2018数学人教A版必修2同步课时刷题提分练：第6课时
人教A版高中数学必修第二册强化练习题-第六章-平面向量及其应用(含答案)
人教A版高中数学必修第二册第六章 平面向量及其应用全卷满分150分 考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在△ABC中,AD为BC边上的中线,点E为AD的中点,则EB=( ),6.已知点O是△ABC内一点,满足OA+2OB=m OC,S△AOBS△ABC =47,则实数m=( )A.2B.-2C.4D.-47.某人用下述方法证明了正弦定理:如图1,直线l与锐角△ABC的边AB,AC(不含端点)分别相交于点D,E,设BC=a,CA=b,AB=c,∠ADE=90°,记与DE方向相同的单位向量为i,∵AB+ BC=AC,∴i·(AB+BC)=i·AC,进而得i·AB+i·BC=i·AC,即acos(90°-B)=bcos(90°-A),即asin B=bsin A,钝角三角形及直角三角形也满足.请用上述方法探究:如图2,直线l与锐角△ABC的边AB,AC(不含端点)分别相交于点D,E,设BC=a,CA=b,AB=c,∠ADE=θ,则θ与△ABC 的边和内角之间的等量关系为( )8.9.11.已知△ABC 的外心为O,重心为G,垂心为H,则下列结论正确的是( )A.OA ·OB =OA ·OC =OB ·OCB.AO ·AB =12AB2C.向量AH 与AB|AB |cos B +AC|AC |cos C共线D.过点G 的直线l 分别与AB,AC 交于E,F 两点,若AE =λAB ,AF =μAC (λ,μ≠0),则1λ+1μ=3三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.在△ABC中,AB·AC<0,S△ABC=154,|AB|=3,|AC|=5,则∠BAC= .13.在△ABC中,BD=13BC,E是线段AD上的动点(与端点不重合),设CE=x CA+y CB(x,y∈R),则6x+yxy的最小值是 .14.在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足b2-a2=ac,则1tan A -1tan B的取值范围为 .四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,c=2,cos C=-33.(1)求sin B和a的值;(2)求△ABC的面积.16.(15分)在△ABC中,已知AB=2,AC=6,∠BAC=60°,AC边上的中线为BN,M为BC边上靠近B的四等分点,AM与BN交于点P.(1)用AB与AC表示AM,并计算AM的长;(2)求∠NPM的余弦值.17.(15分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,2cos Acos C=tan Btan A+tan C.(1)求B;(2)若b=2,求a+c的最大值.18.(17分)某商店经营者陈某准备在商店门前“摆地摊”,经营冷饮生意.已知该商店门前是一块角形区域,如图所示,其中∠APB=120°,且在该区域内的点R 处有一个路灯,经测量,点R 到区域边界PA,PB 的距离分别为RS=4,RT=6.陈某准备过点R 修建一条长椅MN(点M,N 分由答案全解全析1.B ∵AD 为BC 边上的中线,∴AD =12(AB +AC ),又∵点E 为AD 的中点,∴EB =ED +DB =12AD +12CB =14(AB +AC )+12(AB -AC )=34AB -14AC .故选B.2.B 因为BD =BC +CD =5a +4b +a +2b =6a +6b ,且A,B,D 三点共线,所以存在实数λ,使得AB =λBD ,即a +m b =λ(6a +6b ),又a ,b 不共线,所以1=6λ,m =6λ,解得m=1.故选B.3.D 因为a=2ccos B,所以a=2c·a 2+c 2-b 22ac ,整理得b=c.因为ccos B+bcos C=2c,所以sin Ccos B+sin Bcos C=2sin C,所以sin(B+C)=2sin C,即sin A=2sin C,所以a=2c,又a=2ccos B,所以2c=2ccos B,所以cos B=22,因为B ∈(0,π),所以B=π4,所以C=π4,A=π2,故△ABC 为等腰直角三角形.故选D.4.D 由题意得a ·b =1×1×cos π3=12,故(a +2b )·(a -b )=a 2+a ·b -2b 2=-12,|a +2b |=(a +2b )2=a 2+4a ·b +4b 2=7,|a -b |=(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=1,所以cos<a +2b ,a -b >=(a +2b )·(a -b )|a +2b ||a -b |=-127×1=-714.故选D.5.D ∵O,G,H 依次位于同一条直线上,且外心到重心的距离是垂心到重心距离的一半,∴OG =12GH ,∴OG =13OH ,OH =32GH ,A 错误,B 错误;AG =AO +OG =AO +13OH =AO +13(AH -AO )=2AO +AH3,C 错误;BG =BO +OG =BO +13OH =BO +13(BH -BO )=2BO +BH3,D 正确.故选D.6.D 由OA +2OB =m OC 得13OA +23OB =m 3OC ,易知m<0,设m 3OC =OD ,则13OA +23OB =OD ,∴A,B,D 三点共线,且OC ,OD 反向共线,如图所示,∵sin B=cos Asin ∠ACB,∴sin(A+∠ACB)=sin ∠ACBcos A,即sin Acos ∠ACB+cos Asin ∠ACB=sin ∠ACBcos A,∴sin Acos ∠ACB=0,∵sin A≠0,∴cos ∠ACB=0,∴∠ACB=90°.∵AB ·AC =9,S △ABC =6,∴bccos A=9,12bcsin A=6,∴tan A=43,根据三角形ABC 是直角三角形可得sin A=45,cos A=35,∴bc=15,∴c=5,b=3,a=4.以C 为原点,AC 所在直线为x 轴,BC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,如图,则C(0,0),A(3,0),B(0,4),∴CA =(3,0),CB =(0,4).∵P 为线段AB 上一点(不含端点),∴存在实数λ,使得CP =λCA +(1-λ)CB =(3λ,4-4λ)(0<λ<1).易得CA |CA |=(1,0),CB |CB |=(0,1),∴CP =x·CA|CA |+y·CB|CB |=(x,0)+(0,y)=(x,y),∴x=3λ,y=4-4λ,∴4x+3y=12,且x ∈(0,3),y ∈(0,4).则1x +1y =112(4x+3y)++3y x+≥712+112×23y x ·4x y =7+4312,当且仅当3y x =4xy,即x=12-63,y=83-12时,等号成立,故1x +1y 的最小值为7+4312.故选D.9.BD A 选项,2a +b =(2n+1,3+m)=(2,6),则2n +1=2,3+m =6,解得m =3,n =12,则a ,2,b =(1,2),所以不存在实数λ,使b =λa ,即a ,b 不共线,A 错误;B 选项,若a =-2b ,则n =−2,2=−2(m -1),解得m =0,n =−2,所以b =(1,-1),|b |=12+(−1)2=2,所以与b 同向的单位向量为b|b |=正确;C 选项,当n=1时,a =(1,2),因为a 与b 的夹角为锐角,所以a ·b =1×1+2×(m -1)>0,m -1≠2,解得m>12,且m≠3,故m ,3∪(3,+∞),C 错误;D 选项,若a ⊥b ,则a ·b =n+2(m-1)=2m+n-2=0,即2m+n=2,所以z=2n +4m =2n +22m ≥22n ·22m =222m +n =4,当且仅当2n =22m ,即n=2m=1时,等号成立,D 正确.故选BD.10.BD 对于A,CA ·AB =|CA |·|AB |cos(π-A)=-bccos A=-1,A 错误;对于B,|AC -t AB |2=AC 2-2t AC ·AB +t 2AB 2=b 2-2tbccos A+t 2c 2=4-2tc+t 2c 2=3+(1-tc)2≥3,当且仅=|AB ||BC |cos(|AB |cos B +|AC ||BC |cos |AC |cos C=-|BC |+|BC |=0,所以AB|AB |cos B +AC|AC |cos C与BC 垂直,又因为AH⊥BC ,所以AH 与AB|AB |cos B +AC|AC |cos C共线,故C 中结论正确;如图,取BC 的中点D,连接AD,则G 为AD 上靠近D 的三等分点,所以AG =23AD =13(AB +AC )=13λAE +13μAF ,因为E,G,F三点共线,所以13λ+13μ=1,故1λ+1μ=3,故D 中结论正确.故选BCD.12.答案 5π6解析 因为AB ·AC =|AB ||AC |cos ∠BAC<0,所以∠BAC>π2,因为S △ABC =12|AB |·|AC |sin ∠BAC=12×3×5sin ∠BAC=154,所以sin ∠BAC=12,故∠BAC=5π6.13.答案 16解析 因为BD =13BC ,所以CB =32CD ,因为CE =x CA +y CB ,所以CE =x CA +32y CD ,又因为A,D,E 三点共线,所以x+32y=1,x>0,y>0,则6x +y xy =6y +1x =++32y =6x y +3y2x +10≥26x y ·3y2x+10=16,=3y2x,32y =1,即x =14,y =12时,等号成立,所以6x +yxy 的最小值是16.14.答案 1,解析 因为b 2-a 2=ac,b 2=a 2+c 2-2accos B,所以ac=c 2-2accos B,所以a=c-2acos B,由正弦定理得sin A=sin C-2sin Acos B,即sin A=sin(A+B)-2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B-2sin Acos B=cos Asin B-sin Acos B=sin(B-A),因为△ABC 为锐角三角形,所以A,B ∈0,所以B-A ∈-π2所以A=B-A,所以B=2A,C=π-3A.由A,B,C ∈0,可得A 故B 1tan A -1tan B =cos A sin A -cos B sin B =sin B cos A -cos B sin A sin A sin B =sin(B -A )sin A sin B =sin A sin A sin B =1sin B,∴|BN |2-AB 2=14AC 2+AB 2-AC ·AB =14×62+22-6=7,∴BN=7.(12分)∵AM =14AC +34AB ,BN =12AC -AB ,∴AM ·BN =-AB =18AC 2-34AB 2+18AC ·AB =94,(14分)∴cos ∠NPM=AM ·BN|AM ||BN |=94332×7=2114.(15分)解法二:(1)以点A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,3),C(6,0),∵AC 边上的中线为BN,∴N(3,0),(3分)∵M 为BC 边上靠近B 的四等分点,∴分)设AM =x AC +y AB (x,y ∈R ),,=x(6,0)+y(1,3),y =94,=334,解得x =14,y =34,所以AM =14AC +34AB ,|AM |==332,即AM 的长为332.(9分)(2)易知∠NPM 为向量AM 与BN 的夹角,∴cos ∠NPM=AM ·BN |AM ||BN |,易知AM =,BN =(2,-3),(12分)则AM ·BN =94×2+334×(-3)=94,|BN |=7,(14分)故cos ∠NPM=AM ·BN|AM ||BN |=94332×7=2114.(15分)17.解析 (1)因为2cos Acos C=tan Btan A +tan C ,所以2cos Acos Csin A cos A +sin Ccos C=sin Bcos B ,即2cos Csin A+2cos Asin C=sin Bcos B ,所以2sin(A+C)=sin Bcos B ,(4分)又sin(A+C)=sin B,且sin B≠0,所以cos B=12,(7分)因为B ∈(0,π),所以B=π3.(9分)(2)由余弦定理的推论得cos B=a 2+c 2-b 22ac =(a +c )2-2ac-b 22ac ,即(a +c )2-2ac-42ac=12,故(a+c)2-4=3ac,(12分)因为ac≤14(a+c)2,所以(a+c)2-4≤34(a+c)2,解得0<a+c≤4,当且仅当a=c=2时,等号成立,故a+c 的最大值为4.(15分)18.解析 (1)连接ST,RP,如图,在四边形RSPT 中,∠PSR=90°,∠PTR=90°,∠SPT=120°,则∠SRT=60°,∴S △PMN =34PM·PN≥34×128=323,故当PM 为83时,三角形PMN 的面积最小,最小面积为323.(17分)19.解析 (1)g(x)=sin x x =sin xcos 5π6+cos xsin 5π6+cos x=-32sin x+32cos x,∴g(x)的相伴特征向量OM =-32,分)(2)向量ON =(1,3)的相伴函数为f(x)=sin x+3cos x,令f(x)=sin x+3cos x=85,即2sin x =85,∴sin x +=45.∵x ∈-π3,∴x+π3∈0,∴cos x +=35,∴sin x=sin x +=12sin x -32cos x +=4−3310.(5分)(3)假设存在满足条件的点P.∵h(x)=msin x =32msin x-12mcos x,OT =(-3,1)为h(x)的相伴特征向量,∴m=-2,∴=2cos x2.(7分)设P x ,2cos∵A(-2,3),B(2,6),∴AP =x +2,2cos x 2-3,BP =x -2,2cos x 2-6,∵AP⊥BP ,∴AP ·BP =0,∴(x+2)(x-2)+2cos x 2-32cos x 2-6=0,即x 2-4+4cos 2x2-18cos x 2+18=0,(9分)∴2cos x 2=254-x 2,∵-2≤2cos x 2≤2,∴-132≤2cos x 2-92≤-52,∴254≤2cos x 2≤1694.又∵254-x 2≤254,当且仅当x=0时,等号成立,∴x=0.∴在y=φ(x)的图象上存在点P(0,2),使得AP⊥BP .(17分)。
高中数学(人教A版)必修第二册《第六章 平面向量及其应用》解答题专项练习(含答案解析)
