2020高中数学专项复习《数列基础练习》+参考答案

基础练习
一、选择题
1.已知等比数列{a } 的公比为正数，且a ·a =2 a 2 ，a =1，则a =
n 3 9 5 2 1
A. 1
B.
2
2
C.
2
D.2
2.已知为等差数列，，则等于
A. -1
B. 1
C. 3
D.7
3.公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 = 32 ,则S10 等于
A. 18
B. 24
C. 60
D. 90 .
4 设S
n
是等差数列{a n}的前 n 项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于
A．13 B．35 C．49 D．63
5.已知{a n}为等差数列，且a7－2 a4＝－1, a3＝0,则公差 d＝
（A）－2 （B）－
1
2 （C）
1
2
（D）2
6.等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a1 ＝1，a2 是a1 和a5 的等比中项，则数列的前 10 项之
和是
A. 90
B. 100
C. 145
D. 190
7.设x ∈R, 记不超过x 的最大整数为[ x ],令{ x }= x -[ x ]，则{ 5 + 1 }，[
2 5 + 1 ],
2
5 + 1
2
2
+
+
4
A.是等差数列但不是等比数列
B.是等比数列但不是等差数列
C.既是等差数列又是等比数列
D.既不
是等差数列也不是等比数列
8. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研
究数，例如：
. 他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图 2 中的 1，4，9，16…这样的数成为正方形数。

下列数中及时三角形数又是正方形数的是 A.289
B.1024
C.1225
D.1378 9. 等差数列{a } 的前 n 项和为S ，已知a + a - a 2 = 0 ， S = 38 ,则m =
n
n
m -1
m +1
m
2m -1
（A ）38
（B ）20
（C ）10
（D ）9 . 10.
设{a n } 是公差不为 0 的等差数列， a 1 = 2 且a 1 , a 3 , a 6 成等比数列，则{a n } 的前n 项和 S n =
n 2 7n
A. B ． 4 4
n 2 5n C ． 3 3
n 2 +
3n 2 4
D ． n 2 + n
11.等差数列｛ a n ｝的公差不为零，首项a 1 ＝1， a 2 是a 1 和a 5 的等比中项，则数列的前 10 项 之和是
A. 90
B. 100
C. 145
D. 190 .
二、填空题
1 设等比数列{a }的公比q = 1 ，前n 项和为S ，则 S 4 =
．
n 2 n
a 2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则 S 4 ， S 8 - S 4 ， S 12 - S 8 ， S 16 - S 12 成等差数列．类比以上 结论有：设等比数列{
b }的前n 项积为T ，则T ，
，
， T
16 成等比数列． n
n
4
T 12
3.在等差数列{a n }中, a 3 = 7, a 5 = a 2 + 6 ,则a 6 = .
4. 等比数列{ a n } 的公比 q > 0 , 已知 a 2 =1 ， a n +2 + a n +1 = 6a n ， 则{ a n } 的前 4 项和 S 4 =
.
S n +1 三．解答题
1.已知点（1， 1
）是函数 f (x ) = a x (a > 0, 且a ≠ 1）的图象上一点，等比数列{a } 的前n 项和
3 为 f (n ) - c ,数列{b n } (b n > 0) 的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n － S n -1 = n
+ （ n ≥ 2 ）.
（1）求数列{a } 和{b } 的通项公式；（2）若数列{
1 }前n 项和为T ，问T > 1000
的最小 n
n
b b
n n 2009 n n +1
S n
n n n m
正整数n 是多少? .
2 设S 为数列{a }的前n 项和， S = kn 2
+ n ，
n ∈ N * ，其中k 是常数． （I ） 求 a 及 a ；
（II ）若对于任意的 m ∈ N * ， a ， a ， a 成等比数列，求 k 的
1
n
m
2m
4m
值．
3.设数列{a }的通项公式为a = pn + q (n ∈ N * , P > 0) . 数列{b }定义如下：对于正整数 m ， b
n
n
n
m
是使得不等式a ≥ m 成立的所有 n 中的最小值.（Ⅰ）若 p = 1 , q = - 1
，求b ；
n 2 3 3
（Ⅱ）若 p = 2, q = -1，求数列{b m } 的前 2m 项和公式；（Ⅲ）是否存在 p 和 q ，使得
b = 3m + 2(m ∈ N *
) ？如果存在，求 p 和 q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.
2 10 m
一、选择题
基础练习参考答案
1. 【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得 a q
2
⋅ a q 8 = 2 (a q 4 )2
,即 q 2 = 2 ,又因为等比数列{a } 的公比为
正数，所以 q = ,故 a 1
= a 2 = 1
= q 2
1
1
1
n
2 ,选 B
2
2. 【 解 析 】 ∵ a 1 a 3 a 5 105 即 3a 3 105 ∴ a 3 35 同 理 可 得 a 4 33 ∴ 公 差 d a 4 a 3 2 ∴
a 20 a 4 (20 4) d 1 .选 B 。

