专题07 解析几何-2022高考数学(理)高频考点、热点题型归类强化

5．搞清楚双曲线渐近线的斜率：在求双曲线的渐近线方程时，一定要注意双曲线渐近线的斜率是±b还 a
是±a. b 6．忽略一元二次方程的判别式致误：对于以直线与圆锥曲线相交为前提的问题，应用直线与曲线的方
程求参数值或探究问题时，应注意判别式大于等于零这一条件．
一、选择题
真题体验
1、（2020 新课标Ⅰ卷·理科 T4）已知 A 为抛物线 C:y2=2px（p>0）上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12， 到 y 轴的距离为 9，则 p=（ ）
|O1O2|<|r1－r2| |O1O2|＝|r1－r2| |r1－r2|<|O1O2|<|r1＋r2| |O1O2|＝|r1＋r2| |O1O2|>|r1＋r2|
内含 内切 相交 外切 外离
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)． (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)． (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点 F 不在直线 l 上，PM⊥l 于 M(l 为抛物线的准线)．
a b a
x
，解得
x
y
a b
故
D(a,
b)
联立
x y
a
b a
x
，解得
x
y
a b
故
E(a,
b)
|
ED |
2b ODE
面积为： S△ODE
1 2
a 2b
ab
8
双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0) 其焦距为 2c
2
a2 b2 2
2ab 2
16 8
当且仅当 a b 2 2 取等号 C 的焦距的最小值： 8 ，故选：B.
②圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
③圆的直径式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(圆的直径的两端点是 A(x1，y1)，B(x2，y2))． (2)判断直线与圆的位置关系的方法 ①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔ 相交，Δ<0⇔ 相离，Δ＝0⇔ 相切．
2
2
5．弦长问题
直线与圆锥曲线相交时的弦长
斜 率 为 k 的 直 线 与 圆 锥 曲 线 交 于 点 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) 时 ， |AB| ＝ 1＋k2 ·|x1 － x2| ＝
1＋k2·
x1＋x2 2－4x1x2或|AB|＝ 1＋ 1 2|y1－y2|＝ 1＋ 1 2
k
k
y1＋y2 2－4y1y2.
【重要结论】
抛物线焦点弦的几个常用结论
设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p>0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①x1x2＝p42，y1y2＝－p2；②弦
长|AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2α(α为弦
AB
的倾斜角)；③ 1 ＋ 1 ＝2；④以弦 |FA| |FB| p
所以，圆心到直线 2x y 3 0 的距离为 2 5 .故选：B.
5
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
4、（2020
新课标Ⅱ卷·理科
T8）设 O 为坐标原点，直线
x
a 与双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的两条
渐近线分别交于 D, E 两点，若 ODE 的面积为 8，则 C 的焦距的最小值为（ ）
②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为 d，则 d<r⇔ 相交，d>r⇔ 相 离，d＝r⇔ 相切．(主要掌握几何方法)．
(3)两圆圆心距与两圆半径之间的关系与两圆的位置关系
设圆 O1 半径为 r1，圆 O2 半径为 r2. 圆心距与两圆半径的关系 两圆的位置关系
3．圆锥曲线的定义
(2)应用两点式方程时，注意它不包含与坐标轴垂直的直线；
(3)应用截距式方程时，注意它不包括与坐标轴垂直的直线以及过原点的直线；
(4)在处理直线与圆的位置关系时要充分利用圆的几何性质．
4．忽视定位条件：在圆锥曲线问题的研究中，应先定位，后定形，缺少了定位往往会做无用功．定位 条件是：焦点或准线，定形条件是：a，b，p.
A. 2
B. 3
C. 6
D. 9
【答案】C
【解析】设抛物线的焦点为
F，由抛物线的定义知 |
AF
|
xA
p 2
12
，即12
9
Hale Waihona Puke p 2，解得p
=
6
.
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
2、（2020 新课标Ⅰ卷·理科 T11）已知⊙M： x2 y2 2x 2 y 2 0 ，直线 l ： 2x y 2 0 ， P 为 l 上的动点，过点 P 作⊙M 的切线 PA, PB ，切点为 A, B ，当 | PM | | AB |最小时，直线 AB 的方程为（ ）
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求 最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
5、（2020 新课标Ⅲ卷·理科 T5）设 O 为坐标原点，直线 x 2 与抛物线 C： y2 2 px( p 0) 交于 D ， E 两点，若 OD OE ，则 C 的焦点坐标为（ ）
专题 07 解析几何
—2021 高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化
【高频考点及备考策略】 (1)切实掌握直线的倾斜角、斜率的概念，两直线平行、垂直的位置关系；弄清直线的点斜式、斜截式、
两点式、截距式方程的特点及相关量的几何意义；掌握求圆的方程的方法，并会判定直线与圆、圆与圆的 位置关系，会利用位置关系解决综合问题．
y2－y1 x2－x1 ④截距式：x＋y＝1(a≠0，b≠0)．
ab ⑤一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)． (5)直线的两种位置关系 ①当不重合的两条直线 l1 和 l2 的斜率存在时： (ⅰ)两直线平行：l1∥l2⇔ k1＝k2. (ⅱ)两直线垂直：l1⊥l2⇔ k1·k2＝－1. ②当两直线方程分别为 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 时： (ⅰ)l1 与 l2 平行或重合⇔ A1B2－A2B1＝0. (ⅱ)l1⊥l2⇔ A1A2＋B1B2＝0. 2．圆的有关问题 (1)圆的三种方程 ①圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
②点到直线的距离：点 P(x0，y0)到直线 Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝|Ax0＋By0＋C|. A2＋B2
③两平行线的距离：若直线 l1，l2 的方程分别为 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两平行线 的距离 d＝ |C2－C1| .
A2＋B2 (3)直线与圆相交时弦长公式 设圆的半径为 R，圆心到弦的距离为 d，则弦长 l＝2 R2－d2. (4)直线方程的五种形式 ①点斜式：y－y0＝k(x－x0). ②斜截式：y＝kx＋b. ③两点式： y－y1 ＝ x－x1 .
PM
AB
2S△PAM
2 1 2
PA
AM
2 PA ，而
PA
MP 2 4 ，
当直线 MP l 时， MP min
5，
PA min
1，此时
PM
AB
最小．
∴
MP
:
y
1
1 2
x
1
即
y
1 2
x
1 2
，由
y 2x
1 x 1 22 y20
解得，
x
y
1
．
0
所以以 MP 为直径的圆的方程为 x 1 x 1 y y 1 0 ，即 x2 y2 y 1 0 ，
两圆的方程相减可得： 2x y 1 0 ，即为直线 AB 的方程．
故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的 转化能力和数学运算能力，属于中档题．
3、（2020 新课标Ⅱ卷·理科 T5）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2x y 3 0 的
4．圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系
①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为 e＝c＝ a
1－ba22.
②在双曲线中 c2＝a2＋b2；离心率为 e＝c＝ a
1＋ba22.
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为
y＝±bx；焦点坐标 a
A. 4
B. 8
C. 16
D. 32
【答案】B
【解析】
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0) 双曲线的渐近线方程是
y
b a
x
直线
x
a
与双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0) 的两条渐近线分别交于 D ， E 两点
不妨设 D 为在第一象限， E 在第四象限
联立
x y
2
【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性， 点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.
6、（2020
新课标Ⅲ卷·理科
T11）设双曲线
C：
x2 a2
y2 b2
1 （a>0，b>0）的左、右焦点分别为 F1，F2，
离心率为 5 ．P 是 C 上一点，且 F1P⊥F2P．若△PF1F2 的面积为 4，则 a=（ ）
由题意可得 2 a2 1 a2 a2 ，可得 a2 6a 5 0 ，解得 a 1或 a 5 ， 所以圆心的坐标为 1,1 或 5,5 ，
圆心 到直线
的距离均为 d1
211 3 5
25 5
；
圆心
到直线
的距离均为 d2
2553 5
25 5
圆心到直线 2x y 3 0 的距离均为 d 2 2 5 ； 55
必备知识 1．直线的有关问题
(1)直线的斜率公式 ①已知直线的倾斜角为α(α≠90°)，则直线的斜率为 k＝tanα. ②已知直线过点 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x2≠x1)，则直线的斜率为 k＝y1－y2(x2≠x1)．
x1－x2 (2)三种距离公式 ①两点间的距离：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2.
A. 2x y 1 0
B. 2x y 1 0
C. 2x y 1 0
D. 2x y 1 0
【答案】D
【解析】圆的方程可化为 x 12 y 12 4 ，点 M 到直线 l 的距离为 d 211 2 5 2 ，所以
22 12 直线 l 与圆相离．
依圆的知识可知，四点 A, P, B, M 四点共圆，且 AB MP ，所以
(2)掌握求圆锥曲线标准方程、离心率的方法；会利用圆锥曲线的性质解决相关问题． (3)掌握根据直线与圆锥曲线的位置关系求弦长或面积的方法；会解决直线与圆锥曲线相交产生的与弦 有关的问题及最值问题． 考向预测： (1)根据两直线的位置关系求参数的值；根据直线与圆的位置关系求动点的轨迹． (2)根据圆锥曲线的性质求圆锥曲线的标准方程、离心率或离心率的范围． (3)直线与圆锥曲线位置关系有关的计算、证明、最值、轨迹问题．
F1(－c,0)，F2(c,0).
②双曲线ay22－bx22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为
y＝±ax，焦点坐标 b
F1(0，－c)，F2(0，c).
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线 y2＝±2px(p>0)的焦点坐标为(±p，0)，准线方程为 x＝∓ p.
2
2
②抛物线 x2＝±2py(p>0)的焦点坐标为(0，±p)，准线方程为 y＝∓ p.
距离为（ ）
A. 5 5
B. 2 5 5
C. 3 5 5
【答案】B
【解析】由于圆上的点 2,1 在第一象限，若圆心不在第一象限，
D. 4 5 5
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为 a,a ，则圆的半径为 a ，圆的标准方程为 x a2 y a2 a2 .
A.
1 4
,
0
B.
1 2
,
0
C. (1, 0)
D. (2, 0)
【答案】B
【解析】因为直线 x 2 与抛物线 y2 2 px( p 0) 交于 E, D 两点，且 OD OE ，
根据抛物线的对称性可以确定 DOx EOx ，所以 D 2, 2 ，
4 代入抛物线方程 4 4 p ，求得 p 1，所以其焦点坐标为 (1 , 0) ，故选：B.
AB
为直径的圆与准线相切.
【易错警示】
1．注意两平行线距离公式的应用条件
应用两平行线间距离公式时，两平行线方程中 x，y 的系数应对应相等．
2．忽略直线斜率不存在的情况
在解决有关直线问题时要考虑直线斜率是否存在．
3．注意直线方程的限制条件
(1)应用点斜式、斜截式方程时，注意它们不包含垂直于 x 轴的直线；