一种桁架结构全局拓扑优化方法

G3 =Truss is kinematically stable,
由于杆的极限应力通常为非零有限值 , 而截面 积为零的杆应力在物理上并不存在 , 所以杆件的应 力函数在零截面处是不连续的 . 这也是假定连续变 量的一般以梯度为基础的优化方法不容易求得奇异 最优解的原因 . 本文将可靠性计算中的子集模拟方 法 [11, 12] 的分层技术引入到桁架拓扑优化中 , 通过正 态分布以前一层样本点为中心抽取新样本点 , 然后 通过逐层逼近到奇异最优点附近 . 本文提出的基于 子集模拟的拓扑优化方法可以跳过应力函数不连续 点, 进而可以找到奇异最优解.
(5)式反映了设计变量向量 x 与可行域 之间的 关 系 , 当 Fcon(x)=0 时 , x , 反 之 x , 且 Fcon(x)的值越大偏离可行域越远. 基于目标适用值和 约束适用值的定义 , 约束适用值优先排序的具体实 现过程如下. 对于由 L 个设计变量向量组成的样本 { x1 , x2 , ,
[11, 12]
图1
样本合理性判断流程图
示非零截面积杆的数目, Nc 表示整个桁架所受的约束 个数, 那么自由度 DOF 可用下面公式计算: DOF 2 N j Ni N c . (7) 在忽略杆件变成瞬变系统的情况 , 可以按如下 方法判断桁架是否为几何不变的结构 : 若自由度等 于 0, 桁架结构是静定的； 若自由度小于 0, 桁架结构 是超静定的; 若自由度 DOF 大于 0, 桁架则变成机 构. 下面每步抽取新样本点的过程中均默认都已经 过合理性判断, 因此不再赘述.
{W ( x ) Wk }, Fck ( x ) 0, Ek {Fcon ( x ) Fck }, Fck ( x ) 0.
(6)
那么由改进约束适用值优先排序方法和中间事 件的定义可以保证第 k 层中间事件 Ek 发生的概率
P ( Ek ) Pk . 对于每层的抽样 , 我们根据经验值可以
这里用 xi( k ) (i 1, 2, , L) 表示第 k 层样本点中的第 i
(1) (1) T 个样本. 下面以抽取 x1(1) ( x11 , x12 , , x1(1) N ) 为例说明
(1) 每层样本点的抽取方法. 为了产生 x1 j ( j 1, 2, , N ) ,
中国科学: 技术科学 论 文
2011 年
第 41 卷
第 10 期: 1315 ~ 1321
《中国科学》杂志社
SCIENCE CHINA PRESS

一种桁架结构全局拓扑优化方法
王奇, 吕震宙*, 唐樟春
西北工业大学航空学院, 西安 710072 * E-mail: zhenzhoulu@ 收稿日期: 2010-12-16; 接受日期: 2011-07-18 国家自然科学基金(批准号: 50875213)资助项目
英文版发表信息:
Wang Q, Lu Z Z, Tang Z C. A novel global optimization method of truss topology. Sci China Tech Sci, 2011, 54: 27232729, doi: 10.1007/s11431-011-4552-4
在 0.1~0.5 之间给定 Pk 的值.
