四川省成都七中高级高三入学考试试卷数学理-15页精选文档

四川省成都七中高2012级高三入学考试试卷
数学(理)
注意事项：本试题分为第I 卷和第II 卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。

、
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的
四个选项中只有一个是符合题目要求的。

1.已知全集U=R ，集合{|lg 0},{|21},()x U A x x B x A B =≤=≤U 则C =
A ．(,1)-∞
B ．(1,)+∞
C ．(],1-∞
D ．[)1,+∞ 2．设z=1+i （i 是虚数单位），则22
z z
+=
A ．1i --
B ．1i -+
C ．1i -
D ．1i +
3．函数)
(,0)(,0,)(lim ,)(lim ,),()(x f x f mn n x f m x f b a x f b x a x 则且上连续在>'<==-
+
→→在),(b a 内
A ．没有实根
B ．至少有一个实根
C ．有两个实根
D ．有且只有
一个实根
4．关于两条不同的直线m 、n 与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是 A
．
m//
α
，
n//
β
且
α
//
β
，
则
m//n
B ．,,m n αβαβ⊥⊥⊥且则m//n;
C ．m//α，n β⊥且,//;m n αβ⊥则
D ．,////,m n m n αβαβ⊥⊥且则
5．若两个非零向量,||||2||a b a b a b a +=-=r r r r r r r 满足，则向量a b a b +-r r r r 与的夹角为
A ．
6
π
B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π
6．在数列{}n a 中，*111001,,(),n n a a a n n N a +=-=∈则的值为
A ．5050
B ．5051
C ．4950
D ．4951
7.将函数f (x )的图象沿x 轴向右平移
π
3
个单位，再将横坐标伸长为原来的
2倍(纵坐标不变)，得到的图象所对应的函数为y ＝cos x ，则f (x )为
A ．y ＝cos(2x ＋
π
3
) B ．y ＝cos(2x －
π
3
) C ．y ＝cos(2x ＋2
3
π)
D ．y ＝cos(2x －
2
3
π)
8．设36log (1)(6)()31
(6)x x x f x x --+>⎧=⎨-≤⎩的反函数为118
(),(),9f x f n ---=若则
(4)f n +=
A ．2
B ．—2
C ．1
D ．—1
9.已知球的半径为5，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆
的公共弦长为6，则两圆的圆心距为
A ．4
B
C
．D ．1
10．将123)(x x +的展开式中各项重新排列，使含x 的正整数次幂的项互
不相邻的排法共有多少种？
A ．10
13313A A ⋅
B ．3
111010A A +
C ．9
9413A A ⋅
D ．3
111010A A ⋅
11．如图所示,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2, 长
为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动, 另一端点N
在正方形ABCD 内运动, 则MN 的中点的轨迹的面积为 A ．4π B ．2π
N
M D 1
C 1
B 1
A
1
D
C
C ．π
D ．
2
π
12.已知集合{(,),}U x y x R y R =∈∈，{(,)}M x y x y a =+<，
{(,)()}P x y y f x ==，现给出下列函数：①x y a =②log a y x =③sin()y x a =+④cos y ax =，若01a <<时，恒有U P C M P ⋂=，则()f x 所
有可取的函数的编号是
A ． ①②③④
B ．①②④
C ．①②
D ．④
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．已知2213sin sin 23cos 2
2
ααα-+=，则tan α=______________. 14．已知
{}n a 是等比数列，
4
1252=
=a a ，， 则
13221++++n n a a a a a a Λ= ．
15．定义在R 上的函数2()(2)3(),[0,2],()2,
f x f x f x x f x x x +=∈=-满足且当时若当13
[4,2],()()18x f x t t
∈--≥-时恒成立，则实数t 的取值范围是 . 16. 给出定义：若2
1
21+≤<-
m x m （其中m 为整数）
，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x = m . 在此基础上给出下列关于函数{}
x x x f -=)(的四个命题：
①函数y =)(x f 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤
⎢⎣⎡21,0；
②函数y =)(x f 的图像关于直线2
k
x =
（Z k ∈）对称； ③函数y =)(x f 是周期函数，最小正周期为1； ④函数y =)(x f 在⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-21,21上是增函数.
则所有正确的命题的编号是______________.
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数学试题(理科)答题卷
班级 姓名
得分 一、第一卷答题卡: 题
号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答
案
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13 _______________; 14 _____: 15 ____ 16 三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过
程或演算步骤）
17．（本题满分12分）ABC ∆中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
，向量
2(2sin ,(cos 2,2cos 1)2
B m B n B ==-u r r 且//m n u r r
（Ⅰ）求锐角B 的大小，
（Ⅱ）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值
18.（本小题共12分）某选手进行实弹射击训练，射击中每次射击的结果是相互独立的.已知他每次射击时，命中环数ξ的分布列如下表：
ξ
8 9 10 P
0.1
0.5
0.4
该选手在训练时先射击三次，若三次射击的总环数不小于29环，则射击训练停止；若三次射击的总环数小于29环，则再射击三次，然后训练停止.
（I ）求该选手在射击训练中恰好射击三次的概率；
（II ）求该选手训练停止时，射击的次数η的分布列及期望. 19.（本小题满分12分）已知：如图，长方体
中，、分
别是棱
,
上的点，,
.
（1） 求异面直线与
所成角的余弦值； （2） 证明
平面
； （3） 求二面角
的正弦值.
20．（本题满分12分）已知函数4()log (41)x f x kx =++()k R ∈是偶函数． （1）求k 的值;
（2）设44
()log (2)3
x g x a a =⋅-,若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点,求实数a 的取值范围．
21.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()111,21n n a a a n N *+==+∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足n
n
b n b b b b a )1(444411113
2
1
+=----Λ，证明：{}n b 是等差
数列；
（Ⅲ）证明：
()23111123
n n N a a a *++++<∈L 22．（本题满分14分）已知函数2()ln ()f x ax x a R =+∈．
（1）当1
2
a =时，求()f x 在区间[]1,e 上的最大值和最小值；
（2）如果函数()g x ，1()f x ，2()f x ，在公共定义域D 上，满足
12()()()f x g x f x <<，那么就称为()g x 为12(),()f x f x 的“活动函数”． 已知函数2211()()2(1)ln 2f x a x ax a x =-++-，221()22
f x x ax =+．
①若在区间()1,+∞上，函数()f x 是1()f x ，2()f x 的“活动函数”，求
a 的取值范围；
②当23
a =时，求证：在区间()1,+∞上，函数1()f x ，2()f x 的“活动函数”有无穷多个．
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数学试题(理科)参考答案
一、BDDDC D CBAD DB 二、13. 1或-3 14. 32
(14)3
n -- 15. ［-1,0）∪［3,+∞） 16. ①②③
三、17．解：（1）n m ρρΘ// B B
B 2cos 3)12
cos 2(sin 22-=-∴
B B 2cos 32sin -=∴ 即 32tan -=B
又B Θ为锐角 ()π,02∈∴B
3
22π
=∴B
3π
=
∴B
……………………………………6分
（2）得，由余弦定理ac
b c a B b B 2cos 2,32
22-+=
==π
Θ 又ac c a 222≥+Θ 代入上式得：4≤ac （当且仅当 2==c a 时等号成立。

） 34
3
sin 2
1≤=
=∆ac B ac S ABC （当且仅当 2==c a 时等号成
立。

）………12分
18.解：（I ）“射击三次的总环数为30”的事件记为A ，“射击三次的总环数为29” 的事件记为B. ---1分 则
3()0.40.064
P A ==，
12
3()C 0.40.50.24
P B =⨯=.
----------------------------4分
由已知，事件A 与B 互斥，所以射击三次的总环数不小于29环的概率为
()()()0.304
P A B P A P B +=+=.
-----------------------------------------------------6分 即该选手恰好射击了三次的概率为0.304.
---------------------------7分 （II ）由（Ⅰ）的结果可得分布列如下
η 3 6 P
0.304
0．696
------------
---------------------10分
即该选手训练停止时射击的次数η的期望为 5.088.
---------------------------12分
19. 解：法一：如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角
坐
标
系
，
设
,
依
题
意
得
,,,
（1）易得,
,
于是
所以异面直线与所成角的余弦值为--------------------4分
（2）已知,,
于是·=0，·=0.
因此，,,又
所以平面--------------------7分
（3）设平面的法向量，则,即
不妨令X=1,可得。

由（2）可知，为平面的一个法向量。

于是，从而,
所以二面角的正弦值为--------------------12分
法二：（1）设AB=1，可得AD=2,AA
1
=4,CF=1.CE=
连接B
1C,BC
1
，设B
1
C与BC
1
交于点M,易知A
1
D
∥B
1
C，
由,可知EF∥BC
1
.
故是异面直线EF与A
1
D所成的角，
易知BM=CM=,
所以 ,
所以异面直线FE与A
1
D所成角的余弦值为
--------------------4分
（2）连接AC，设AC与DE交点N 因为，
所以，从而，
又由于,所以，
故AC⊥DE,又因为CC
1
⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE.
连接BF，同理可证B
1C⊥平面ABF,从而AF⊥B
1
C,
所以AF⊥A
1D因为，所以AF⊥平面A
1
ED.
----------------7分
（3）连接A
1
N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,
又NF平面ACF, A
1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A
1
N,
故为二面角A
1
-ED-F的平面角. 易知，所以，
又所以，
在
,
连接A 1C 1,A 1F 在。

所以
所以二面角
A 1-DE-F
正弦值为
.
--------------------12分
20．解：（1）由函数()f x 是偶函数可知：()()f x f x =-
44log (41)log (41)x x kx kx -∴++=+- …………………
……2分
441
log 241
x x kx
-+=-+ 即2x kx =-对一切x R ∈恒成
立 ………………………4分
1
2
k ∴=- ……………
…………5分
（2）函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点
即方程4414log (41)log (2)2
3
x x x a a +-=⋅-有且只有一个实根 ………………6分
化简得：方程142223
x x
x a a +
=⋅-有且只有一个实根 令20x t =>，则方程24
(1)103
a t at ---=有且只有一个正
根 ………………8分
①314a t =⇒=-，不合题意； ………………………9分
②3
04
a ∆=⇒=或3- ………………………10分
若3142a t =⇒=-，不合题意；若1
32
a t =-⇒= (11)
分
③一个正根与一个负根，即
1
011
a a -<⇒>- 综上：实数a 的取值范围是{}3(1,)-⋃+∞ ………………………12分 21. 解：（1）121+=+n n a a Θ，)1(211+=+∴+n n a a ……………………1分 故数列}1{+n a 是首项为2，公比为2的等比数列。