试卷第1页，共71页高中数学（人教A 版）必修第二册《第六章 平面向量及其应用》解答题专项练习（含答案解析）一、解答题1．设向量()1,2a =-，()1,1b =-，()4,5c =-.（1）求2a b +；（2）若c a b λμ=+，,λμ∈R ，求λμ+的值；（3）若AB a b =+，2BC a b =-，42CD a b =-，求证：A ，C ，D 三点共线.【答案】（1）1（2）2（3）证明见解析【分析】（1）先求()21,0a b +=，进而求2a b +；（2）列出方程组，求出13λμ=-⎧⎨=⎩，进而求出λμ+；（3）求出2AC a b =-，从而得到422CD a b AC =-=，得到结果.（1）()()()21,22,21,0a b +=-+-=，2101a b +=+；（2）()()()1,251,14,μλ--+-=，所以425λμλμ-+=⎧⎨-=-⎩，解得：13λμ=-⎧⎨=⎩，所以2λμ+=； （3） 因为22AC AB BC a b a b a b =+=++-=-，所以422CD a b AC =-=，所以A ，C ，D 三点共线.2．（1）在直角三角形ABC 中，C =90°，AB =5，AC =4，求AB BC ⋅；（2）已知向量(3,1)AB =，(1,)AC a =-，a R ∈.若△ABC 为直角三角形，求a 的值.【答案】（1）9-；（2）3a =或13【分析】（1）建立平面直角坐标系，写出向量的坐标，进行求解；（2）分三种情况进行求解，利用垂直关系下数量积为0列出方程，求出a 的值.【详解】（1）以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，根据勾股定理得：3BC ==，所以()3,0B ，()0,4A ，所以()()3,43,09AB BC ⋅=-⋅-=-（2）()(1,)(3,1)4,1BC AB AC a a =-=--=--， ①π2A ∠=，此时(3,1)(1,)30AC a a AB ⋅=⋅-=-+=，解得：3a =； ②π2B ∠=，此时()(3,1)4,11210AB B a a C ⋅=⋅--=-+-=，解得：13a =； ③π2C ∠=，此时()2(1,)4,140AC a a BC a a ⋅=-⋅--=+-=，因为∆<0，无解； 综上：3a =或133．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin sin sin sin a A b B c C a B +=+. （1）求角C ；（2）若ABC 2c =，求ABC 的周长.【答案】（1）3π （2）6【分析】（1）、根据正弦定理和余弦定理求解即可；（2）、利用面积公式求出ab 的值，化简求出a b +的值，从而求出ABC 的周长. （1）sin sin sin sin a A b B c C a B +=+, sin ,sin ,sin ,222a b c A B C R R R===试卷第3页，共71页222a b c ab ∴+-=,2221cos 222a b c ab C ab ab +-∴===, 又0C π<<，3C π∴=. （2）由（1）可知3C π=.1sin 2ABC S ab C ==4ab ∴=, 222a b c ab +-=,2c =,228a b ∴+=,()222216a b a b ab ∴+=++=,4a b ∴+=，6a b c ∴++=. ABC ∴的周长为6.4．在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A 14=，若a =4，b +c =6，且b <c ，求b ，c 的值.【答案】2,4b c ==【分析】利用余弦定理即可求出.【详解】由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 即()22215516236422b c bc b c bc bc =+-⨯=+-=-，则8bc =， 因为b c <，则可解得2,4b c ==.5．如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点B ､C ､D 的坐标分别是（-1，3）､（3，4）､（2，2），（1）求向量BC ；（2）求顶点A 的坐标.【答案】（1）()4,1BC =（2）()2,1-【分析】（1）由点B ､C 的坐标即可求解BC 的坐标；（2）设顶点A 的坐标为(),x y ，由四边形ABCD 为平行四边形，有BC AD =，从而即可求解.（1）解：因为点B ､C 的坐标分别是（-1，3）､（3，4），所以()()()3,41,34,1BC =--=；（2）解：设顶点A 的坐标为(),x y ，因为四边形ABCD 为平行四边形，D 的坐标是（2，2），所以BC AD =，即()()4,12,2x y =--，所以2421x y -=⎧⎨-=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩， 所以顶点A 的坐标为()2,1-.6．已知||1a =，||2b =，a b 与的夹角是60°，计算（1）计算a b ⋅，||a b +；（2）求a b +和a 的夹角的余弦值.【答案】（1）1a b ⋅=，||7a b +=（2 【分析】 （1）利用数量积的定义可求出a b ⋅，先求出2||a b +，即可得出||a b +； （2）先求出()a b a +⋅，根据向量夹角关系即可求出. （1） 由题可得1cos601212a b a b ⋅=⋅⋅︒=⨯⨯=， 222||212147a b a a b b +=+⋅+=+⨯+=，所以||7a b +=；试卷第5页，共71页（2）()2112a b a a a b +⋅=+⋅=+=， 设a b +和a 的夹角为θ，所以()2cos 71a b a a b a θ+⋅==⨯+⋅7．如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边为a，b ，c ，已知a =6，A =60°，B =75°.（1）求角C ；（2）求边c .【答案】（1）C =45°（2）c =【分析】（1）根据三角形三个内角和等于180°即可求解；（2）结合已知条件，根据正弦定理即可求解.（1）解：在△ABC 中，因为A =60°，B =75°，所以角180180607545C A B =--=--=； （2）解：在△ABC 中，因为a =6，A =60°，又由（1）知C =45°，所以由正弦定理有sin sin a c A C ==c = 8．已知向量3a =，2b =，a 与b 的夹角为3π.（1）求a b +；（2）求()()23a b a b +⋅-.【答案】（1【分析】（1）由cos 33a b a b π⋅=⋅=，结合222?a b a ab b +=++，即可求解；（2）由()()22236a b a b a a b b +⋅-=-⋅-，即可求解. （1） 解：由题意，向量3a =，2b =，a 与b 的夹角为3π， 可得1cos 32332a b a b π⋅=⋅=⨯⨯=，又由2222?32a b a ab b +=++=+⨯ （2）解：因为向量3a =，2b =，且3a b ⋅=，所以()()222236336418a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=--⨯=-.9．一艘海轮从A 出发，沿北偏东70︒的方向航行1)n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东10︒的方向航行2n mile 到达海岛C ．（1）求AC 的长；（2）如果下次航行直接从A 出发到达C ，应沿什么方向航行？ 【答案】（1）AC =（2）沿北偏东25︒的方向航方向航行.【分析】（1）根据示意图，确定好题目中给出的长度和角度；选用余弦定理求解AC 的长度，试卷第7页，共71页（2）利用求出的AC 的长度以及相关条件，选用正弦定理完成CAB ∠的求解，进而得答案.（1）解：由题意知，在ABC 中，1807010120ABC ∠=︒-︒+︒=︒，1=AB ，2BC =，根据余弦定理，得))22222cos 14216AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠=++=，所以AC =．（2） 解：根据正弦定理可得sin sin AC BC ABC CAB=∠∠，即2sin 2s in BC A B BC CA AC∠====∠ 又,(0,180)BC AC CAB <∈∠，所以45CAB ∠=︒．所以应沿北偏东25︒n mile 即可到达C 处. 10．已知海岛A 四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A 在北偏东75°，航行见此岛在北偏东30︒，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？【答案】无触礁危险，理由见解析.【分析】根据题意，作出示意图，利用正弦定理，求得AD ，与8进行比较，即可判断.【详解】如图所示，在△ABC 中，依题意得BC =，907515ABC ∠=︒︒=︒－，6045BAC ABC ∠=︒∠=︒－. 由正弦定理，得sin15AC ︒＝sin 45BC ︒， 所以AC10（海里）故A到航线的距离为sin6010=︒==.AD AC因为8>，所以货轮无触礁危险．11．如图，设点O是正六边形ABCDEF的中心，请完成以下问题．（1）分别写出与OA、OB、OC相等的向量；（2）分别写出与OD、OE、OF共线的向量；（3）分别写出OD与OB，OD与OE的夹角；（4）分别写出OD与AB，OD与FA的夹角．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析.【分析】（1）根据正六边形的性质以及相等向量的概念可得结果；（2）根据正六边形的性质以及共线向量的概念可得结果；（3）根据正六边形的性质以及向量夹角的概念可得结果.（4）根据正六边形的性质以及向量夹角的概念可得结果.（1）解：由正六边形的性质可知，与OA相等的向量有：DO、试卷第9页，共71页 EF、CB ，与OB 相等的向量有：EO 、FA 、DC ，与OC 相等的向量有：FO 、AB 、ED .（2） 解：与OD 共线的向量有：DO 、AO 、OA 、AD 、DA 、EF、FE 、BC 、CB ， 与OB 共线的向量有BO 、EO 、OE 、CD 、DC 、BE 、EB 、FA 、AF ， 与OF 共线的向量有：FO 、OC 、CO 、CF 、FC 、ED 、DE 、AB 、BA . （3）解：OD 与OB 的夹角120，OD 与OE 的夹角60. （4）解：OD 与AB 的夹角为60，OD 与FA 的夹角120.12．已知|a |5=，|b |4=，（1）若a 与b 的夹角为120.θ=︒①求a ⋅b ；②求a 在b 上的投影向量．（2）若a //b ，求a ⋅b .【答案】（1）①10-；②58-b （2）答案见解析【分析】（1）根据数量积、投影向量的知识求得正确答案. （2）根据a ，b 的夹角进行分类讨论，由此求得a ⋅b . （1） ①cos12010a b a b ⋅=⋅⋅︒=-.②a 在b 上的投影向量为15cos1205248b b a b⎛⎫⋅︒⋅=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭b . （2）a //b ， ∴a 与b 的夹角为0θ=︒或180.θ=︒ 当0θ=︒时，cos020a b a b ⋅=⋅⋅︒=. 当180θ=︒时，cos18020a b a b ⋅=⋅⋅︒=-. 13．如图，O 为ABC 内一点，OA =a ，OB =b ，OC =c .求作：（1）b +c -a ；（2）a -b -c .【答案】 （1）答案见解析（2）答案见解析【分析】（1）根据向量加法、减法的几何意义画出图象. （2）根据向量加法、减法的几何意义画出图象. （1）试卷第11页，共71页设D 是BC 的中点，连接OD 并延长，使OD DE =. b +c -a OE OA AE =-=.（2）a -b -c =a -△b +c △OA OE EA =-=.14．已知向量a ，b ，c ，d 分别表示下列位移：“向北10km ”△“向南5km ”△“向西10km ”△“向东5km ”．请说明向量a b +，b b +，a c +，a b b ++，a d d ++的意义． 【答案】答案见解析 【分析】根据a ，b ，c ，d 的意义对a b +，b b +，a c +，a b b ++，a d d ++的意义进行说明. 【详解】向量a b +表示“向北5km”； 向量b b +表示“向南10km”；向量a c +表示“”； 向量2a b b a b ++=+，表示没有位移；向量2a d d a d ++=+，表示“”．15．已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其外接圆半径R 满足2222cos .R ac B a c +=+（1）求B 的大小； （2）若2b =，512C π=，求ABC 的面积． 【答案】 （1）6π（2）2+【分析】（1）由余弦定理和已知条件化简可得R b =，再根据正弦定理，即可求出结果． （2）由三角形内角和可知A C =，进而可得a c =，由余弦定理即可求出2a ，再根据211sin sin 22ABCSac B a B ==，即可求出结果. （1）解：2222cos R ac B a c +=+，22222cos R a c ac B b ∴=+-=， 2sin bR b B ∴==，1sin 2B ∴=， 又B 为锐角，.6B π∴= （2） 解：6B π=，512C π=， 55()61212A ππππ∴=-+=，a c ∴=，又2b =,由余弦定理，得(22222cos 2b a c ac B a =+-=，24(2a ∴=，211sin sin 222ABCSac B a B ∴===16．在)1cos cos 2A A A ⋅-=；②cos cos 2A aC b c=-两个条件中任选一个填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，________，4b c +=，求a 的最小值．试卷第13页，共71页【答案】选择①或②a 的最小值为2. 【分析】选择①利用二倍角公式以及辅助角公式化简即可求得角A ，再由余弦定理以及基本等式即可求a 的最小值；选择②由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式化简可得cos A 的值进而可得角A ，再由余弦定理以及基本等式即可求a 的最小值. 【详解】选择①：)1cos cos 2A A A ⋅-=可得：2sin 2cos 1A A A -=，1cos 22212AA +-⨯=，2cos22A A -=，所以π2sin 226A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ112,π666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ262A -=，π3A =，在ABC 中，由余弦定理可得：()()()222222212cos 3342b c b c a b c bc A bc b c b c +⎛⎫=+-≥+-⨯+ ⎪⎝⎭=+-=，当且仅当b=c等号成立即()22144a b c +=≥，所以2a ≥，所以a 的最小值为2， 选择②：cos cos 2A aC b c=-， 由正弦定理化边为角可得：sin cos cos 2sin sin A C B CA=-，所以2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=，即()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B =+=+=， 因为sin 0B ≠，所以2cos 1A =，1cos 2A =， 因为()0,πA ∈，所以π3A =， 在ABC 中，由余弦定理可得：()()()222222212cos 3342b c b c a b c bc A bc b c b c +⎛⎫=+-≥+-⨯+ ⎪⎝⎭=+-=即()22144a b c +=≥，所以2a ≥，所以a 的最小值为2. 17．在△3A π=，a =b =△1a =，b =6A π=；△a =b =3B π=这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并加以解答.问题：在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知___________，解三角形.【答案】答案见解析 【分析】选择条件△：利用正弦定理求出B ，即可得出C ，再利用正弦定理即可求出c ；选择条件△：利用正弦定理求出B ，即可求出C 和c ；选择条件△：利用正弦定理求出A ，即可求出C 和c . 【详解】 选择条件△： 因为3A π=，a =b =由正弦定理得sin sin a b A B==所以sin B 4B π=或34B π=（舍去），所以53412C ππππ=--=，因为5sinsin sin cos cos sin 126464644πππππππ+⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，由正弦定理可得2sin sin c aC A===，则c =. 选择条件△：因为1a =，b =6A π=，由正弦定理得sin sin a b A B=，即112=所以sin B =，解得3B π=或23B π=，符合题意，当3B π=时，632C ππππ=--=，则2c =，当23B π=时，2636C ππππ=--=，则1c a ==； 选择条件△：因为a =b =3B π=，试卷第15页，共71页由正弦定理得sin sin a bA B =，即sin 2A = 则sin 1A =，所以2A π=，所以236C ππππ=--=，c =18．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b ccos sin C c B =. （1）求角C ；（2）若2b =，ABC的面积为c . 【答案】 （1）3C π=（2）c =【分析】（1）cos sin sin B C C B =，进而得tan C =在求解即可得答案；（2）由面积公式得8ab =，进而根据题意得2b =，4a =，再根据余弦定理求解即可. （1）cos sin C c B =，cos sin sin B C C B =， 因为()0,,sin 0B B π∈≠，sin C C =，即tan C = 因为()0,C π∈，所以3C π=.（2）解：因为ABC的面积为3C π=，所以1sin 2S ab C ===8ab =， 因为2b =，所以4a =，所以2222201cos 2162a b c c C ab +--===，解得c =所以c =19．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =． （1）若||25b =，且//a b ，求b 的坐标；（2）若10c =，且2a c +与43a c -垂直，求a 与c 的夹角θ. 【答案】（1）()2,4b =或()2,4b =--. （2）π4θ=. 【分析】（1）设(),b x y =，根据两向量平行的坐标关系以及向量的模的计算建立方程组，求解即可；（2）由向量垂直的条件以及向量夹角的计算公式可求得答案. （1）解：设(),b x y =，因为//a b ，所以2y x =．①又25b =，所以2220x y +=．②，由①②联立，解得24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩，所以()2,4b =或()2,4b =--． （2）解：由()()243a c a c +⊥-，得()()222438320a c a c a c a c ⋅+-=--⋅=，又||5,||10a c ==，解得5a c ⋅=，所以5cos [0,π]||||5a c a c θθ⋅==∈⨯， 所以a 与c 的夹角π4θ=.20．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin 0a C C b c +--=. （1）求A ；（2）若a =2，ABC b ，c 的值. 【答案】 （1）3A π=（2）2b c == 【分析】试卷第17页，共71页（1）先利用正弦定理将边变成角，然后利用()sin sin B A C =+以及两角和的正弦公式代入计算即可；（2）先利用面积公式求出bc ，再利用余弦定理求出22b c +，然后解方程组即可. （1）由cos sin 0a C C b c +--=及正弦定理得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=.因为()()sin sin sin sin cos cos sin B A C A C A C A C π=--=+=+，sin cos sin sin 0A C A C C --=. 由于sin 0C ≠，cos 10A A --= 所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又0A π<<，故3A π=.（2）由题得ABC的面积1sin 2S bc A ==4bc =①.而222a b c =+-2cos bc A ，且2a =，故228b c +=②， 由①②得2b c ==.21．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，cab=．（1）求角B ；（2）若c b ==，ABC 的周长l ． 【答案】 （1）6B π=（2）3 【分析】 (1)ab=cos B B =，由此可求角B ；(2)由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，解方程求a c ，，由此可得ABC 的周长l ． （1）ab=sin sin cos B A A B =．在ABC 中，sin 0A ≠cos B B =，所以tan B =． 又0B π<<，所以6B π=．（2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2232cos6a c ac π=+-，即223a c +=，又c =，解得3a c ==．故ABC 的周长33l a b c =++==22．在ABC 中，点P 是AB 上一点，且23CP CA =+13CB ，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，且CM =tCP ，求t 的值．【答案】34【分析】由2133CP CA CB =+，化简为2AP PB =，得到点P 是AB 的一个三等分点（靠近A 点），再根据A ，M ，Q 三点共线，设AM AQ λ=，然后用,AB AC 分别表示向量,CM CP ，再根据CM =tCP 求解. 【详解】 如图所示：因为2133CP CA CB =+，所以32CP CA CB =+， 所以()2CP CA CB CP -=-， 即2AP PB =，所以点P 是AB 的一个三等分点（靠近A 点）， 又因为A ，M ，Q 三点共线，且Q 为BC 的中点，试卷第19页，共71页设AM AQ λ=，则CM AM AC AQ AC λ=-=-()2222AB AC AC AB AC λλλ-=+-=+， 13CP AP AC AB AC =-=-， 因为CM =tCP ， 所以21223AB AC t AB AC λλ-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则2322t tλλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得1234t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以t 的值是34.23．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，csin cos C c B +=，且23C π=． （1）求A 的大小；（2）若ABC的周长为8+AC 边上中线BD 的长度． 【答案】 （1）6A π=（2）【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再由角的范围可求得答案；（2）设BC AC x ==，根据三角形的周长可求得4x =，再在BCD △中，运用余弦定理，可求得中线的长. （1）sin cos C c B +，sin sin cos B C C B C +=， 因为()0,,sin 0C C π∈≠，cos B B +=sin 6B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为23C π=，所以0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,662B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以63B ππ+=，即6B π=，所以6A π=（2）解：由（1）得ABC 为等腰三角形，设BC AC x ==，故2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅，代入数据解得：=AB ，因为ABC 的周长为8+28x =+4x =，所以4,BC AC AB ===122DC AC ==, 在BCD △中，23BCD π∠=，所以222cos 2BC CD BD BCD BC CD+-∠=⋅，即2221422242BD ，解得BD =所以AC 边上中线BD 的长度为24．如图，某住宅小区的平面图是圆心角为120°的扇形AOB ．//CD BO ，某人从C 沿CD 走到D 用了10min ，从D 沿DA 走到A 用了6min ．若此人步行的速度为每分钟50m ，求该扇形的半径OA 的长．（精确到1m ）【答案】445m 【分析】设OA r =，连接OC ，在OCD 中利用余弦定理列方程求解即得. 【详解】设扇形半径OA r =m ，连接OC ，如图，依题意，300DA =m ，500CD =m ，在OCD 中，(300)OD r =-m ，60CDO ∠=， 由余弦定理得：2222cos OC OD CD OD CD CDO =+-⋅∠，即试卷第21页，共71页222(300)5002(300)500cos 60r r r =-+--⨯⨯，化简整理得：49000011000r -=，解得：490044511r =≈(m)， 所以该扇形的半径OA 的长约为445m.25．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m min .在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m min ，山路AC 长为1260m ，经测量，12cos 13A =，3cos 5C =.（1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 【答案】 （1）1040m （2）35min 37（3）1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）先求得sin B ，然后由正弦定理求得AB .（2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ，利用余弦定理列方程，结合二次函数的性质求得d 的最小值.（3）根据“两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min”列不等式，由此求得乙步行的速度的范围. （1） 由题意5sin 13A =，4sin 5C =，在ABC 中，()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=， 由正弦定理sin sin AB ACC B=，得1040m AB =.所以，索道AB 的长为1040m. （2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ， 此时甲行走了()1005t +，乙距离A 处130t ，由余弦定理得()()()222121005013021301005013d t t t t =++-⨯⨯+ ()2200377050t t =-+，因为10400130t ≤≤，即08t ≤≤， 则当35min 37t =时，甲、乙两游客之间距离最短. （3）由正弦定理sin sin BC ACA B=，得sin 500m sin AC BC AB ==， 乙从B 出发时，甲已走了()50281550m ++=，还需要走710m 才能到达C ， 设乙步行的速度为m min v ， 由题意得500710125062533504314v v -≤-≤⇒≤≤， 所以为了使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ， 乙步行的速度应控制在1250625,4314⎡⎤⎢⎥⎣⎦（单位：m min ）范围之内. 26．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，3B π=，3a =.（1）若4A π=，求b .（2）若______，求c 的值及ABC 的面积.请从①b =sin 2sin C A =，这两个条件中任选一个，将问题（2）补充完整，并作答. 【答案】（1；（2）选14ABCc S ==：， 26ABCc S==：，【分析】(1)根据正弦定理计算即可得出结果；(2)利用余弦定理或正弦定理求出c 的值，再结合三角形的面积公式计算即可. （1）试卷第23页，共71页334B a A ππ===，，，由正弦定理，得sin sin b aB A=，所以sin sin a b B A =⨯== （2）选①：由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即21139232c c =+-⨯⨯，整理，得2340c c --=，由c >0，得c =4，所以11sin 3422ABCSac B ==⨯⨯= 选②：因为sin 2sin C A =，由正弦定理，得c =2a ， 所以c =6，所以11sin 6322ABCSac B ==⨯⨯=27．已知向量a 与b 的夹角为θ，5a =，4b =，分别求在下列条件下的a b ⋅： （1）120θ；（2）//a b ； （3）a b ⊥． 【答案】 （1）10- （2）20或20- （3）0 【分析】（1）根据=cos a b a b θ⋅⋅，代入数值，即可求出结果；（2）因为//a b ，所以0θ=︒或180︒，再根据=cos a b a b θ⋅⋅即可求出结果； （3）因为a b ⊥，所以90θ=︒，再根据=cos a b a b θ⋅⋅即可求出结果. （1）解：因为5a =，4b =，120θ，所以1=cos 54102a b a b θ⎛⎫⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭；（2）解：因为//a b ，所以0θ=︒或180︒， 当0θ=︒时，=cos054120a b a b ⋅⋅︒=⨯⨯=；当180θ=︒时，()=cos18054120a b a b ⋅⋅︒=⨯⨯-=-； 所以a b ⋅的值为20或20-.（3）解：因为a b ⊥，所以90θ=︒， 所以=cos905400a b a b ⋅⋅︒=⨯⨯=.28．已知()3,1a =-，()1,2b =-，求a b ⋅，a ，b ，,a b <>． 【答案】5a b ⋅=，10a =，5b =，,4a b π<>=.【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】由题意可知：()()()()3,11,231125a b ⋅=-⋅-=⨯+-⨯-=， (23a a a =⋅=+=(21b b b =⋅=+=又因为2c 1os 0,5a b a b a b=<>=⨯⋅=0,a b π≤<>≤，所以,4a b π<>=. 29．已知O 为坐标原点，()3,1OA =，()1,2OB =-，OC 与OB 垂直，BC 与OA 平行，求点C 的坐标． 【答案】()14,7. 【分析】设(),C x y ，根据OC 与OB 垂直，BC 与OA 平行，列出方程组，解之即可得出答案. 【详解】解：设(),C x y ，则()(),,1,2OC x y BC OC OB x y ==-=+-， 因为OC 与OB 垂直，BC 与OA 平行，所以()201320x y x y -+=⎧⎨+--=⎩，解得147x y =⎧⎨=⎩，所以点C 的坐标为()14,7.30．已知()110e ,=，()20,1e ，一动点P 从()012P -,开始，沿着与向量12e e +相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为12m /s e e +.另一动点Q 从()02,1Q --开始，沿着与向量1232e e +相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为1232m /s e e +，设P ，Q 在0s t =时分别在0P ，0Q 处，问当00PQ PQ ⊥时，所需的时间t 为多少？试卷第25页，共71页【答案】2s 【分析】根据题意，结合向量减法，同向的单位向量，以及数量积的坐标公式，即可求解. 【详解】根据题意，易知()120121212e e OP OP t e e t e e e e +-=+⋅=++，()12012121233323232e e OQ OQ t e e t e e e e +-=+⋅=++，两式相减得，()00122PQ P Q t e e -=+，由()001,3PQ =--，()110e ,=，()20,1e =，得()()0012212,3PQ P Q t e e t t =++=-+-+， 因为00PQ PQ ⊥，所以()()00112330PQ PQ t t ⋅=-⨯-+-⨯-+=，解得2s =t . 故当00PQ PQ ⊥时，所需的时间t 为2s .31．两个力1F i j =+，245F i j =-作用于同一质点，使该质点从点()20,15A 移动到点()7,0B （其中i 、j 分别是x 轴正方向、y 轴正方向上的单位向量，力的单位：N ，位移的单位：m ）.求：（1）1F ，2F 分别对该质点做的功； （2）1F ，2F 的合力F 对该质点做的功. 【答案】（1）1F 对该质点做的功为28-（N m ⋅），2F 对该质点做的功23（N m ⋅）； （2）5-（N m ⋅）. 【分析】（1）根据题意，求出位移AB ，结合功的计算公式，即可求解； （2）根据题意，求出合力F ，结合功的计算公式，即可求解. （1）根据题意，()11,1F i j =+=，()2454,5F i j =-=-，()13,15AB =--， 故1F 对该质点做的功11131528W F AB =⋅=--=-（N m ⋅）；2F 对该质点做的功()2213415523W F AB =⋅=-⨯-⨯-=（N m ⋅）. （2）根据题意，1F ，2F 的合力()125,4F F F =+=-，故1F ，2F 的合力F 对该质点做的功()()5134155W F AB =⋅=⨯--⨯-=-（N m ⋅）. 32．如图所示，一个物体受到同一平面内三个力1F ，2F ，3F 的作用，沿北偏东45的方向移动了8m ，其中12N F =，方向为北偏东30 ；24N F =，方向为北偏东60；36N F =，方向为北偏西30，求合力F 所做的功.【答案】 【分析】如图建立平面直角坐标系，求出1F ，2F ，3F 以及位移s 的坐标，进而可得合力123F F F F =++的坐标，再由向量数量积的坐标运算计算W F s =⋅即可求解.