【答案】B
3. 答 案 ： C 【 解 析 】 由 a 2
= a a 得
(a + 3d )2 = (a + 2d )(a + 6d ) 得 2a + 3d = 0 , 再 由
4
3 7
56 1
1
1
1
90
S 8 = 8a 1 + d = 32 得 2 2a 1 + 7d = 8 则 d = 2, a 1 = -3 ,所以 S 10 = 10a 1 + d = 60 ,.故选 C
2
4. 解: S = 7(a 1 + a 7 ) = 7(a 2 + a 6 ) = 7(3 +11) = 49.故选 C. 7
2 2 2
⎧a 2 = a 1 + d = 3 或由 ⇒ ⎧a 1 = 1, a = 1+ 6 ⨯ 2 = 13. ⎨a = a + 5d = 11 ⎨d = 2 7
⎩ 6 1 ⎩
所以 S 7 =
7(a 1 + a 7 ) = 7(1+13) = 49. 故选 C.
2 2
1 5.【解析】a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d)＝2d ＝－1 ⇒ d ＝－
2
【答案】B
6.【答案】B 【解析】设公差为 d ，则(1 + d )2
= 1⋅ (1 + 4d ) .∵ d ≠0，解得 d ＝2，∴ S ＝100
5 1 5 1 5 1
7. 【答案】B 【解析】可分别求得 2 ， [ ] 1 .则等比数列性质易得三者构成等比
2 2
数列.
8. 【答案】C 【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项a
n
n
(n 1) ，同理可得正方形数构成的数列 2
通项b n 2 ，则由b n 2
(n
N ) 可排除 A 、D ，又由a n n
(n 1) 知a 必为奇数，故选 C.
n
n
2
n
9. 【答案】C 【解析】因为
{a } 是等差数列，所以，
a + a
= 2a ，由 a + a
- a 2 = 0 ，得：2 a
n
m -1
m +1
m
m -1
m +1
m
m
－ a m 2
＝0，所以， a ＝2，又 S
2m -1
= 38 ，即
(2m - 1)(a 1 + a 2m -1 )
＝38，即（2m －1）×2＝38，解得 m
2
＝10，故选.C 。

10. 【答案】A 解析设数列{a }的公差为 d ，则根据题意得(2 + 2d )2 = 2 ⋅ (2 + 5d ) ，解得 d =
1
或
n
2
10 4
3 3 3 3 3 2
n (n -1) 1 n 2 7n
d = 0 （舍去），所以数列{a n }的前n 项和 S n = 2n +
⨯ = + 2 2 4 4
11.【答案】B 【解析】设公差为 d ，则(1 + d )2
= 1⋅ (1 + 4d ) .∵ d ≠0，解得 d ＝2，∴ S ＝100
二、填空题
1. 【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考查充分体现
了通项公式和前n 项和的知识联系．
a (1- q 4 ) 3
s 1- q 4 【解析】对于 s 4 = 1 , a 4 = a 1q ,∴ 4 = = 15
1- q a q 3 (1- q )
2. 答案：
T 8 , T 12
【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比 T 4 T 8
数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力
3. 【 解析】: 设等差数列 {a }的公差为 d , 则由已知得
⎧
a 1 + 2d = 7 ⎧a 1 = 3 解得 , 所以 n ⎨a + 4d = a + d + 6 ⎨ d = 2
a 6 = a 1 + 5d = 13 .
⎩ 1 1 ⎩
答案:13.【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.
4. 【答案】
15
【解析】由 a
+ a = 6a 得： q n +1 + q n = 6q n -1 ，即 q 2 + q - 6 = 0 ， q > 0 ，解得：q ＝
2
n +2
n +1
n
2，又a =1，所以， a = 1 ， S 1 (1 - 24
) = 2 ＝ 15 。

2 1 2 4
1 -
2 2
三、解答题
1 ⎛ 1 ⎫x
1.【解析】（1） Q f (1) = a = ,∴ f ( x ) = ⎪
⎝ ⎭ a = f (1) - c = 1 - c , a = ⎡ f (2) - c ⎤ - ⎡ f (1) - c ⎤ = - 2
, 1 3 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 9
a 3 = ⎡⎣ f (3) - c ⎤⎦ - ⎡⎣ f (2) - c ⎤⎦ = - 27
. 4 a 2 81 2 1
又数列{a n } 成等比数列， a 1 = 2
= a 3 2 = - 3 = 3 - c
27 ，所以 c = 1；
a 1 2 ⎛ 1 ⎫n -1 ⎛ 1 ⎫n
又公比 q = 2 = ，所以 a = - = -2 n ∈ N * ； a 1 3 n ⎪ ⎪
⎝ ⎭ ⎝
⎭ -
S n -1
S n S n -1 S n
n n n -1 m
1 2009 9 2009
n
Q S n - S n -1 =
( 又b n > 0 ,
> 0 ,
∴ - = 1；
+ (n ≥ 2)
数列
{ }
构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列， =1+(n -1)⨯1= n ，
S = n 2
当 n ≥ 2 ， b = S - S
= n 2 - (n -1)2
= 2n -1 ；
n
n
n -1
∴b n = 2n -1 ( n ∈ N )； *
（2） T = 1 + 1 + 1 +L +
1
= 1 + 1 + 1 +K +1
n
b b b b
b b
b b
1⨯ 3 3⨯ 5 5⨯ 7 (2n -1) ⨯(2n +1)
1 2 2 3 3 4
n n +1
= 1 ⎛1- 1 ⎫ + 1 ⎛ 1 - 1 ⎫ + 1 ⎛ 1 - 1 ⎫ +K + 1 ⎛ 1 - 1 ⎫
= 1 ⎛
1- 1 ⎫ = n ；
2 3 ⎪ 2 3 5 ⎪ 2 5 7 ⎪ 2 2n -1 2n +1 ⎪ 2 2n +1 ⎪ 2n +1 ⎝ ⎭ ⎝
⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭
n 1000 1000 1000
由 T n = 2n + > 得 n > ，满足T n > 的最小正整数为 112.
2.解析：（Ⅰ）当 n = 1, a 1 = S 1 = k + 1，
n ≥ 2, a = S - S = kn 2
+ n -[k
(n - 1)2 + (n - 1)] = 2kn - k + 1（ * ） 经验， n = 1, （ * ）式成立， ∴ a n = 2kn - k + 1
（Ⅱ）
a , a , a 成等比数列，∴ a
2
= a .a ，
即(4km - k + 1)2
= (2km - k + 1)(8km - k + 1) ，整理得： mk (k - 1) = 0 ， 对任意的 m ∈ N * 成立，
∴ k = 0或k = 1
3.解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.
1 1 1 1 20
（Ⅰ）由题意，得 a n = 2 n - 3 ，解 2 n - 3 ≥ 3 ，得 n ≥ 3 .
1 1
∴ 2 n - 3
≥ 3 成立的所有 n 中的最小整数为 7，即b 3 = 7 .
（Ⅱ）由题意，得 a n = 2n -1，
对于正整数，由 a n ≥ m ，得 n ≥
根据b m 的定义可知
m +1 .
2
当 m = 2k -1时， b m = k (k ∈ N * )；当 m = 2k 时， b = k +1(k ∈ N *
) .
∴ b 1 + b 2 +L + b 2m = (b 1 + b 3 +L + b 2m -1 ) + (b 2 + b 4 +L + b 2m )
= (1+ 2 + 3 +L + m ) + ⎡⎣2 + 3 + 4 +L + (m +1)⎤⎦
S n
-
S n -1
)( S n
+
S n -1 )
= S n S n S n m
m
=
m (m +1) + m (m + 3) = m 2 + 2m .
2 2
m - q （Ⅲ）假设存在 p 和 q 满足条件，由不等式 pn + q ≥ m 及 p > 0 得 n ≥
.
p
*
∵ b m = 3m + 2(m ∈ N ) ,根据b 的定义可知，对于任意的正整数 m 都有
3m +1 <
m - q ≤ 3m + 2 ，即-2 p - q ≤ (3 p -1) m < - p - q 对任意的正整数 m 都成立.
p
当3 p -1 > 0 （或3 p -1 < 0 ）时，得 m < -
p + q 3 p -1 （或 m ≤ - 2 p + q 3 p -1
），
这与上述结论矛盾！
1
2 1 2 1
当3 p -1 = 0 ，即 p = 时，得- - q ≤ 0 < - - q ，解得- ≤ q < - .
3 3 3 3 3
*
∴ 存在 p 和 q ，使得b m = 3m + 2(m ∈ N ) ；
p 和 q 的取值范围分别是 p = 1 ， - 2 ≤ q < - 1
.
3
3 3。