……………………2分
n n a 21=+∴，12-=n n a …………………………………………3分
（2）n
n
b n b b b b a )1(444411113
2
1
+=----ΛΘ，n n nb n b b b 24)(21=∴-+++Λ (4)
分 ②
—
①
得
n
n n nb b n b -+=-++11)1(22，即
1
)1(2+-=-n n b n nb ③……………………6分
④—③得112-++=n n n nb nb nb ，即112-++=n n n b b b 所
以
数
列
}
{n b 是等差数
列 ……………………8分 （3）1
111
212211211-++=-<-=n n n n a a Θ
………………………………9分 设1
32111++++=
n a a a S Λ，则
)111(211322n a a a a S ++++<
Λ)1(2111
2+-+=n a S a …
………11分
3213212112<-=-<
++n n a a a S
………………………12分
22.解：（1）当2
1
a =
时，x ln x 21)x (f 2+=，x
1
x x 1x )x (f 2+=+='；
对于∈x [1, e]，有0)x (f >'，∴)x (f 在区间[1, e]上为增函数，
∴2
e 1)e (
f )x (f 2
max +
==，2
1)1(f )x (f min ==． …………
3 分
（2）①在区间（1，+∞）上，函数)x (f 是)x (f ),x (f 21的“活动函数”，则
)x (f )x (f )x (f 21<<
令x ax x a x f x f x p ln 2)2
1()()()(22+--=-=<0，对∈x （1，+∞）恒成立，
且h （x ）=f 1（x ） – f （x ）=x ln a ax 2x 2
122
-+-<0对∈x （1，+∞）恒
成立， …5分
1）若2
1a >，令0)`(=x p ，得极值点1x 1=，1
a 21
x 2-=
， 当1x x 12=>，即
1a 2
1
<<时，在（2x ，+∞）上有0)`(>x p ，
此时)(x p 在区间（2x ，+∞）上是增函数，并且在该区间上有)(x p ∈（)(2x p ，+∞），不合题意；
当1x x 12=<，即1a ≥时，同理可知，)(x p 在区间（1，+∞）上，有
)
(x p ∈（)1(p ，+∞），也不合题
意； …………7分
2） 若2
1a ≤，则有01a 2≤-，此时在区间（1，+∞）上恒有0)`(<x p ，
从而)(x p 在区间（1，+∞）上是减函数；
要使0)(<x p 在此区间上恒成立，只须满足02
1)1(≤--=a p 2
1a -≥⇒，
所
以
21
-
≤a ≤2
1． …………
9分
又因为
h /
（x ）= –x+2a –
x
a 2
= x
)a x (x a ax 2x 222--=
-+-<0, h （x ）在（1,
+∞）上为减函数， h （x ）<h （1）= 2
1-+2a ≤0， 所以a ≤4
1
综
合可知
a
的范围是
[2
1
-,4
1]． …………12分 另解：（接在（*）号后） 先考虑h （x ）,
h`（x ） = – x + 2a x a 2-=0)(2
<--
x
a x ,
h （x ）在（1,+）递减，只要h （1） 0, 得0221
≤+-a ，解得4
1≤a ． …
8分
而p `（x ）=
x x a x ]1)12)[(1(---对x （1,+） 且4
1
≤a 有p `（x ） <0．
只要p （1） 0, 0221≤--a a ，解得2
1
-≥a ,
所以．4
1
21≤≤-
a ． …………12分
②当3
2a =时，x 3
4x 21)x (f ,x ln 95x 34x 61)x (f 2221+=++=
则y=f 2（x ） –f 1（x ）=31x 2
–9
5lnx, x ∈（1，+∞）．
因为y /
=x
x x x 95695322-=->0，y=f 2（x ） –f 1（x ）在 （1，+∞）为增
函数， 所以f 2（x ） –f 1（x ）> f 2（1） –f 1（1）=3
1 ．
设R （x ）=f 1（x ）+λ3
1（0<λ<1）, 则 f 1（x ）<R （x ）<f 2（x ）,
所以在区间（1，+∞）上，函数)x (f ),x (f 21的“活动函数”有无穷多个．
其他如R （x ）=λf 1（x ）+μf 2（x ）（ 0<λ,μ<1,且λ+μ=1）等也可以．…………14分
希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：
1、上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价。

2、目标的坚定是性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的利器之一。

没有它，天才会在矛盾无定的迷径中徒劳无功。

3、当你无法从一楼蹦到三楼时，不要忘记走楼梯。

要记住伟大的成功往
往不是一蹴而就的，必须学会分解你的目标，逐步实施。