2019年高考数学一轮复习第七章立体几何第41讲直线平面平行的判定及其性质实战演练理

2019年高考数学一轮复习第七章立体几何第41讲直线平面平行的判
定及其性质实战演练理
1．(2015·安徽卷)已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( D )
A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行
C ．若α，β不平行，则α内不存在与β平行的直线
D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面
解析：若α，β垂直于同一个平面γ，则α，β可以都过γ的同一条垂线，即α，β可以相交，故A 错；若m ，n 平行于同一个平面，则m 与n 可能平行，也可能相交，还可能异面，故B 错；若α，β不平行，则α，β相交，设α∩β＝l ，在α内存在直线a ，使a ∥l ，则α∥β，故C 错；从原命题 的逆否命题进行判断，若m 与n 垂直于同一个平面，由线面垂直的性质定理知m ∥n ，故D 正确．
2．(2015·北京卷)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，“m ∥β”是“α∥β”的( B )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：结合平面与平面平行的判定与性质进行判断．
当m ∥β时，过m 的平面α与β可能平行也可能相交，因而m ∥β⇒/ α∥β，当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m ⊂α，所以m ∥β.综上知，“m ∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．
3．(2016·全国卷Ⅲ)如图，四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．
(1)证明：MN ∥平面PAB ；
(2)求四面体N ­BCM 的体积．
解析：(1)证明：由已知得AM ＝23
AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12
BC ＝2.
又AD ∥BC ，故TN AM ，故四边形AMNT 为平行四边形， 于是MN ∥AT .
因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB .
(2)因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，
所以N 到平面ABCD 的距离为12
PA ． 取BC 的中点E ，连接AE .
由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.
由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，
故S △BCM ＝12
×4×5＝2 5. 所以四面体N ­BCM 的体积V N －BCM ＝13S △BCM ·PA 2＝453
. 4．(2016·四川卷)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12
AD .
(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由；
(2)证明：平面PAB ⊥平面PBD .
解析：(1)取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点．理由如下：
连接CM .因为AD ∥BC ，BC ＝12
AD ， 所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .
所以四边形AMCB 是平行四边形，
从而CM ∥AB .
又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ，
所以CM ∥平面PAB .
(2)证明：连接BM ，由已知得，PA ⊥AB ，PA ⊥CD ，
因为AD ∥BC ，BC ＝12
AD ，所以直线AB 与CD 相交， 所以PA ⊥平面ABCD .从而PA ⊥BD ，因为AD ∥BC ，BC ＝12
AD ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD .
所以四边形BCDM 是平行四边形．
所以BM ＝CD ＝12
AD ，所以BD ⊥AB . 又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB .
又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD .。