云南省2010届高三数学上学期月考汇编：数列

云南省2010届高三数学上学期月考汇编：数列一、选择题
1、（昆明一中一次月考理）已知
}
a{
n是公比为
q的等比数列，且2
3
1
a,
a,
a
成等差数列. 则
q=
A．1或
1
2
-
B．1 C．
1
2
-
D ．2-
答案:A
2、（昆明一中三次月考理）各项都是正数的等比数列{}
n
a
的公比
q1
≠，且231
1
a,a,a
2成等差
数列，则
45
34
a a
a a
+
+
的值为
A．15
2
-
B ．
15
2
+
C．
51
2
-
D．
15
2
+
或
15
2
-
答案：B
3．（昆明一中四次月考理）等差数列{}
n
a
的公差为2，若134
,,
a a a
成等比数列，则2
a=
（）
（A）6
-（B）8-（C）8 （D）6
答案：A
4. （昆明一中二次月考理）在实数数列中，已知，，
，…，，则的最大值为（）A．B．C．D．
答案：C
5. （昆明一中二次月考理）已知数列的通项为，下列表述正确的是（）
A. 最大项为0，最小项为
B. 最大项为0，最小项不存在
C. 最大项不存在，最小项为
D. 最大项为0，最小项为
答案：A
6. （昆明一中二次月考理）三个实数a、b、c成等比数列，若有a + b + c=1成立，则b的取值范围是（）
A. B. C. D.
答案：C
7．（玉溪一中期中理）等差数列
{}n a 中，15
54=+a a ，其前n 项和为n S
，且
=
=-267,15a S S 则（ ）
A ． 3-
B ．1
C ． 0
D ． 2 答案：C
8．（玉溪一中期中文）等差数列
{}n a 中，15
54=+a a ，其前n 项和为n S
，且
=
=-267,15a S S 则 （ ）
A ． 3-
B ．1
C ． 0
D ． 2 答案：C
9、（祥云一中二次月考理）各项均为正数的等比数列
{}n a 的前n 项和为n S ，若
,
14,23010==S S 则
40
S 等于（ ）
A.16
B. 26
C. 30
D. 80 答案：C
10、（祥云一中二次月考理）在数列
{}100
11
,,1a n a a N x a
a n n n
则时，当中，=-∈=+*的值为
（ ）
A. 4950 B 4951 C.5050 D. 5051 答案：B
11、（祥云一中月考理）设等比数列
{}n a 的公比2=q ，前n 项和为n S ，则
=2
4
a S （ ）
A ．2
B ．4
C ．215
D ．217
答案：C
12、（祥云一中二次月考理）在等差数列{}10411,,,3a a a a a n 且中，=成等比数列，则n a 的通
项公式为 （ ） A. 1
2+=n a n B.
2+=n a n w.w.w..c.o.m
C.
3
12=+=n n a n a 或 D.
2
+=n a n 或
3
=n a
答案：D
13. （祥云一中三次月考理）设0,0.a b >>若2是a 2与b 2的等比中项，则b a 11+的最小值
为
A . 1
4 B . 1 C. 4 D. 8
答案：C 二、填空题
14．（祥云一中三次月考理）已知数列}
{n a 的通项公式为
)1(1
+⋅=
n n a n ，数列}{n a 的前n 项
和为
n
S ,则lin n ∞
→n
S =_________
答案：1
15. （祥云一中三次月考文） 数列a n {}中，
11
1
2,1(2,3,4,)n n a a n a -==-
=，则4a =
答案：2
16、（祥云一中月考理）两个正数a 、b 的等差中项是9
2
，一个等比中项是,b a >则
双曲线1
2
222
=-
b y a
x 的离心率为 。

答案：541
17、（祥云一中二次月考理）数列
{}
n a 的前n 项和为
n
S ，若
)1(3
+=
n n a n ，则5S 等于
._________________
答案：185
三、解答题 18．（师大附中理）（本小题满分12分）
已知数列
{}
n a 满足
14
3n n n a a a +-=
-，且11,a n N *=∈，求n a
19、（昆明一中三次月考理）（本小题满分12分）
已知数列{}
n
a
满足12
a2,a3
==
, n+1n n1
2a3a a
-
=-()
*
n N n2
∈≥
且
（I）求数列{}
n
a
的通项公式；
（II）求使不等式
n
n1
a m2
a m3
+
-
<
-
成立的所有正整数m，n的值
20．（玉溪一中期中文）（本小题10分）在等比数列{}n a 中，66
1=+n
a a ，
128
12=-n a a ，
前n 项和
126
=n S ，求项数n 和公比q 的值。

20．解：易知
⎩⎨
⎧==⎩⎨⎧==2
64
64211n n a a a a 或
又q q a a S n n --==11261 从而
212==q q 或⎪⎩⎪⎨⎧
==
⎩⎨⎧==∴62162n q n q 或
21．（玉溪一中期中理）（本小题12分）设有数列{}n a ，
15
6a =
，若以1a ，2a ，…，n a 为系
数的二次方程：2110
n n a x a x --+=（*
n N ∈且2n ≥）都有根α、β满足331ααββ-+=
（Ⅰ）求
n
a ； （Ⅱ）求数列
{}n a 的前n 项和n S ．
21. （1）证明：∵
1n n a a αβ-+=
， 11
n a αβ-=
代入331ααββ-+=
得 11133n n a a -=+ ∴ 111111
133
2211322n n n n a a a a --+-
-
==--为定值
∴ 数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩
⎭是等比数列.∵ 115112623a -=-=. ∴ 1
11112333n n
n
a -⎛⎫⎛⎫
-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴
1132n
n a ⎛⎫=+
⎪⎝⎭
（2）
21113332n n n S ⎛⎫=++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭111331213n n
⎛⎫- ⎪⎝⎭=+-
11223n n +=-⨯ 22、（祥云一中月考理）（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的首项123a =，
121n
n n a a a +=+，1,2,3,n =…． （Ⅰ）证明：数列1
{
1}n a -是等比数列；
（Ⅱ）求数列{}
n n a 的前n 项和n S ．
22、解：
（Ⅰ）
121n n n a a a +=
+，∴ 111
111222n n n n a a a a ++==+⋅
，
∴ 11111(1)2n n a a +-=-，又
123a =，∴11112a -=，
∴数列1{
1}n a -是以为12首项，12为公比的等比数列． …………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1111111222n n n a -+-=⋅=，即1112n n a =+， ……………6分 ∴2n n n n
n a =+． ………………7分
设
23123222n T =
+++…2n
n
+， ① …… …………8分
则231122
22n T =++ (1)
122n n n n +-++，② ……………………9分 由①-②得
2111222n T =++ (11111)
(1)
1122112222212n n n n n n n n n +++-+-=-=---
，…………10分
∴
11222n n n n T -=-
-．又123+++ (1)
2n n n ++=． …………11分
23、（祥云一中二次月考理）（本小题满分12分） 已知等差数列
{}n a 的公差,27,12,,0525252==+>a a a a a a d 满足且数列{}n b 的前n 项和
为n
S ，且).(211*∈-=N n b S n n
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（2）设
n
n b b b b T 2642++++= ，求
n
n T
lim ∞
→.
23、解：
{}分）可求得的公差等差数列）由（4).((12,1,23
,3.9,3,0,27,121212
525525252*∈-=∴=-==-=
∴+===>==+N n n a d a a a a d d a a a a d a a a a a n n
{}分）（即时，当时，当项和为的前数列8.32
3132),2(31,
21
212.
32
,2111),
(21
11
1111111n n n n n n n n n n n n n b n b b b b S S b n b b b S n N n b S n b =
⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯=≥=∴-=-=≥=∴-===∴∈-=----* w.w.w..c.o.m
（2）由（1）知{}n b 2仍是等比数列，其中首项
91
922==q b ，公比 n
n b b b b T 2642++++=∴
).911(41911)
91
1(9211(2n n n
q q b -=--=
--=）
.
41
)911(41lim lim =-=∴∞→∞→n n n n T
24（祥云一中二次月考理）（本小题满分12分）、已知n 是正整数，数列
{}n a 的前n 项和为n S ，
数列{}n na 的前n 项和为..n T 对任何正整数n ，等式)3(21
-+-=n a S n n 都成立.
（1）求数列{}n a 的通项公式；w.w.w..c.o.m
（2）求n
T ；
（3）设
,3)42(,2++==n n n n S n B T A 比较
n
n B A 与的大小.
24、解(1)当1=n 时，由),
31(21
)3(21111-+-==-+-=a a S n a S n n 得 解得
.
21
1-=a 当
⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-+---+-=-=≥--)4(21)3(21,211n a n a S S a n n n n n n 时，
解得
,41211+=
-n n a a 即).21(21211-=--n n a a
因此，数列⎭⎬
⎫⎩
⎨⎧-21n a 是首项为 -1，公比为21的等比数列。

()1
21121-⎪
⎭
⎫
⎝⎛⋅-=-n n a ，即
1
21
21--=
n n a ；w.w.w..c.o.m
∴数列{}n a 的通项公式为
.21211--=
n n a
（2）
121
2-⋅-=
n n n n na ，
).212132121()321(2112-⋅++⋅+⋅+-++++=
∴n n n n T
令
1221
2132121-⋅++⋅+⋅
+=n n n U ，
则.
21
21)1(213212212
1132n n n n n U ⋅+⋅-++⋅+⋅+=- w.w.w..c.o.m 上两式相减：21n
n
n n n n n U 2121121121212121112⋅--⎪
⎭⎫
⎝⎛-=⋅-++++=-
即
.22
41-+-
=n n n U
1
2122
4162244)1(--++-+=++-+=∴n n n n n n n n n T .
（3）
1121
2423212123--+-=-++-=-+
-=n n n n n n n a S ，
3
22
2)4)(42(22216222-+--+-++-+=-∴--n n n n n n n n n n B A w.w.w..c.o.m 2652-+-=
n n .
26
5,
322-+-==n n n n 时或当 的值最大，最大值为0， .
0≤-∴n n B A
因此，当n 是正整数时，
.
n n B A ≤
25、（祥云一中二次月考理）（本小题满分12分）
在数列{}).
,2(322,311*∈≥++=-=-N n n a a a a n n n
n
且中，
（1）
的值；
求32,a a
（2）设
{}是等差数列；证明：n n
n n b N n a b ),(23*
∈+=
（3）求数列{}.
.n n S n a 项和的前
25、解（1）
),
,2(322,311*∈≥++=-=-N n n a a a n n n 且
1322212=++=∴a a
.
13322323=++=a a w.w.w..c.o.m
（2）证法一：对于任意
,*
∈N n
()[]3221
232311
111--=+-+=
-+++++n n n n n n n n n a a a a b b
=()[]
1
332
2
1
1
1
=-+++n n ，
∴数列{}n b 是首项为023
3231=+-=+a ，公差为1的等差数列.
证法二：（等差中项法）
（3）由（2）得，,1)1(023
⨯-+=+n a n
n
).
(32)1(*∈-⋅-=∴N n n a n n w.w.w..c.o.m
()[
]321)322()321(332-⋅-++-⨯+-⨯+-=∴n n n S ，
即
().
321232221432n n S n n -⋅-++⨯+⨯+⨯=
设
(),2
1
2
3
2
2
2
14
3
2n n
n
T⋅
-
+
+
⨯
+
⨯
+
⨯
=
则
(),
2
1
2
3
2
2
2
1
21
5
4
3+
⋅
-
+
+
⨯
+
⨯
+
⨯
=n n
n
T
两式相减得，
()1
4
3
22
1
2
2
2
2+
⋅
-
-
+
+
+
+
=
-n
n
n
n
T
,
2
)1
(
2
1
)
2
1(4
1
1
+
-
⋅
-
-
-
-
=n
n
n
整理得，
,
2
)2
(
41+
⋅
-
+
=n
n
n
T
w.w.w..c.o.m
从而
).
(
3
2
)2
(
41*
+∈
-
⋅
-
+
=N
n
n
n
S n
n
26. （祥云一中三次月考理）（本小题满分12分）
已知{}
n
a
是等比数列，
2
1
=
a,18
3
=
a
；
{}
n
b
是等差数列，
2
1
=
b，
20
3
2
1
4
3
2
1
>
+
+
=
+
+
+a
a
a
b
b
b
b
．
（1）求数列{}
n
a
、
{}
n
b
的通项公式；
（2）求数列{}
n
b
的前n项和n
S
；
（3）设
n
n
n
b
a
c⋅
=
2
1
，求数列
{}
n
c
的前n项和n
T
.
27. （祥云一中三次月考理）（本小题满分12分） 已知
{}
n a 是等比数列，21=a ,18
3=a ；
{}n b 是等差数列，21=b ，20
3214321>++=+++a a a b b b b ．
（1）求数列
{}n a 、{}n b 的通项公式；
（2）设n
n n b a c ⋅=
21
，求数列{}n c 的前n 项和n T ；
（3）设2
3741-++++=n n b b b b P ，
8
2141210+++++=n n b b b b Q ，其中 ,3,2,1=n ，
试比较
n P 与
n
Q 的大小，并证明你的结论．
28. （昆明一中四次月考理）（本小题满分12分）
已知
()()().14,1)(2
-=-=x x g x x f 数列{}n a 中，对任何正整数n ，等式()()()n n n n a f a g a a +-+1=0都成立，且21=a ，当2≥n 时，1
≠n
a ；设
1
-=n n a b .
（Ⅰ）求数列
{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设n S 为数列{}n nb 的前n 项和，,434321--+⋅+=n n
n n n n n S T 求n
n T ∞→lim 的值.
28．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）
()()()01142
1=-+-⋅-+n n n n a a a a
()().
013411=--⋅-∴+n n n a a a
根据已知，
1
≠n a
.4143013411+=⇒=--∴++n n n n a a a a --------------------4分
(),43
143141431,111111n n n n n b a a a b a b =-=-+=
-==-=++
{}
n b ∴是,
11=b 公比
4
3
=
q 的等比数列。

------------------------------6分
()1
1
43,43--⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪
⎭⎫
⎝⎛=n n n n n nb b II
1
2
1
434334321-⎪
⎭
⎫
⎝⎛⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=∴n n n S ①
()n
n n n n S ⎪
⎭⎫
⎝⎛⋅+⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅-++⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=-4343143343243431
3
2
②
①-②得
29. （昆明一中二次月考理）（本小题满分12分）数列的各项均为正数，
为其前项
和，对于任意，总有成等差数列.
（1）求数列
的通项公式；
（2）在集合，，且中，是否存在正整数，使得
不等式对一切满足的正整数都成立？若存在，则这样的正整数共有多少个？并求出满足条件的最小正整数的值；若不存在，请说明理由；
（2）设存在满足条件的正整数，则，
，，……（7分）又，，…，，，，…，，
所以，，…，均满足条件，
它们组成首项为，公差为的等差数列．……（9分）
设共有个满足条件的正整数，则，解得．……（10分）所以，中满足条件的正整数存在，共有个，的最小值为．……（12分）30、（本小题满分12分）
设数列{}
n
a
的前n项和为n
S
，且满足
2
+
3
=
,2
=
1+
1n
n
S
S
S()
n=1,2,3
.
（Ⅰ）求证：数列{}1+
n
S
为等比数列；
（Ⅱ）设2n n
n S a b =
,求证：1...21<+++n b b b .。