【详解】如图建立平面直角坐标系，由题意可得(11,F =，()223,2F =，(3F =-，位移(42,s =，所以(12322,2F F F F =++=+，所以合力F 所做的功为()(2322W F s =⋅=⨯+⨯=，33．在ABC 中，已知4cos 5A =，65a =.试卷第27页，共71页（1）当3B π=时，求b 的值；（2）设02B x x π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，求函数22xy b =+的值域．【答案】 （1（2）(24++ 【分析】（1）利用正弦定理即可求解.（2）利用正弦公式以及辅助角公式可得4sin 3y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭再由正弦函数的性质即可求解. （1） 4cos 5A =，0A π<<，所以3sin 5A =， 当3B π=时，由正弦定理sin sin a bA B=， 可得65sin sin b A B =，解得b =（2）由正弦定理可得65sin 2sin sin b B xA=⋅=，所以22x y b =+)2sin 1cos x x =++2sin x x =+++4sin 3x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为02x π<<，所以3365x πππ<+<， 所以1sin 123x π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以24sin 43x π⎛⎫+<+++ ⎪⎝⎭所以函数22xy b =+的值域为(24++. 34．在ABC 中，AB a =，BC b =，当0a b ⋅≥时，判断ABC 的形状． 【答案】直角三角形或钝角三角形.【分析】根据向量数量积的定义可得0,2a b π<≤，即有2ABC π∠=或2ABC ππ<∠<，由此可得答案. 【详解】解：因为在ABC 中，AB a =，BC b =， 0a b ⋅≥，所以cos ,0a b a b ⋅⋅≥，即cos ,0a b ≥，又[],0a b π∈，，所以0,2a b π<≤，即02ABC ππ<-∠≤，所以2ABC π∠=或2ABC ππ<∠<，所以ABC 是直角三角形或钝角三角形.35．在等腰三角形ABC 中，2AB AC ==，30ABC ∠=︒，D 为BC 的中点． （1）求BA 在CD 上的投影向量； （2）求CD 在BA 上的投影向量． 【答案】（1）DC （或BD ） （2）34BA -【分析】（1）先求出BA 在CD 上的投影，然后乘以与CD 同向的单位向量即得； （2）先求出CD 在BA 上的投影，然后乘以与BA 同向的单位向量即得． （1）如图，2AB AC ==，30ABC ∠=︒，D 为BC 的中点．则AD BC ⊥，1AD =，AD CD ==所以,150BA CD <>=︒，23BA CD ⋅=︒=-，BA 在CD 上的投影为BA CD CD⋅-==BA 在CD 上的投影向量为CDCD DC CD=-=BD =；试卷第29页，共71页（2）CD 在BA 上的投影为3322BA CD BA⋅-==-， CD 在BA 上的投影向量为3324BA BA BA -⨯=-． 36．如图，已知OA a =，OB b =，OC c =，OD d =，OF f =，试用a ，b ，c ，d ，f 表示以下向量：（1）AC ； （2）AD ； （3）AD AB -； （4）AB CF +； （5）BF BD -． 【答案】 （1）c a →→- （2）d a →→- （3）d b →→- （4）b a f c →→→→-+- （5）f d→→- 【分析】由向量减法法则依次计算即可得出各小问的结果. （1）AC OC OA c a →→→→=-=-.（2）AD OD OA d a →→→→=-=-.（3）AD AB BD OD OB d b →→→→→-==-=-.（4）AB CF OB OA OF OC b a f c →→→→→→→→+=-+-=-+-.（5）BF BD DF OF OD f d →→→→→-==-=-.37．已知a b ⊥，且2=a ，1b =，若有两个不同时为零的实数k ，t ，使得()3a b t +-与ka tb -+垂直，试求k 的最小值．【答案】916- 【分析】由a b ⊥得0a b ⋅=，再由()3a b t +-与ka tb -+垂直，转化得234t tk -=，结合二次函数性质可求k 的最小值． 【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，又()3a b t +-与ka tb -+垂直，所以()()30a b ka tb t ⎡⎤+-⋅=⎣⎦-+，即()()22330ka t t b t k t a b ⎡⎤-+-+--⋅=⎣⎦，又2=a ，1b =，所以()430k t t -+-=，234t tk -=，当32t =时，k 取到最小值916-. 38．在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，且1AB AD ==，0OA OC OB OD +=+=，1cos 2DAB ∠=.求DC BC +与CD BC +． 【答案】3DC BC +=1CD BC += 【分析】首先根据已知条件得到四边形ABCD 为菱形，且3DAB π∠=，根据DC BC AC +=，CD BC BD +=，再求其模长即可.【详解】试卷第31页，共71页因为0OA OC OB OD +=+=，所以OA OC =-，OB OD =-，即四边形ABCD 为平行四边形. 又因为1AB AD ==，则四边形ABCD 为菱形，如图所示：1cos 2DAB ∠=，0DAB π<∠<，所以3DAB π∠=. 23DC BC AD DC AC AO +=+===. 1CD BC CD CB BD +=-==. 39．是否存在a ，b ，使a b a b +==？请画出图形说明．【答案】存在，图形见解析【分析】根据平面向量数量积的运算律及向量夹角的计算公式求出a 与b 的夹角，即可得解； 【详解】 解：因为a b a b +==，所以22a b a +=，即2222a a b b a +⋅+=，即2222a a b b a +⋅+=，即212a b a ⋅=-，设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2a b a b θ⋅==-⋅，因为[]0,θπ∈，所以23πθ=，即当a 与b 的夹角为23π且a 与b 的模相等时，满足a bab +==， 图形如下所示：40．如图，已知向量a ，b ，c 不共线，作向量a +b +c ．【答案】答案见详解.【分析】利用向量加法的三角形法则即可求解.【详解】由向量加法的三角形法则， a +b +c 如图，41．如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a b c --．【答案】见解析【分析】利用向量减法的三角形法则即可求解.【详解】由向量减法的三角形法则，令,a OA b OB →→→==,则a b OA OB BA →→→→→-=-=,令c BC →→=,所以a b c BA BC CA →→→--=-=.如下图中CA →即为a b c --.试卷第33页，共71页42．如图，已知边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角，求AC 和BD 的坐标.【答案】3(2AC=，(BD -= 【分析】 依题意B ，D 分别是30，120︒角的终边与单位圆的交点，设()11,B x y ，()22,D x y ．由三角函数的定义，求出B 、D 的坐标，再根据向量的坐标表示和向量的加减运算可得.【详解】解：由题知B ，D 分别是30，120︒角的终边与单位圆的交点．设()11,B x y ，()22,D x y ．由三角函数的定义， 得1cos30x ︒==，11sin 302y ︒==，△12B ⎫⎪⎝⎭． 21cos1202x ︒==-，2sin120y ︒==△12D ⎛- ⎝⎭． ()0,0A △3122AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12AD ⎛=- ⎝⎭． ∴3(2AC AB AD=+=，(BD AD AB -=-=43．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量()6,1AB →=，(),BC x y →=，()2,3CD →=--，且BC AD →→∥．（1）求x 与y 间的关系；（2）若AC BD →→⊥，求x 与y 的值及四边形ABCD 的面积． 【答案】（1）20x y +=（2）2,1,x y =⎧⎨=-⎩或6,3.x y =-⎧⎨=⎩四边形ABCD 的面积为16 【分析】（1）由已知，利用平面向量坐标运算分别表示出AD →，BC →的坐标，利用平行关系即可得到x 与y 间的关系.（2）由（1）得到x 与y 间的关系以及利用AC BD →→⊥数量积为0，通过联立方程分别解出,x y ，并确定AC →，BD →坐标.最后，由四边形对角线垂直，可直接由对角线长度乘积的一半求出四边形面积.（1）由题意得()4,2AD AB BC CD x y →→→→=++=+-，(),BC x y →=，因为BC AD →→∥，所以()()420x y y x +--=，即20x y +=……① （2）由题意得()6,1AC AB BC x y →→→=+=++，()2,3BD BC CD x y →→→=+=--， 因为AC BD →→⊥，所以0AC BD →→⋅=，即()()()()62130x x y y +-++-=， 整理得2242150x y x y ++--=……②联立①②2242150{20x y x y x y ++--=+=,解得2,1,x y =⎧⎨=-⎩或6,3.x y =-⎧⎨=⎩. 记四边形ABCD 面积为S当2,1,x y =⎧⎨=-⎩时，()8,0AC →=，()0,4BD →=-，则1162S AC BD →→==， 当6,3x y =-⎧⎨=⎩时，()0,4AC →=，()8,0BD →=-，则1162S AC BD →→==试卷第35页，共71页 综上2,1,x y =⎧⎨=-⎩或6,3.x y =-⎧⎨=⎩四边形ABCD 的面积为16 44．已知向量()8,4a →=-，(),1b x →=.△a →，b →共线，△a b a →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭. （1）若______，请从以上两个条件中任选一个，求x 的值；（2）当2x =时，求a →与b →夹角θ的余弦值.【答案】（1）选择△，2x =-；选择△，212x =； （2）35. 【分析】（1）选择△，根据,a b →→共线即可得出840x +=，解出x 即可；选择△，先求出(8,5)a b x →→-=--，根据a b a →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭即可得出()0a b a →→→-=，然后进行数量积的坐标运算即可求出x 的值； （2）2x =时，可得出向量b →的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出cos θ． （1）解：如果选择△，,a b →→共线，840x ∴+=，解得2x =-；如果选择△，(8,5)a b x →→-=--，且a b a →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭， ∴()8(8)200a b a x →→→-=-+=，解得212x =. （2）解：当2x =时，(2,1)b →=，∴12a b →→=，|||a b →→= ∴123cos 545||||a ba b θ→→→→==． 45．已知O 为坐标原点，()2,5OA →=，()3,1OB →=，()6,3OC →=，则在线段OC 上是否存在点M ，使得MA MB →→⊥若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】()2,1M 或2211,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】假设存在点M ，且()()6,301OM OC λλλλ→→==<≤,求出,MA MB →→的坐标,根据平面向量互相垂直时,它们的数量积为零,得到方程,解方程求出λ,最后求出点M 坐标.【详解】解：设存在点M ，且()()6,301OM OC λλλλ→→==<≤()26,53MA λλ→=--，()36,13MB λλ→=--, 因为MA MB →→⊥,所以0MA MB →→⋅=,有()()()()2126365313045481103λλλλλλλ--+--=⇒-+=⇒=或1115λ= ()2,1OM →∴=或2211,55⎛⎫ ⎪⎝⎭∴存在()2,1M 或2211,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足题意. 46．已知a 、b 、c 为同一平面内的三个向量，其中()1,2a =（1）若()2,c k =-，且c a ∥，求c ；（2）若()1,b m =，且a 与b 垂直，求b .【答案】（1）()2,4c =--（2）11,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可；（2）由a 与b 垂直，可得0a b ⋅=，根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可； （1）解：∵()2,c k =-，()1,2a =且//c a ，∴()2210k -⨯-⨯=，∴4k =-，∴()2,4c =--.（2）解：由a 与b 垂直，得0a b ⋅=，即1120m ⨯+⨯= ∴12m =-. 47．如图，在射线,,OA OB OC 中，相邻两条射线所成的角都是120，且线段OA OB OC ==.设OP xOA yOB =+.试卷第37页，共71页（1）当2,1x y ==时，在图1中作出点P 的位置（保留作图的痕迹）； （2）请用,x y 写出“点P 在射线OC 上”的一个充要条件：___________； （3）设满足“24x y +=且0xy ≥”的点P 所构成的图形为G ， ①图形G 是___________；A△线段 B△射线 C△直线 D△圆②在图2中作出图形G .【答案】（1）答案见解析（2）x y =且0,0x y ≤≤（3）① A ；②答案见解析【分析】（1）根据向量的加法的几何意义作出点P 的位置；（2）根据向量的线性运算的几何意义确定“点P 在射线OC 上”的一个充要条件； （3）根据向量共线定理的推论确定P 的轨迹形状，并画图.（1）图中点P 即为所求.（2）根据向量线性运算的几何表示可得x y =且0,0x y ≤≤；（3）①因为OP xOA yOB =+，24x y +=且0xy ≥， 所以4242x y OP OA OB =⋅+⋅，其中142x y +=， 设4OD OA =，2OE OB =，则42x y OP OD OE =+，142x y +=,又0xy ≥ 所以点P 所构成的图形为线段DE故选：A ；②图中线段DE 即为所求.48．已知5a =，4b =， a 与b 的夹角为60，问：当k 为何值时，()()2ka b a b -⊥+？【答案】1415. 【分析】根据数量积的定义可得a b ⋅的值，再利用数量积的定义和性质计算()()20ka b a b -⋅+=即可求解.【详解】 因为5a =，4b =， a 与b 的夹角为60， 所以1cos6054102a b a b ⋅=⋅⋅=⨯⨯=， 若()()2ka b a b -⊥+，则()()20ka b a b -⋅+=，即()222120ka k a b b +-⋅-=，所以()222120k a k a b b +-⋅-=， 所以()2521102160k k +-⨯-⨯=，可得：1415k =.试卷第39页，共71页49．已知()cos ,sin a αα=，()1,2b =，()0,απ∈．（1）若a b ∥，求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值； （2）若a b ⊥，且3sin 5β=，()0,βπ∈，求sin()αβ+的值． 