2.3 2.3.1
样本点的抽取 样本的合理性判断
2.3.2
抽取第一层样本点
为了使第一层的样本点尽可能的落在可行域内 ,
(1) (1) 用正态分布来产生初始 L 个样本点 { x1(1) , x2 , , x L },
在桁架拓扑优化中 , 优化得到的桁架是否属于 稳定的结构 , 是衡量该拓扑优化方法成功与否的重 要因素. 对于一个结点, 如果与之相连的杆截面积均 为零, 本文把它定义为非有效结点, 反之称作有效结 点. 本文通过 3 个步骤来避免不合理的拓扑结果出现, 具体流程如图 1 所示. 1) 检查新样本对应的桁架的载 荷点是否退化成非有效结点, 如果出现这种情况, 则 重新抽点 ; 2) 计算新样本对应的桁架的自由度大小 , 如果自由度大于零, 那么说明桁架变成机构, 则重新 抽点 ; 3) 判断除受约束结点之外的全部有效结点的 与之相连的非零截面杆的数目, 如果均大于或等于 2, 这样可以确保桁架为静定或超静定的桁架结构 , 反 之, 则重新抽点. 下面介绍对于任一固定桁架结构其自由度大小 的计算方法 . 若用 Nj 表示结构的有效结点数 , Ni 表
find A1 , A2 , , AN , min W = i li Ai ,
i 1 N
化问题重新定义为多目标优化问题 , 并利用多目标 优化技术来处理 . 罚函数法是把有约束问题转换成 无约束问题, 在目标函数内附加一个罚函数, 当设计 点可行时罚函数为零, 当设计点违背约束时, 目标函 数附加一个大的罚函数, 约束违背程度越大, 罚函数 也越大. 罚函数法的难点是惩罚参数的选取, 选取不 当容易出现欠惩罚或过惩罚的问题 . 本文使用一种 基于罚函数法的改进约束适用值优先排序方法 [13, 14] 来处理桁架结构的应力和位移约束. 以桁架结构重量最小化为目标函数的拓扑优化 中 , 把作为设计变量的所有杆的截面积看成一个向 量 x [A1 , A2 , , AN ]T . 为了实现改进约束适用值优 先排序方法, 先定义两个函数: 目标适用值函数 Fobj(x)和全部约束适应值函数 Fcon(x):
本文的基于子集模拟分层抽样的桁架拓扑优化方法首先通过正态分布概率密度函数按照232233节给定的策略选取均值和方差进行抽样和9式的处理的基础上使初始几层的样本中以较高的概率同时存在着原设计变量空间里的样本点和包括奇异最优解所在的低维空间的样本点即同时存在着对应着结构可能的拓扑形式的的样本点并且随文献1017给出的最优拓扑十五杆桁架优化结果barnumber15ref
关键词 拓扑优化 桁架 子集模拟 奇异最优解 全局优化
桁架拓扑优化通常指外力、支承和节点已经给 定 , 通过确定结点之间杆件的最优连结情况及杆件 截面积 , 使结构的重量或造价最小 , 并同时满足应 力、节点位移和结构柔顺性等功能要求. 由于桁架结 构在工程实际中的广泛应用 , 国内外学者在桁架结 构拓扑优化方法做了大量的研究. Bendsøe 等人[1]研究了柔度约束下的结构拓扑优 化问题, Zhou 和 Rozvany[2, 3]提出的 DCOC 算法也被 用来求解很大规模的桁架结构拓扑优化问题 . 但是 Bendsøe 却认为他们研究的只是最为简单的一类拓扑 优化问题 , Rozvany 等人 [4] 和 Yang 等人 [5] 也指出 DCOC 算法仅对于非奇异问题的求解才是有效的 . 这是因为 Bendsøe 等研究的算法和 DCOC 算法都只 适用于不会出现奇异最优解的柔度约束下的桁架结 构拓扑优化问题. 由于奇异最优解的存在, 使桁架结 构的拓扑优化和尺寸优化存在着本质的区别 . 不存 在奇异最优解的桁架拓扑优化问题可以通过给予杆 截面一个很小的下限就可以转换成尺寸优化问题来 解决 . 这也是很多已有方法可以顺利解决某些桁架
摘要
对于应力约束下的桁架拓扑优化存在的奇异最优解问题,效求得奇异最优解的新桁架结构全局拓扑优化方法. 通过样本点的合理性判断 和 Metropolis-Hasting 准则, 确保了拓扑解的合理性和全局性. 算例表明本文提出的方法在处理 奇异最优解问题时, 可以快速把搜索区域降到退化的低维可行子区域内并以足够的精度收敛 于全局最优解.
拓扑优化问题甚至大型基结构的拓扑优化问题的原 因. 而对于存在奇异最优解的桁架拓扑优化问题, 程 耿东等 人[6, 7]认为奇异最优解所对应的设计点并非 是设计空间中的孤立点 , 而是位于设计空间中某个 低维退化子域的端点 . 整个设计空间仍然是连通的 , 其形状就像一个水母 , 由若干个不同维数的可行子 区域组成. 因此, 如果用很小的杆截面积来代替零截 面求解应力约束下的桁架拓扑优化问题 , 就有可能 丢失可能存在的奇异最优解 . 同时 , 程耿东 [8]指出桁 架结构的拓扑优化问题是否存在奇异最优解取决于 结构所受的约束是否属于与拓扑设计变量相关的约 束 . 其中杆的应力和稳定性约束属于与拓扑设计变 量相关的约束, 而对桁架结构柔度的约束则不是. 对 于如何处理存在奇异最优解的桁架拓扑优化问题 , 许多学者作了研究, 程耿东[9]提出了桁架拓扑优化问 题的 - 放松模型 , 柴山等人 [10] 考虑了截面变量与拓 扑变量间的耦合关系 , 采用相对差商法求解离散变 量拓扑优化问题, 均取得了比较满意的效果. 在应力约束下的桁架拓扑优化中 , 全局最优解
(4)
s.t.
