回归教材 立足教材 高于教材——例谈圆锥曲线的二轮复习

回归教材立足教材高于教材——例谈圆锥曲线的二轮复习
汪智源
【期刊名称】《上海中学数学》
【年(卷),期】2014(000)007
【总页数】4页(P59-62)
【作者】汪智源
【作者单位】242000 安徽省宣城市第二中学
【正文语种】中文
高考的二轮复习与系统的一轮复习相比，具有时间短、知识综合性强、思维要求高等特点.圆锥曲线属于二轮复习的主干知识体系，在试卷中一般分布在试卷的后三题，是高考的难题.所以，圆锥曲线的二轮复习有时成了一些教师的“鸡肋”.复习，怕没有效果；不复习，丢如此多分太可惜，造成整个数学考试成绩不理想.
那么，如何复习呢？笔者认为，应紧紧依据《数学课程标准》和《考试说明》对这部分的要求，具体如下.
一、教学与考试要求
1. 圆锥曲线
(1) 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
(2) 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率)．
(3) 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．
(4) 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、准线、离心率)．
(5) 掌握直线与圆锥曲线的位置关系；能解决圆锥曲线的简单应用问题．
(6) 理解数形结合的思想．
2. 曲线与方程
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
试题的命制就是以此为依据，在圆锥曲线基本性质、直线与圆锥曲线的知识点处命题，结合向量、导数等知识，在“数与形”的交汇点处命题，立足运用解析法的思想.注重考查学生的运算求解能力、推理论证能力和创新能力，体现高考试题的“能力立意”的思想.虽然有些教师试图从题目类型的角度总结六七种类型让学生掌握，但鉴于上述知识特点，学生实际掌握效果往往与复习效果大相径庭.主要表现在：
(1) 恰当转化几何问题成为代数式的欠缺.
(2) 圆锥曲线计算上存在畏难情绪.
另一方面，高考题命制立足于教材，又高于教材.所以，在圆锥曲线的二轮复习中首先要回归教材，虽然学生经过了一轮复习，但其对教材中的基础知识和基础方法掌握得并不牢靠，特别是圆锥曲线的知识，这一点从历年高考阅卷中能够得到验证. 回归教材，并不是简单地把教材的题目再做一遍，而是教师站在高考题命制的角度审视教材，从学生学习的实际情况出发，引导学生再学习、再思考、再提炼.让学生在此过程中，结合历年的高考题感知教材中体现的基础知识和基本思维方法，进一步巩固自己的知识，更好地培养数学的抽象思维能力.
二、回归教材立足教材
笔者以2013年陕西卷理科第20题为例.
如图1，已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.
图1
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是∠PBQ的角平分线, 证明直线l过定点.(答案略)
1. 本题有两个小题，题(Ⅰ)设动点圆心坐标，利用圆的半径、弦的一半和弦心距构成直角三角形来求解,是立足于知识立意的一道小题.此题的解法在人教A版教材必修二第132页习题4.2A组第6题就有所体现：
教材题目求圆心在直线3x-y=0上，与x轴相切，且被直线x-y=0截得的弦长为的圆的方程.(解法略)
本题涉及的解决思路和题(Ⅰ)如出一辙，如果学生能真正掌握教材中题目，相信解决题(Ⅰ)没有问题.在二轮复习时不能只让学生解答此题，故笔者给出了此题的变式. 图2
变式如图2，求与x轴相切，且被直线x-y=0截得的弦长为的圆心的轨迹方程.
解得轨迹方程：x2-2xy-y2+14=0(解法略).并用几何画板进行了验证.
点评：课本的题目是一道中档题，笔者做了实验，在事先没有预习的情况下，已经结束一轮复习的学生完全做对的只有三分之一，笔者实验的学生来自省示范高三理科班，他们的数学基础并不差，结果却令笔者很意外，事后从问卷调查中得知原因有二.
(1) 与一轮复习的知识时间间隔较远，有所遗忘.
(2) 学生把复习重心放在了圆锥曲线上，对圆重视不够.
笔者进一步感受到回归教材的重要性.变式去掉了原题的一个条件，把求曲线的轨迹方法嵌入了圆的知识中，注重了对数学思维方法的考查；笔者将这两道题进行了
比较，之后，学生切实感受到教材是高考复习的根本.此外，笔者还借助几何画板的动态演示，充分发挥现代信息技术的作用，向学生演示方程中参数的变化对方程所表示的曲线的影响，使学生进一步理解曲线与方程的关系.
2. 题(Ⅱ)中的“x轴是∠PBQ的角平分线”在教材中也有体现，如人教A版教材必修二第114页复习参考题B组第1题：
教材题目与直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为 ( )
A. 3x+4y-5=0
B. 3x+4y+5=0
C. 3x-4y+5=0
D. 3x-4y-5=0
变式 (1) 求与直线3x-4y+5=0关于y轴对称的直线的方程.
(2) 求与直线3x-4y+5=0关于某个具体直线y=kx+b对称的直线的方程.
(3) 求直线3x-4y+5=0和具体直线y=kx+b的角平分线方程.
点评：以教材题目为依托，通过题目串的方式给出一组有梯度的题目,让学生在复习中巩固、提高，学会解决一类问题.学生在解决角平分线问题时会很从容，这归功于对教材的再一次挖掘(角平分线问题在高考中常有出现，如2012年的安徽高考题、2013年山东高考题).反之，如果教师此时把复习重心定位在教辅资料上，与高考的方向就会出现一定的偏差，容易产生二轮复习的“滑过现象”.