【答案】（1）1（2）详见解析【分析】（1）由题得tan 2α=，再利用二倍角公式及同角关系式可得2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--22tan tan tan 2ααα=+-，即求； （2）由题可得cos 2sin 0αα+=，再利用同角关系式及两角和公式即求. （1）∵()cos ,sin a αα=，()1,2b =，()0,απ∈，a b ∥，∴2cos sin 0αα-=，即tan 2α=， ∴222sin 22sin cos sin sin cos cos 21sin sin cos 2cos ααααααααααα=+--+- 22tan tan tan 2ααα=+- 2221222⨯==+-. （2）∵()cos ,sin a αα=，()1,2b =，，a b ⊥∴cos 2sin 0αα+=，()0,απ∈，∴25sin 1,sin 0αα=>，∴sin αα== 又3sin 5β=，()0,βπ∈， ∴4cos 5β=±， 当4cos 5β=时，sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+4355== 当4cos 5β=-时，sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+4355==. 50．已知||2,||1a b ==，a 与b 的夹角为23π，设27,m ta b n a b =+=+．（1）求(2)a a b ⋅+的值；（2）若m 与n 的夹角是锐角，求实数t 的取值范围．【答案】（1）2；（2）114,722⎛⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭﹒ 【分析】(1)将(2)a a b ⋅+展开，通过数量积运算即可得到答案；(2)两向量夹角为锐角，数量积为正，但需排除两向量同向的情况﹒ （1）2221(2)2||2||||cos 4221232a a b a a b a a b π⎛⎫⋅+=+⋅=+⋅=+⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭； （2）△m 与n 的夹角是锐角，△0m n ⋅>且m 与n 不共线．△()222(27)()2||277||m n ta b a tb t a t a b t b ⋅=++=++⋅+22827721570t t t t t =--+=-+->，△221570t t -+<，解得172t <<． 当m 与n 共线时，则存在实数λ，使27()ta b a tb λ+=+，△2,7t t λλ=⎧⎨=⎩，解得2t =±．综上所述，实数t 的取值范围是114,722⎛⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 51．如图，正三角形ABC 的边长为4，D ，E ，F 分别在线段,,AB BC CA 上，且D 为AB 的中点，DE DF ⊥.试卷第41页，共71页（1）若60BDE ∠=︒，求三角形DEF 的面积. （2）求三角形DEF 面积的最小值. 【答案】 （1（2）12- 【分析】（1）根据题意，结合面积公式，即可求解；（2）根据题意，设BDE θ∠=，结合正弦定理，以及三角恒等变换，及可求解. （1）根据题意，知2AD BD ==，因为60BDE ∠=，所以2DE =，又因为DE DF ⊥，所以30ADF ∠=， 因此cos303DF AD ==，故12DEFS DE DF =⋅= （2）根据题意，设BDE θ∠=，090θ≤≤.在BDE 和ADF 中，由正弦定理知()sin 60sin 120DE BD θ=-，()sin 60sin 30DF ADθ=+， 化简得)3sin 60DE θ=+，)3sin 30DF θ=+，故()()1322sin 60sin 30DEFSDE DF θθ=⋅=++， 因为()()311sin 60sin 30sincos 222θθθθθθ⎛⎫⎛⎫++=+⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 1sin 22θ= 所以12DEF S =- 52．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 1b =，120C =． （1）求B 的大小； （2）求ABC 的面积S 【答案】 （1）30；（2 【分析】（1）利用正弦定理即可求解；（2）由三角形的内角和求得角A ，再由三角形的面积公式即可求解. （1）在ABC 中，c =1b =，120C =，由正弦定理得sin sin b c B C =即1si 20n B =，所以1sin 2B ==， 因为b c <，所以B C <， 因为060B <<，所以30B = （2）因为180A B C ++=，所以1801803012030A B C =--=--=，所以ABC 的面积为113sin 1sin 30224S bc A ==⨯=.53．已知()1,2a =，()3,1b =- （1）求2a b -；（2）设a ，b 的夹角为θ，求cos θ的值； （3）若向量a kb +与a kb -互相垂直，求k 的值 【答案】 （1）()7,0；（2）10-；（3）【分析】（1）利用线性运算的坐标表示即可求解； （2）利用向量夹角的坐标表示即可求解；（3）求出向量a kb +与a kb -的坐标，利用坐标表示()()0a kb a kb ⋅-=+即可求解. （1）因为()1,2a =，()3,1b =-，所以()()()21,223,17,0a b -=--=. （2）因为cos a b a b θ⋅=⋅⋅，试卷第43页，共71页所以21cos 1a b a bθ⨯⋅===⋅+（3）由()1,2a =，()3,1b =-可得()()()1,23,113,2a kb k k k +=+-=-+，()()()1,23,113,2a kb k k k -=--=+-，因为向量a kb +与a kb -互相垂直，所以()()()()()()1313220a kb a kb k k k k +⋅-=-+++-=， 即221k =，解得：k =. 54．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =，求点P 的坐标．【答案】()8,15- 【分析】根据点P 在线段AB 的延长线上，且3||||2AP PB =，可得12AB BP =，可得2OP OB AB =+． 【详解】点P 在线段AB 的延长线上，且3||||2AP PB =， ∴12AB BP =， ∴2(4OP OB AB =+=，3)2(2-+，6)(8-=，15)-．所以点P 的坐标为()8,15-55．已知ABCD 的顶点()1,2--A ，()3,1B -，()5,6C ，求顶点D 的坐标． 【答案】(1，5)﹒ 【分析】由平行四边形可得：DC AB =，于是OD OC AB =-． 【详解】设坐标原点为O ，由平行四边形可得：DC AB =，(5OD OC AB =-=，6)(4-，1)(1=，5)．∴D 的坐标为(1，5)﹒56．如图，已知平行四边形ABCD ，点O 为任一点，设OA a =，OB b =，OC c =，试。
人教A版高中同步训练数学必修第二册课后习题 第6章 平面向量及其应用 第1课时 向量数量积的概念
6.2.4 向量的数量积第1课时向量数量积的概念课后·训练提升1.已知a,b为单位向量,a与b的夹角为60°,则a·b=()A.12B.√32C.1D.-12答案：A解析：a·b=1×1×cos60°=12.2.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b的夹角θ为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案：C解析：由条件可知,cosθ=a·b|a||b|=21×4=12,又θ∈[0,π],故θ=π3.3.若|m|=4,|n|=6,m与n的夹角θ为45°,则m·n=()A.12B.12√2C.-12√2D.-12答案：B解析：由已知条件得m·n=|m||n|cosθ=4×6×√22=12√2.4.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,且e是与b方向相同的单位向量,则向量a 在向量b方向上的投影向量为( )A.-4eB.4eC.-2eD.2e答案：A解析：根据投影向量的定义,设a,b 的夹角为θ,可得向量a 在向量b 方向上的投影向量为|a|cosθe=a ·b |b |·e=-4e.故选A.5.已知|a|=10,|b|=12,且(3a)·(15b)=-36,则a 与b 的夹角为( )A.60°B.120°C.135°D.150°答案：B解析：设a 与b 的夹角为θ. 由(3a)·(15b)=-36,得a·b=-60,即|a||b|cosθ=-60,已知|a|=10,|b|=12,解得cosθ=-12,又0°≤θ≤180°,故夹角θ为120°.6.已知平面上三点A,B,C,满足|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值等于( ) A.-7 B.7 C.25 D.-25答案：D解析：由条件知∠ABC=90°,所以原式=0+4×5×cos(180°-C)+5×3×cos(180°-A)=-20cosC-15cosA=-20×45-15×35=-16-9=-25.7.已知|b|=3,向量a 在向量b 方向上的投影向量为32e(其中e 是与b 方向相同的单位向量),则a·b 的值为( ) A.3 B.92C.2D.12答案：B解析：设a 与b 的夹角为θ.∵|a|cosθe=32e,即|a|cosθ=32,∴a·b=|a||b|cosθ=3×32=92.8.在等腰直角三角形ABC 中,∠A=90°,则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 . 答案：135°9.已知a,b 的夹角为θ,|a|=2,|b|=3,若a ⊥b,则a·b= . 答案：010.已知在△ABC 中,AB=AC=4,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =8,则△ABC 的形状是 . 答案：等边三角形解析：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠BAC, 即8=4×4×cos∠BAC,于是cos ∠BAC=12.因为0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=60°. 又AB=AC,故△ABC 是等边三角形.11.已知a·b=-9,向量a 在向量b 上的投影向量为-3e 1(e 1是与b 方向相同的单位向量),向量b 在向量a 上的投影向量为-32e 2(e 2是与a 方向相同的单位向量),求a 与b 的夹角θ. 解：由题意可知{|a |cosθ=-3,|b |cosθ=-32,∴{a ·b |b |=-3,a ·b|a |=-32,即{-9|b |=-3,-9|a |=-32,∴{|a |=6,|b |=3.∴cosθ=a ·b|a ||b |=-96×3=-12.又θ∈[0,π],∴θ=2π3.12.如图,已知△ABC 是等边三角形.(1)求向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角; (2)若点E 为BC 的中点,求向量AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EC ⃗⃗⃗⃗ 的夹角. 解：(1)∵△ABC 为等边三角形, ∴∠ABC=60°.如图,延长AB 至点D,使AB=BD,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴∠DBC 为向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角. 又∠DBC=120°,∴向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°. (2)∵点E 为BC 的中点, ∴AE ⊥BC,∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EC ⃗⃗⃗⃗ 的夹角为90°.。
2018年新人教A版高中数学必修2全册同步检测含答案解析
2018年新人教A版高中数学必修二全册同步检测目录第1章1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征第1章1.1.2圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征第1章1.2.2空间几何体的三视图第1章1.2.3空间几何体的直观图第1章1.3-1.3.2球的体积和表面积第1章1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积第1章章末复习课第1章评估验收卷(一)第2章2.1.1平面第2章2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系第2章2.1.3平面与平面之间的位置关系第2章2.2.1-2.2.2平面与平面平行的判定第2章2.2.3直线与平面平行的性质第2章2.2.4平面与平面平行的性质第2章2.3.1直线与平面垂直的判定第2章2.3.2平面与平面垂直的判定第2章2.3.3平面与平面垂直的性质第2章章末复习课第2章评估验收卷(二)第3章3.1.1倾斜角与斜率第3章3.1.2两条直线平行与垂直的判定第3章3.2.1直线的点斜式方程第3章3.2.2-3.2.3直线的一般式方程第3章3.3.2第1课时两直线的交点坐标、两点间的距离第3章3.3.2第2课时两直线的交点坐标、两点间的距离（习题课）第3章3.3.3-3.3.4两条平行直线间的距离第3章章末复习课第3章评估验收卷(三)第4章4.1.1圆的标准方程第4章4.1.2圆的一般方程第4章4.2.1直线与圆的位置关系第4章4.2.2-4.4.2.3直线与圆的方程的应用第4章4.3.1-4.3.2空间两点间的距离公式第4章章末复习课第4章评估验收卷(四)模块综合评价第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征A级基础巩固一、选择题1．下列几何体中棱柱有()A．5个B．4个C．3个D．2个解析：由棱柱的定义及几何特征，①③为棱柱．答案：D2．对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是() A．棱柱B．棱锥C．棱台D．一定不是棱柱、棱锥解析：根据棱柱、棱锥、棱台的特征，一定不是棱柱、棱锥．答案：D3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析：A、B、C、中底面多边形的边数与侧面数不相等．答案：D4．由5个面围成的多面体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是()A．三棱柱B．三棱台C．三棱锥D．四棱锥解析：根据棱台的定义可判断知道多面体为三棱台．答案：B5．某同学制作了一个对面图案均相同的正方形礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)()解析：其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪个棱剪开，剪开的相邻面在展开在图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻，又相同的图案是盒子相对的面，展开后绝不能相邻．答案：A二、填空题6.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．解析：折叠后，各面均为三角形，且点B、C、D重合为一点，因此该多面体为三棱锥(四面体)．答案：三棱锥(四面体)7．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.解析：由题设，该棱柱为五棱柱，共5条侧棱．所以每条侧棱的长为605＝12(cm)．答案：128．①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是四边形的几何体不一定是棱台；③两个互相平行的面是正方形，其余各面是四边形的几何体一定是棱台．其中正确说法的个数为________．解析：①正确，因为具有这些特征的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②正确；③不正确，当两个平行的正方形完全相等时，一定不是棱台．答案：29．根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形．解：图①是以ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．图②是以ABCD和A1B1C1D1为底面的棱柱．其图形如图所示．B级能力提升1.如图所示，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定解析：如图所示，倾斜小角度后，因为平面AA1D1D∥平面BB1C1C，所以有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形(水面与两平行平面的交线)因此呈棱柱形状．答案：A2．