G1=| i | [ ]i 0, G2 =| j | [ ] j 0, 0 Ai Aimax .
( i 1, 2, , N ), ( j 1, 2, , M ),
(1)
在以结点位移和杆应力为约束的拓扑优化中 , gk(x)代表以下物理意义:
| k | [ ]k , ( k 1, 2, , N ), (5) gk ( x) | k | [ ]k , ( k N 1, N 2, , N M ).
Fobj ( x ) W ( x ),
Fcon ( x ) max Fk ( x ),
k
(2) (3)
其中 Fk(x)表示第 k 个约束适用值函数, 可用下面的 分段函数描述:
0, Fk ( x ) g k ( x ), g k ( x ) 0, g k ( x ) 0.
x L }, 先按照全部约束适应值函数 Fcon(xi)值由大到小
进行排序 . 那么落在 内的样本点均排在尾部 , 在 外的样本点在排序结果中越靠后则越接近可行域. 对上步排序中落在 内的样本点再根据目标适 用值函数 Fobj(x)值由大到小进行排序. 采用改进约束适用值优先排序方法不仅避免了 传统罚函数法中的选取罚函数带来的困难 , 而且清 晰的度量出每个样本点 xi (i 1, 2, , L) 趋于全局最 优拓扑解(或奇异最优解)的程度.
2
2.1
全局拓扑优化方法的实现策略
约束处理
目前应用比较广泛的约束处理技术主要有多目 标法和罚函数法 . 多目标法的主要思想是将约束优
1316
中国科学: 技术科学
2011 年
第 41 卷
第 10 期
2.2
子集模拟分层技术的引入
在工程可靠性分析中 , 子集模拟可靠性分析方 法 在求解小失效概率问题时具有较高的效率 . 该方法通过引入合理的中间失效事件 , 将小失效概 率问题转化成一系列较大的条件失效概率的乘积 , 从而提高数字模拟计算的效率. 在本文提出的拓扑优化方法中 , 可以模仿子集 模拟可靠性分析方法通过以分层抽样方法 [13] 在每层 产生 L 个样本点, 并在每层中引入中间事件 Ek, 使随 着每一层中间事件的发生使下一层样本点中奇异最 优解出现的概率越来越大, 直至接近 1 为止. 为了给 出 Ek 的定义式, 先令 Wk 和 Fck 分别表示采用改进约 束适用值优先排序方法排序后的第 k 层样本中第 L(1Pk) 个样本点所表示的设计变量对应的桁架总重 量和全部约束适应值函数值, 那么第 k 层中间事件 Ek 定义如下:
王奇等: 一种桁架结构全局拓扑优化方法
往往是奇异最优解 , 本文提出的基于子集模拟的桁 架拓扑优化方法可以有效处理奇异最优解的问题 , 能以较高的概率获得桁架拓扑优化的全局最优解 . 本文将通过几个关于奇异最优解的经典算例来说明 本文提出的方法的全局寻优能力.
1
桁架结构拓扑优化模型
由于柔度约束下的桁架拓扑优化不存在奇异最 优解 , 而且可以转化成优化算法较为成熟的尺寸优 化, 在此不再赘述. 本文将主要研究桁架结构以结点 位移和杆应力为约束并使结构总重量最小的拓扑优 化的奇异最优解问题. 对于一个给定约束和载荷大小的桁架结构 , 假 设由 M 个结点, N 根杆组成, 第 i 根杆的长度、截面 积以及应力分别用 li, Ai 和i 表示, 第 j 个结点的位移 为 j. 各杆许用应力和各结点的许用位移分别表示成 []i 和[]j. 其拓扑优化模型可描述如下: