈()0
g x <()0
f x ¢>()
5,x x ∈+∞()0
g x >()0
f x '<在
上单调递增，在上单调递减，
()
f x \()50,x ()5,x +∞为的极大值点，此时在有一个极值点，不合题意；
5x x ∴=()f x ()f x ()0,a 综上所述：的取值范围为
.
a (]{},01-∞ 【点睛】思路点睛：本题考查利用导数研究函数的极值点的问题，解题基本思路是将问题转化为讨论导函数的变号零点个数的问题，可以结合函数中的零点存在定理的知识来说明变号零点的个数，从而得到函数的单调性和极值点个数.
22．在直角坐标系中，已知曲线（为参数），曲线，以坐标原
xOy 1:sin x t C y t ⎧=⎪
⎨
=⎪⎩t 2
:(0)C r r ρ=>点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.O x (1)曲线
的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；
1C 2C (2)已知是曲线
上的两个动点（异于原点），且，若曲线与直线有且仅有
,A B 1C 90AOB ∠=︒2C
AB 一个公共点，求的值.
r 【答案】(1)，2222cos 2sin 2ρθρθ+=222
(0)
x y r r +=>
【分析】（1）先求曲线
的直角坐标方程，再由写成极坐标方程；由
1C cos ,sin x y ρθρθ==写出曲线的直角坐标方程；
222x y ρ=+2C （2）根据曲线
与直线有且仅有一个公共点，得出是直角三角形斜边上的高，根据等2
C AB r AOB 面积法转化为求解即可.
OA OB r AB
⨯=
【详解】（
1）由曲线（为参数），
1:sin x t
C y t ⎧⎪⎨
=⎪⎩t
消去参数，得，t 2
222
cos sin 1
y t t +=+=所以曲线的直角坐标方程为.
1C 2
212x y +=
又由，得
，cos ,sin x y ρθρθ==2222cos 2sin 2ρθρθ+=所以曲线
的极坐标方程为.1C 2222cos 2sin 2ρθρθ+=由曲线，得，即，2:C r
ρ=22r ρ=222x y r +=所以曲线的普通方程为
.2C 222(0)x y r r +=>（2）由题意，设，则，
90AOB ∠=︒()1,A ρα()2,90B ρα+ 又曲线与直线有且仅有一个公共点，故为点到直线的距离，
2C AB r O AB 由曲线的极坐标方程，得，1C 2222cos 2sin 2ρθρθ+=2221
cos 2sin 2θθρ+=所以，，22211
cos 2sin 2ααρ+=()()222222cos 902sin 901sin 2cos 22ααααρ++++== 所以，即
221211
32ρρ+=()221221232ρρρρ+
=
==又，OA OB AB r
⨯=⨯所以
OA OB
r AB ⨯====即所求实数r。