2021-2022年高考数学一轮总复习 1.4函数的单调性与最值课时作业 文(含解析)新人教版

2021-2022年高考数学一轮总复习 1.4函数的单调性与最值课时作业 文
（含解析）新人教版
一、选择题
1．(xx·北京卷)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln x
D ．y ＝|x |
解析：分别画出四个函数的图象，如图：
因为对数函数y ＝ln x 的定义域不是R ，故首先排除选项C ；因为指数函数y ＝e －x
，即y
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e x
，在定义域内单调递减，故排除选项A ；对于函数y ＝|x |，当x ∈(－∞，0)时，函数变为y ＝－x ，在其定义域内单调递减，因此排除选项D ；而函数y ＝x 3
在定义域R 上为增函数．故选B.
答案：B
2．(xx·宁夏月考)下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 12 x
B ．y ＝2x
－1
C ．y ＝x 2
－12
D ．y ＝－x 3
解析：观察四个选项，在(－1,1)内单调递增的只有函数y ＝2x
－1且其在(－1,1)内也有零点．故选B.
答案：B
3．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2
)的单调递减区间是( ) A.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，32
B.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞
C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32
D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，4
解析：函数f (x )的定义域是(－1,4)，u (x )＝－x 2
＋3x ＋4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254的减区间为
⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，4， ∵e ＞1，∴函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，4.
答案：D
4．函数f (x )(x ∈R )的图象如下图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0＜a ＜1)的单调减区间是( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12 B ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞
C ．[a ，1]
D ．[a ，a ＋1]
解析：y ＝log a x (0＜a ＜1)为减函数，根据复合函数的单调性及图象知，当0≤log a x ≤1
2，
即a ≤x ≤1时，g (x )为减函数，故其单调减区间为[a ，1]．
答案：C
5．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －2x －1，x ≤1，
log a x ，x ＞1.若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则
实数a 的取值范围为( )
A ．(1,2)
B ．(2,3)
C ．(2,3]
D ．(2，＋∞)
解析：要保证函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则首先分段函数应该在各自定义域内分别单调递增．
若f (x )＝(a －2)x －1在区间(－∞，1]上单调递增，则a －2＞0，即a ＞2. 若f (x )＝log a x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则a ＞1.
另外，要保证函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增还必须满足(a －2)×1－1≤log a 1＝0，即a ≤3.故实数a 的取值范围为2＜a ≤3.
答案：C
6．(xx·安徽卷)若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4
D ．－4或8
解析：当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
3x ＋a ＋1，x ＞－1，
x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，
－3x －a －1，x ＜－a
2
，
则f (x )的图象如图1所示，故当x ＝－a
2时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a
2
－1＝3，解得a ＝8；
图1
图2
当a ＜2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＋a ＋1，x ＞－a
2
，
－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2
，
－3x －a －1，x ＜－1，
则f (x )的图象如图2所示，
故当x ＝－a 2时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－a 2＝－a
2＋1＝3，解得a ＝－4；综上可知，答案为D.
答案：D 二、填空题
7．已知y ＝f (x )是定义在(－2,2)上的增函数，若f (m －1)＜f (1－2m )，则m 的取值范围是______．
解析：依题意，原不等式等价于
⎩⎪⎨⎪
⎧
－2＜m －1＜2－2＜1－2m ＜2m －1＜1－2m
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
－1＜m ＜3
－12＜m ＜
32m ＜23
⇒－12＜m ＜2
3
.
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，23
8．已知下列四个命题：①若f (x )为减函数，则－f (x )为增函数；②若f (x )为增函数，则函数g (x )＝
1
f x
在其定义域内为减函数；③若f (x )与g (x )均为(a ，b )上的增函数，则
f (x )·
g (x )也是区间(a ，b )上的增函数；④若f (x )与g (x )在(a ，b )上分别是递增与递减函
数，且g (x )≠0，则
f x
g x
在(a ，b )上是递增函数．其中正确命题的序号是__________．
解析：①正确；②不正确，可用y ＝x (x ≠0)说明，若f (x )恒大于零(或若f (x )恒小于零)，则命题②成立；
③不正确，可用y ＝x (x ＞0)与y ＝－1
x
(x ＞0)说明；
④不正确，可用y ＝x (x ＞0)与y ＝－x (x ＞0)说明． 答案：①
9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
－x 2
＋4x －10 x ≤2log 3x －1－6
x ＞2若f (6－a 2
)＞f (5a )，则实数a 的
取值范围是__________．
解析：当x ≤2时，f 1(x )＝－x 2
＋4x －10是单调递增函数；当x ＞2时，f 2(x )＝log 3(x －1)－6也是单调递增函数，且f 1(2)＝－22
＋4×2－10＝－6，f 2(2)＝log 3(2－1)－6＝－6，即f 1(2)＝f 2(2)，因此f (x )在R 上单调递增，又因为f (6－a 2
)＞f (5a )，所以6－a 2
＞5a ，解得－6＜a ＜1.
答案：－6＜a ＜1 三、解答题
10．(xx·江西师大附中测试)已知函数y ＝1＋x 1－x
＋lg(3－4x ＋x 2
)的定义域为M ， (1)求M ；
(2)当x ∈M 时，求f (x )＝a ·2
x ＋2
＋3×4x
(a ＞－3)的最小值．
解析：(1)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧
1＋x 1－x ≥0，且x ≠1，3－4x ＋x 2＞0，
解得M ＝[－1,1)． (2)∵f (x )＝a ·2
x ＋2
＋3×4x
＝3⎝
⎛
⎭⎪⎫2x
＋
2a 32－43a 2，又12≤2x
＜2，a ＞－3，∴－2a 3
＜2. 若－2a 3≤12，即a ≥－34时，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3
4
，
若12＜－2a 3＜2，即－3＜a ＜－34时，则2x
＝－23a ，即x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3时，f (x )min ＝－43a 2. 11．已知函数f (x )＝a ·2x
＋b ·3x
，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1)若ab ＞0，判断函数f (x )的单调性；
(2)若ab ＜0，求f (x ＋1)＞f (x )时x 的取值范围．
解析：(1)当a ＞0，b ＞0时，任意x 1，x 2∈R ，令x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a (2x 1－2x 2)＋b (3x 1－3x 2)，
∵2x 1＜2x 2，a ＞0⇒a (2x 1－2x 2)＜0， 3x 1＜3x 2，b ＞0⇒b (3x 1－3x 2)＜0，
∴f (x 1)－f (x 2)＜0，函数f (x )在R 上是增函数． 当a ＜0，b ＜0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x
＋2b ·3x
＞0，
当a ＜0，b ＞0时，⎝ ⎛⎭
⎪⎫32x
＞－a 2b ，则
x ＞log 1.5⎝ ⎛⎭
⎪⎫－a 2b ；
当a ＞0，b ＜0时，⎝ ⎛⎭
⎪⎫32x
＜－a 2b ，则
x ＜log 1.5⎝ ⎛⎭
⎪⎫－a 2b .
12．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－2
3
.
(1)求证：f (x )在R 上是减函数；
(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．
解析：(1)证明：方法一：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )， ∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0. 再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，
f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．
又∵x ＞0时，f (x )＜0， 而x 1－x 2＞0，∴f (x 1－x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)．
因此f (x )在R 上是减函数． 方法二：设x 1＞x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)．
又∵x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0， ∴f (x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在R 上为减函数．
(2)由(1)得f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，
∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. r28106
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