三、依据教材高于教材
在整个复习迎考阶段都应以教材为依据、为根本，但又不能囿于教材.事实上，教师复习不仅要立足于教材，而且要高于教材.这就要求教师不能就题论题，要在平时注重探究，把特殊情况一般化，采取深化策略，从圆锥曲线的整体高度探讨某一个曲线的性质是否可以推广到其他的圆锥曲线中去.教师要积极探索，学生也要做力所能及的探求，以此来把握数学问题的本质，提高自己分析问题、解决问题的能力.对于题(Ⅱ)，笔者便做了以下的推广，给出两个结论让学生解决.
结论 (1) 对于抛物线y2=2px(p>0)满足上述条件，是否有定点？
(2) 对于椭圆、双曲线满足上述条件，是否有定点？
图3
拓展 1. 如图3，抛物线y2=2px(p>0)，已知点B(m,0), 设不垂直于x轴的直线l 与抛物线交于不同的两点P, Q, 若x轴是∠PBQ的角平分线, 证明直线l过定点. 解：设直线l的方程为：y=kx+b，P(x1,y1),Q(x2,y2).
联立方程得化简得k2x2-2(kb+p)x+b2=0.
Δ=4(kb+p)2-4k2b2>0⟹(2kp+p)p>0,
根据角平分线易得
(kx1+b)(x2+m)+(kx2+b)(x1+m)=0,
化简得2kx1x2+(km+b)(x1+x2)+2bm=0.
把(1)的结论代入得
化简得2(2kb+p)(b+km)=0,
由2kb+p>0得b+km=0，故b=-km.
有y=kx+b=k(x-m),所以直线过定点(m,0).
图4
2. 如图4,椭圆已知点B(-t,0), 设不垂直于x轴的直线与椭圆交于不同的两点P, Q, 若x轴是∠PBQ的角平分线, 证明直线过定点
解：设直线l的方程为：y=kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2).
联立方程得化简得(a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2(m2-b2)=0,
Δ=(2a2km)2-4(a2k2+b2)a2(m2-b2)>0⟹4(a2b2)(k2a2-m2+b2)>0.
根据角平分线易得
(kx1+m)(x2+t)+(kx2+m)(x1+t)=0,
化简得2kx1x2+(kt+m)(x1+x2)+2mt=0.
把(1)的结论代入得
化简得2b2(tm-ka2)=0,
有
所以直线l过定点
图5
3. 如图5,双曲线已知点B(-t,0), 设不垂直于x轴的直线l与双曲线交于不同的两点P, Q, 若x轴是∠PBQ的角平分线, 也可以证明直线过定点(证明略)
点评：结论(1)推广到一般抛物线情况，结论(2)把结论推广到一般圆锥曲线，在推导的过程中，不仅让学生在解题上得到了训练，在掌握知识的基础上进行了扎实的问题探究，获得了成功的体验，增强了解决圆锥曲线问题的信心；同时感受了从特殊到一般等抽象数学思维过程，加强了对三种圆锥曲线之间的内在联系的认识；而且，更让学生了解到高考试题是如何从课内迁移到课外的，从而再一次感受到教材在复习中的根本性.
到此没有止步，师生继续进行下列探究，学生得出了下列结论.
拓展上述条件和结论如果调换一下，是否命题还成立？
4. 如图3，抛物线y2=2px(p>0)，已知点A(m,0)，B(-m,0),设不垂直于x轴的直线l与抛物线交于不同的两点P, Q, 若直线l过定点A,证明：x轴是∠PBQ的角平分线.
5. 如图4，椭圆已知点A(m,0)，B(-m,0),设不垂直于x轴的直线与椭圆交于不同的两点P, Q, 若直线l过定点A,证明：x轴是∠PBQ的角平分线.
6. 如图5，双曲线已知点A(m,0)，B(-m,0),设不垂直于x轴的直线l与双曲线交于不同的两点P, Q, 若直线l过定点A,证明：x轴是∠PBQ的角平分线.
立足于高考的“多想少算”、注重数学思维的基本思想，上述问题，可以让学生分
小组验证，把任务分解，重心偏向类比、推广得出的结论，兼顾结论的验证.拓展4、5、6的证明过程和拓展1(抛物线)、2(椭圆)的证明类似.
可见，在圆锥曲线的二轮复习中，如果教师机械地用“题型+例题”的模式复习，学生很难有所提高，这就要求教师在备课时依据教材中相应的题目并精选历年高考试卷中的题目予以精心设计，让学生有针对性地练习.课程标准已经把合情推理能
力作为高中数学教学的目标，根据这一要求，教师在复习中要引导学生把教材的题目和高考题中的条件、结论从特殊推广到一般，类比其中某一个曲线的性质推广到其他的圆锥曲线等，从而提高学生解决此类题目的能力，达到二轮复习中的精简精炼之效.在此过程中，教师已不仅在讲知识，而且在讲方法、讲思维.从眼前看，它
有利于学生的高考复习；从长远看，让学生“做数学”，发挥数学的育人功能，符合学生的终身发展.
如今的数学高考不仅考查数学知识，更注重对学生数学思维的考查.这就要求教师
在平时的教学中让学生在观察、联想、想象、归纳、类比、推广的教学活动中，得到锻炼、提高，以此培养他们的探索精神和创新能力.所以，无论是一轮复习、二
轮复习，还是三轮的模拟训练；也无论是圆锥曲线的复习，还是函数、数列的复习，抑或是教师的备课、授课，学生的自在复习、训练，都必须紧扣《数学课程标准》和《考试说明》,都必须回归教材、依据教材、跳出教材、高于教材.只有如此，才
能达到教师预期的目的.
参考文献
【相关文献】
[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].人民教育出版社,2003.。