一个正方体的六个面上分别标有字母A，B，C，D，E，F，下图是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是________．解析：由图知，标字母C的平面与标有A、B、D、E的面相邻，则与D面相对的面为E面，或B面，若B面与D面相对，则A面与B面相对，这时图②不可能，故只能与D面相对的面上字母为B.答案：B3.如图所示，M是棱长为2 cm的正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点，求沿正方体表面从点A到点M的最短路程．解：若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征A级基础巩固一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱②六棱锥③正方体④球体⑤四面体A．①和⑤B．①C．③和④D．①和④解析：圆柱、球体是旋转体，其余均为多面体．答案：D2．如图所示的简单组合体的结构特征是()A．由两个四棱锥组合成的B．由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的C．由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的D．由一个四棱锥和一个四棱台组合成的解析：这个8面体是由两个四棱锥组合而成．答案：A3．下图是由哪个平面图形旋转得到的()解析：图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到．答案：A4．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为()解析：截面图形应为图C所示的圆环面．答案：C5．用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是() A．2 B．2πC.2π或4πD.π2或π4解析：如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝4π；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝2π.所以选C.答案：C二、填空题6．等腰三角形绕底边上的高所在的直线旋转180°，所得几何体是________．解析：结合旋转体及圆锥的特征知，所得几何体为圆锥．答案：圆锥7．给出下列说法：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线，都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是____________(填序号)．解析：由旋转体的形成与几何特征可知①③错误，②④正确．答案：②④8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是__________．答案：圆柱三、解答题9．如图所示的物体是运动器材——空竹，你能描述它的几何特征吗？解：此几何体是由两个大圆柱、两个小圆柱和两个小圆台组合而成的．10．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别2 cm和5 cm，圆台的母线长是12 cm，求圆锥SO的母线长．解：如图，过圆台的轴作截面，截面为等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O1A ＝2 cm，下底半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm.设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得l－12l＝25，所以l＝20 cm.故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.B级能力提升1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所有形成的几何为一个球体挖出一个圆柱．答案：B2．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为__________cm2.解析：如图所示，过球心O作轴截面，设截面圆的圆心为O1，其半径为r.由球的性质，OO1⊥CD.在Rt△OO1C中，R＝OC＝5，OO1＝4，则O1C＝3，所以截面圆的面积S＝π·r2＝π·O1C2＝9π.答案：9π3．如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？解：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，即为蚂蚁爬行的最短距离．因为AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π.所以AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋（2π）2＝21＋π2，所以蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.第一章空间几何体1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图A级基础巩固一、选择题1．以下关于投影的叙述不正确的是()A．手影就是一种投影B．中心投影的投影线相交于点光源C．斜投影的投影线不平行D．正投影的投影线和投影面垂直解析：平行投影的投影线互相平行，分为正投影和斜投影两种，故C错．答案：C2．如图所示，水平放置的圆柱形物体的三视图是()答案：A3．如图，在直角三角形ABC，∠ACB＝90°，△ABC绕边AB所在直线旋转一周形成的几何体的正视图为()解析：由题意，该几何体是两个同底的圆锥组成的简单组合体，且上部分圆锥比底部圆锥高，所以正视图应为选项B.答案：B4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是() A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱解析：球的三视图都是圆；三棱锥的三视图都是全等的三角形；正方体的三视图都是正方形；圆柱的底面放置在水平面上，则其俯视图是圆，正视图是矩形，故几何体不可能是圆柱．答案：D5.一个四棱锥SABCD，底面是正方形，各侧棱长相等，如图所示，其正视图是一等腰三角形，其腰长与图中等长的线段是()A．AB B．SBC．BC D．SE解析：正视图的投影面应是过点E与底面ABCD垂直的平面，所以侧棱SB在投影面上的投影为线段SE.答案：D二、填空题6．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是________(填序号)．①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥解析：在各自的三视图中，①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．所以满足仅有两个视图相同的是②④.答案：②④7．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中满足条件的序号是________．答案：②③8．下图中的三视图表示的几何体是________．解析：根据三视图的生成可知，该几何体为三棱柱．答案：三棱柱三、解答题9．根据三视图(如图所示)想象物体原形，指出其结构特征，并画出物体的实物草图．解：由俯视图知，该几何体的底面是一直角梯形；由正视图知，该几何体是一四棱锥，且有一侧棱与底面垂直．所以该几何体如图所示．10．画出图中3个图形的指定视图．解：如图所示．B级能力提升1．如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物图是()答案：A2．已知正三棱锥VABC的正视图、俯视图如图所示，它的侧棱VA＝2，底面的边AC＝3，则由该三棱锥得到的侧视图的面积为________．解析：正三棱锥VABC的侧视图不是一个等腰三角形，而是一个以一条侧棱、该侧棱所对面的斜高和底面正三角形的一条高构成的三角形，如侧视图所示(其中VF是斜高)，由所给数据知原几何体的高为3，且CF＝3 2.故侧视图的面积为S＝12×32×3＝334.答案：33 43．如图所示的是某两个几何体的三视图，试判断这两个几何体的形状．解：①由俯视图知该几何体为多面体，结合正视图和侧视图知，几何体应为正六棱锥．②由几何体的三视图知该几何体的底面是圆，相交的一部分是一个与底面同圆心的圆，正视图和侧视图是由两个全等的等腰梯形组成的．故该几何体是两个圆台的组合体．第一章空间几何体1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.3 空间几何体的直观图A级基础巩固一、选择题1．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是()A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形解析：由直观图的性质知B正确．答案：B2．利用斜二测画法画边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的()解析：正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.答案：C3．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形，则原来图形的形状是()解析：直观图中正方形的对角线为2，故在平面图形中平行四边形的高为22，只有A项满足条件，故A正确．答案：A4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为() A．2 cm B．3 cm C．2.5 cm D．5 cm解析：因为这两个顶点连线与圆锥底面垂直，现在距离为5 cm，而在直观图中根据平行于z轴的线段长度不变，仍为5 cm.答案：D5．若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图的面积是原三角形面积的()A.24B．2倍 C.22 D.2倍解析：底不变，只研究高的情况即可，此结论应识记．答案：A二、填空题6．如图所示，△A′B′C′是△ABC的水平放置的直观图，A′B′∥y轴，则△ABC是________三角形．解析：由于A′B′∥y轴，所以在原图中AB∥y轴，故△ABC为直角三角形．答案：直角7．已知△ABC的直观图如图所示，则△ABC的面积为________．解析：△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝6，所以S＝12×3×6＝9.答案：98．如图所示，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是_______．解析：在原图中AC＝6，BC＝4×2＝8，∠AOB＝90°，所以AB＝62＋82＝10.答案：10三、解答题9．如图所示，已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰直角三角形ABC，且AB ＝BC＝1，试画出它的原图形．解：(1)在如图所示的图形中画相应的x轴、y轴，使∠xOy＝90°(O与A′重合)；(2)在x轴上取C′，使A′C′＝AC，在y轴上取B′，使A′B′＝2AB；(3)连接B′C′，则△A′B′C′就是原图形．10．画出底面是正方形、侧棱均相等的四棱锥的直观图(棱锥的高不做具体要求)．解：画法：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(135°)，∠xOz＝90°，如图．(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出底面正方形的直观图ABCD.(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是四棱锥的高．(4)成图．顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图．B级能力提升1．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正△A′B′C′，则△ABC 为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能解析：如下图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形．答案：C2.如图，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是________．解析：因为O′B＝1，所以O′A′＝2，所以在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝2 2.所以S△AOB＝12×1×22＝ 2.答案：23．如图是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．解：根据三视图可以想象出这个几何体是六棱台．(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画两底面，由三视图知该几何体为六棱台，用斜二测画法画出底面正六边形ABCDEF，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中的相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x与O′y′画出底面正六边形A′B′C′D′E′F′.(3)成图．连接A′A，B′B，C′C，D′D，E′E，F′F，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.第一章 空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积A 级 基础巩固一、选择题1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( ) A ．4倍 B ．3倍 C.2倍D ．2倍解析：设轴截面正三角形的边长为2a ，所以S 底＝πa 2，S 侧＝πa ·2a ＝2πa 2，因此S 侧＝2S 底． 答案：D2.如图所示，ABC A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34解析：因为V C A ′B ′C ′＝13V 柱＝13，所以V C AA ′B ′B ＝1－13＝23.答案：C3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积为( ) A ．3π B ．33π C ．6πD ．9π解析：由于圆锥的轴截面是等边三角形，所以2r ＝l ， 又S 轴＝12×l 2×sin 60°＝34l 2＝3，所以l ＝2，r ＝1.所以S 圆锥表＝πr 2＋πrl ＝π＋2π＝3π.故选A. 答案：A4.(2015·课标全国Ⅰ卷 )《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛解析：由l ＝14×2πr ＝8得圆锥底面的半径r ＝16π≈163，所以米堆的体积V ＝14×13πr 2h＝14×2569×5＝3209(立方尺)，所以堆放的米有3209÷1.62≈22(斛)． 答案：B5.已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的一三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为( )A ．1∶ 2B ．1∶3C ．2∶ 2D ．3∶6解析：棱锥B ′ ACD ′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的边长为1，则B ′C ＝2，S △B ′AC ＝32.三棱锥的表面积S 锥＝4×32＝23， 又正方体的表面积S 正＝6. 因此S 锥∶S 正＝23∶6＝1∶ 3. 答案：B 二、填空题6．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积为________．解析：由正视图可知，该圆台的上、下底面圆的半径分别为1，2，其高为2， 所以其母线长l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－222＋22＝5， 所以S 侧＝π(1＋2)×5＝35π. 答案：35π7．下图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是________．解析：由图可知几何体是一个圆柱内挖去一个圆锥所得的几何体，V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π×22×3－13π×22×3＝8π.答案：8π8．(2015·福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．解析：由三视图知，该几何体是直四棱柱，底面是直角梯形，且底面梯形的周长为4＋ 2.则S侧＝8＋22，S底＝2×（1＋2）2×1＝3.故S表＝S侧＋S底＝11＋2 2.答案：11＋22三、解答题9．已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为2π和4π的矩形，求这个圆柱的体积．解：设圆柱的底面半径为R，高为h，当圆柱的底面周长为2π时，h＝4π，由2πR＝2π，得R＝1，所以V圆柱＝πR2h＝4π2.当圆柱的底面周长为4π时，h＝2π，由2πR＝4π，得R＝2，所以V圆柱＝πR2h＝4π·2π＝8π2.所以圆柱的体积为4π2或8π2.10．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．解：由三视图知直观图如图所示，则高AA′＝2 cm，底面高B′D′＝23cm，所以底面边长A ′B ′＝23×23＝4(cm)．一个底面的面积为12×23×4＝43(cm 2)．所以表面积S ＝2×43＋4×2×3＝24＋83(cm 2)， V ＝43×2＝83(cm 3)．所以表面积为(24＋83)cm 2，体积为83(cm 3)．B 级 能力提升1.某几何体的三视图如图所示，俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是( )A.203π B.103π C ．6πD.163π 解析：该几何体的上方是以2为底面圆的半径，高为2的圆锥的一半，下方是以2为底面圆的半径，高为1的圆柱的一半，其体积为V ＝π×22×12＋12×13π×22×2＝2π＋43π＝103π. 答案：B2．(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为__________．解析：底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为13π×52×4＋π×22×8＝196π3.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r ，则13π·r 2×4＋π·r 2×8＝28π3r 2＝196π3，解得r＝7.答案：73．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，求该几何体的体积．解：由三视图知，该几何体是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体． V 四棱柱＝23＝8，V 四棱锥＝13×22×2＝83.故几何体的体积V ＝V 四棱柱＋V 四棱锥＝8＋83 ＝323(cm 3)．第一章 空间几何体 1.3 空间几体的表面积与体积 1.3.2 球的体积和表面积A 级 基础巩固一、选择题1．若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的( ) A ．3倍 B ．3 3 倍 C ．9倍D ．9 3 倍解析：由V ′＝27 V ，得R ′＝3R ，R ′R＝3则球的表面积比S ′∶S ＝⎝⎛⎭⎪⎫R ′R 2＝9. 答案：C2．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( ) A ．R B ．2R C ．3R D ．4R 解析：设圆柱的高为h ，则πR 2h ＝3×43πR 3，所以h ＝4R . 答案：D3．如图所示，是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．9π＋42B ．36π＋18 C.92π＋12 D.92π＋18 解析：由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋3×3×2＝92π＋18.答案：D4．设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2解析：设该球的半径为R ， 所以(2R )2＝(2a )2＋a 2＋a 2＝6a 2， 即4R 2＝6a 2.所以球的表面积为S ＝4πR 2＝6πa 2. 答案：B5．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是( )A ．4π＋24B ．4π＋32C ．22πD ．12π解析：由三视图可知，该几何体上部分为半径为1的球，下部分为底边长为2，高为3的正四棱柱，几何体的表面积为4π＋32.答案：B 二、填空题6．将一钢球放入底面半径为3 cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm ，则钢球的半径是________．解析：圆柱形玻璃容器中水面升高4cm ，则钢球的体积为V ＝π×32×4＝36π，即有43πR 3＝36π，所以R ＝3. 答案：3 cm7．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为________．解析：由题意设两球半径分别为R 、r (R ＞r )，则：⎩⎪⎨⎪⎧4πR 2－4πr 2＝48π2πR ＋2πr ＝12π即⎩⎪⎨⎪⎧R 2－r 2＝12R ＋r ＝6.，所以R －r ＝2. 答案：28．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知几何体为组合体，上方是半径为1的球，下方是长方体，其底面是边长为2的正方形，侧棱长为4，故其体积V ＝43×π×13＋2×2×4＝16＋4π3.答案：16＋4π3三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π. 因为圆柱的体积V 圆柱＝πr 2l ＝π×12×3＝3π， 又两个半球的体积2V 半球＝43πr 3＝43π，因此组合体的体积V ＝3π＋43π＝133π.10．如图，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm ，瓶里所装的水深为8 cm ，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm ，求钢球的半径．解：设球的半径为R ，由题意可得43πR 3＝π×32×0.5，解得：R ＝1.5 (cm)， 所以所求球的半径为1.5 cm.B 级 能力提升1．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A.8π3 B.82π3 C ．82π D.32π3解析：截面面积为π，则该小圆的半径为1，设球的半径为R ，则R 2＝12＋12＝2， 所以R ＝2，V ＝43πR 3＝82π3.答案：B2．边长为42的正方形ABCD 的四个顶点在半径为5的球O 的表面上，则四棱锥O ABCD 的体积是________．解析：因为正方形ABCD 外接圆的半径r ＝（42）2＋（42）22＝4.又因为球的半径为5，所以球心O 到平面ABCD 的距离d ＝R 2－r 2＝3， 所以V O ABCD ＝13×(42)3×3＝32.答案：323．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形的圆柱)的表面积分别是S 1，S 2，S 3，试比较它们的大小．解：设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，等边圆柱的底面半径为r ， 则S 1＝6a 2，S 2＝4πR 2，S 3＝6πr 2. 由题意知，43πR 3＝a 3＝πr 2·2r ，所以R ＝334πa ，r ＝312πa ，所以S 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫334πa 2＝4π·3916π2a 2＝336πa 2， S 3＝6π⎝⎛⎭⎪⎪⎫312πa 2＝6π·314π2a 2＝354πa 2， 所以S 2＜S 3.又6a 2＞3312πa 2＝354πa 2，即S 1＞S 3.所以S 1，S 2，S 3的大小关系是S 2＜S 3＜S 1.章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱(母线)延长后必交于一点．2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视虚线的画法．4．求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错．5．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．6．易混侧面积与表面积的概念.专题1空间几何体的三视图与直观图三视图是立体几何中的基本内容，能根据三视图识别其所表示的立体模型，并能根据三视图与直观图所提供的数据解决问题．主要考查形式：(1)由三视图中的部分视图确定其他视图；(2)由三视图还原几何体；(3)三视图中的相关量的计算．其中(3)是本章的难点，也是重点之一，解这类题的关键是准确地将三视图中的数据转化为几何体中的数据．[例1](1)若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为()A．2，23B．22，2C．4，2D．2，4(2)(2016·全国Ⅲ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A．18＋36 5 B．54＋18 5 C．90 D．81解析：(1)由三视图的画法规则知，正视图与俯视图长度一致，正视图与侧视图高度一致，俯视图与侧视图宽度一致．所以侧视图中2为正三棱柱的高，23为底面等边三角形的高，所以底面等边三角形边长为4.(2)由三视图可知，该几何体的底面是边长为3的正方形，高为6，侧棱长为35，则该几何体的表面积S＝2×32＋2×3×35＋2×3×6＝54＋18 5.故选B.答案：(1)D(2)B归纳升华1．第(1)题中易把23误认为是正三棱锥底面等边三角形的边长．注意“长对正、高平齐、宽相等”．2．(1)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确。
人教A版高中同步训练数学必修第二册课后习题 第6章 平面向量及其应用 向量的减法运算 (3)
6.2 平面向量的运算6.2.2 向量的减法运算课后·训练提升 基础巩固1.在平行四边形ABCD 中,下列结论错误的是( ) A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB⃗⃗⃗⃗⃗ =0 答案:C解析:因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故只有C 中结论错误. 2.在△ABC 中,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.a+b B.-a+(-b) C.a-b D.b-a答案:B解析:如图,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-CA⃗⃗⃗⃗⃗ +(-BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-b-a.3.已知O,A,B,C 是4×4方格纸(小正方形的边长为1)上不同的4个格点,O,A 的位置如图所示.若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相反,则满足条件的点B,C 共有( )组.A.9B.10C.11D.12答案:D4.(多选题)下列各式中能化简为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( ) A.(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-CB ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC⃗⃗⃗⃗⃗ ) C.-(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )-(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) D.-BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 答案:ABC解析:选项A 中,(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;选项B 中,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -0=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;选项C 中,-(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )-(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;选项D 中,-BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 5.(多选题)若a,b 为非零向量,则下列结论正确的是( ) A.若|a|+|b|=|a+b|,则a 与b 方向相同 B.若|a|+|b|=|a-b|,则a 与b 方向相反 C.若|a|+|b|=|a-b|,则|a|=|b|D.若||a|-|b||=|a-b|,则a 与b 方向相同答案:ABD解析:对于选项A,若|a|+|b|=|a+b|,则a 与b 方向相同,结论正确;对于选项B,若|a|+|b|=|a-b|,则a 与b 方向相反,结论正确;对于选项C,若|a|+|b|=|a-b|,则a 与b 方向相反,但a 与b 的模不一定相等,结论错误;对于选项D,若||a|-|b||=|a-b|,则a 与b 方向相同,结论正确. 6.如图,在四边形ABCD 中,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则DC⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A.a-b+cB.b-(a+c)C.a+b+cD.b-a+c 答案:A解析:由题意可知,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-b+a+c.故选A. 7.如图,在△ABC 中,若D 是边BC 的中点,E 是边AB 上一点,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED⃗⃗⃗⃗⃗ = .答案:0解析:因为D 是边BC 的中点,所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 8.已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,若|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,且∠AOB=90°,则|a-b|= . 答案:13解析:∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,∠AOB=90°,∴|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2,∴|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=13. ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,∴a-b=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴|a-b|=|BA⃗⃗⃗⃗⃗ |=13. 9.设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,且|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 答案:2解析:以AB,AC 为邻边作平行四边形ACDB(图略),由向量加减法几何意义可知,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CB⃗⃗⃗⃗⃗ |. 又|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,M 是线段BC 的中点, ∴|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2. 10.如图,已知向量a,b,c,求作向量a-b-c.解:方法一:先作a-b,再作a-b-c 即可.如图①所示,以A 为起点分别作向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b.连接CB,得向量CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b,再以C 为起点作向量CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,使CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,连接DB,得向量DB ⃗⃗⃗⃗⃗ .则向量DB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求作的向量a-b-c.方法二:先作-b,-c,再作a+(-b)+(-c),如图②. 作AB⃗⃗⃗⃗⃗ =-b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-c; 作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,连接OC,则OC⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b-c. 11.设O 是△ABC 内一点,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,若以线段OA,OB 为邻边作平行四边形,第四个顶点为D,再以线段OC,OD 为邻边作平行四边形,第四个顶点为H.试用a,b,c 表示DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OH ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BH⃗⃗⃗⃗⃗ . 解:由题意可知四边形OADB 为平行四边形,∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b, ∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c-(a+b)=c-a-b. 又四边形ODHC 为平行四边形, ∴OH ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c+a+b, ∴BH ⃗⃗⃗⃗⃗ =OH ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗ =c+a+b-b=a+c. 能力提升1.平面内有四边形ABCD 和点O,若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 的形状是( )A.梯形B.平行四边形C.矩形D.菱形答案:B解析:因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AB CD,故四边形ABCD 是平行四边形.2.如图,向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则向量BD⃗⃗⃗⃗⃗ 可以表示为( )A.a+b-cB.a-b+cC.b-a+cD.b-a-c答案:C解析:由题意可得BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b-a+c.故选C. 3.已知平面上有三点A,B,C,设m=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若m,n 的长度恰好相等,则有( )A.A,B,C 三点必在同一条直线上B.△ABC 必为等腰三角形,且∠B 为顶角C.△ABC 必为直角三角形,且∠B=90°D.△ABC 必为等腰直角三角形 答案:C解析:∵m=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m 与n 的长度相等, ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |. 以AB,BC 为邻边作平行四边形ABCD(图略), 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,平行四边形ABCD 为矩形,则△ABC 为直角三角形,∠B=90°. 4.(多选题)对于菱形ABCD,下列各式中正确的是( ) A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC⃗⃗⃗⃗⃗ | C.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ | D.|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ | 答案:BCD解析:如图,在菱形ABCD 中,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴B 中式子正确.又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |, |AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴C 中式子正确;|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴D 中式子正确;A 中式子不正确,故选BCD.5.已知|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=b(a>b),|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是[5,15],则a= ,b= . 答案:10 5解析:因为a-b=||OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |-|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||≤|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a+b, 又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是[5,15], 所以{a +b =15,a -b =5,解得{a =10,b =5.6.如图,已知O 为平行四边形ABCD 内一点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .答案:a+c-b解析:由已知得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗ =a+c-b. 7.如图所示,O 是平行四边形ABCD 的对角线AC,BD 的交点,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,求证:b+c-a=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明方法一:因为b+c=DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +a=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以b+c=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +a,即b+c-a=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ .方法二:OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c+DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b+c-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b+c-a.方法三:因为c-a=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -b, 所以b+c-a=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ .8.已知△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,点M 是斜边AB 的中点,CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b.求证:(1)|a-b|=|a|; (2)|a+(a-b)|=|b|.证明因为△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,所以CA=CB.又点M 是斜边AB 的中点,所以CM=AM=BM. (1)因为CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b, 又|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|a-b|=|a|. (2)因为点M 是斜边AB 的中点, 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以a+(a-b)=CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 因为|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|a+(a-b)|=|b|.。
【人教A版】高中数学必修二：课时提升作业(六)1.3.2
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课时提高作业 ( 六)球的体积和表面积(25 分钟60 分)一、选择题 ( 每题 5 分, 共 25 分)1.已知圆锥 SO的底面直径和高相等且都等于球 O的直径 , 那么球的体积 V1与圆锥的体积 V2的关系是 ()A.V1=V2B.V1=V2C.V1=2V2D.V1=3V2【分析】选 C.设球 O 的半径 r,则由题意得圆锥SO 的底面直径和高都是2r,所以 V1 = π×r3 ,V2 = π×r2·2r=π×r3,所以V1=2V2.2.两个球的表面积之差为 48π, 它们的大圆周长之和为 12π, 这两个球的半径之差为()A.2B.3C.2D.1【分析】选 C.设两球的半径分别为R,r(R>r),则 4πR2 -4 πr2 =48 π,2πR+2 πr=12 π,即 R2-r 2 =12,R+r=6. 两式相除得 R-r=2.3.(2015 ·全国卷Ⅰ ) 圆柱被一个平面截去一部分后与半球( 半径为 r) 构成一个几何体 , 该几何体三视图中的正视图和俯视图如下图. 若该几何体的表面积为16+20π, 则 r= ()A.1B.2C.4D.8【分析】选 B. 由正视图和俯视图知 , 该几何体是半球与半个圆柱的组合体, 圆柱的底面半径与球的半径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为× π2+πr ×2r+4 rπr 2+2r×2r=5 πr 2+4r2=16+20π, 解得 r=2.4.(2015 ·临沂高一检测 ) 某几何体的三视图如下图, 则该几何体的表面积等于()A.4 πB.8 πC.12πD.20π【分析】选 D.由三视图可知 , 该几何体为底面半径是2, 高为 2 的圆柱体和半径22为 1 的球体的组合体 , 则该几何体的表面积为 4π×1+2π×2 +4π×2=20π.5.(2015 ·重庆高二检测 ) 三个球的半径之比为1∶2∶3, 那么最大球的表面积是其他两个球的表面积之和的 ()A.1 倍B.2 倍C. 倍D. 倍【分析】选 C.由已知 , 可设最小的球的半径为r, 则另两个球的半径为 2r,3r,所以各球的表面积分别为4πr 2,16 πr 2,36 πr 2. 所以= = (倍).二、填空题 ( 每题 5 分, 共 15 分)6. 若一个球的表面积与其体积在数值上相等, 则此球的半径为.【分析】设此球的半径为R,则 4πR2= πR3,R=3.答案:37.(2015 ·上海高一检测 ) 在底面直径为 6 的圆柱形容器中 , 放入一个半径为2 的冰球 , 当冰球所有熔解后 , 容器中液面的高度为.( 同样质量的冰与水的体积比为 10∶9)【分析】半径为 2 的冰球的体积为π×23=π,水的体积为π,设冰球所有熔解后 ,容器中液面的高度为h, 则π×32 h=π,所以h=.答案 :8. 两个球的半径相差1, 表面积之差为 28π, 则它们的体积和为.【分析】设大、小两球半径分别为R,r,则所以所以体积和为πR3+πr3=.答案 :【拓展延长】计算球的表面积和体积的重点及常有题型计算球的表面积和体积的重点是求球的半径 . 常有题型有 :(1)已知球的半径求其表面积和体积 .(2)已知体积和表面积求其半径 .三、解答题 ( 每题 10 分 , 共 20 分)9. 某组合体的直观图如下图, 它的中间为圆柱形, 左右两头均为半球形, 若图中 r=1, l=3, 试求该组合体的表面积和体积.【分析】该组合体的表面积S=4 πr2+2 πrl=4 π×1 2+2 π×1 ×3=10 π,该组合体的体积V= πr3 + πr2l= π×1 3+ π×12×3=.【赔偿训练】一种空心钢球的质量是 732πg, 外径是 5cm,求它的内径 .( 钢密度9g/cm3)【分析】利用“体积 =”及球的体积公式V 球= πR3 ,设球的内径为r,由已知得球的体积 V==(cm 3 ).由 V= π(5 3-r 3)得= π(53 -r 3 ),解得 r=4cm.10.(2015 ·昆明高一检测 ) 若一个底面边长为, 侧棱长为的正六棱柱的所有极点都在一个球面上 , 求该球的体积和表面积 .【解题指南】明确该六棱柱中最长的体对角线与外接球直径的关系是解答此题的重点 .【分析】在底面正六边形ABCDEF 中,连结 BE,AD 交于 O,连结 BE1 ,则 BE=2OE=2DE,所以 BE=,在 Rt△BEE中 ,BE1==2,所以 2R=2,则 R=,所以球的体积 V 球 = πR3 =4π,球的表面积 S 球 =4 πR2 =12 π.【拓展延长】解答球的组合体问题的重点(1)依据构成形式确立球心地点和球的半径 .(2)利用几何体的构造特色作出重点截面 ,将空间问题转变为平面问题 .(20 分钟40 分)一、选择题 ( 每题 5 分, 共 10 分)1.(2015 ·荆州高一检测 ) 用与球心距离为 1 的平面去截球 , 所得截面面积为π ,则球的体积为()A. B. C.8π D.π【分析】选 D.设球的半径为 R,截面圆的半径为r, 由题意可得截面圆的半径为r=1, 所以球的半径 R==, 球的体积为πR3=π.【赔偿训练】平面α截球 O的球面所得圆的半径为 1, 球心 O到平面α的距离为,则此球的体积为()A.πB.4πC.4πD.6π【分析】选 B. 设球的半径为 R,由球的截面性质得 R== , 所以球的体积 V= πR3=4π.【延长拓展】球体的截面的特色(1)球既是中心对称的几何体 ,又是轴对称的几何体 ,它的任何截面均为圆 ,它的三视图也都是圆 .(2)利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离建立直角三角形是把空间问题转变为平面问题的主要门路.2.一个三棱锥的三条侧棱两两相互垂直且长分别为3,4,5, 则它的外接球的表面积是()A.20 πB.25πC.50πD.200π【解题指南】此三棱锥可视为一个长方体的一个角,所以能够将三棱锥的外接球转变为长方体的外接球.【分析】选 C.由于这个三棱锥的三条侧棱两两相互垂直, 所以此三棱锥可视为一个长方体的一个角 ( 如下图 ), 并且此长方体的外接球就是三棱锥的外接球. 设三棱锥的外接球半径为r, 则有=32+42+52 =50, 即 4r 2=50, 它的外接球的表面积是 S=4πr 2=50π.二、填空题 ( 每题 5 分, 共 10 分)3. 一个几何体的三视图 ( 单位 :cm) 如下图 , 则该几何体的体积是3 cm.【分析】由三视图知 ,几何体是一个由三部分构成的组合体 ,上边是一个半球 ,半球的半径是 1,所以半球的体积是× ×π×13= ,下边是半个圆柱和一个四棱柱 ,圆柱的底面半径是 1,高是 2, 所以半个圆柱的体积是×π×12×2= π,四棱柱的底面是一个边长分别是 1 和 2 的矩形 ,高是 2,所以四棱柱的体积是 1 ×2 ×2=4, 所以空间组合体的体积是+ π+4=+4(cm 3 ).答案 :【误区警告】解答此题易出现依据三视图将此组合体的下边判断为一个圆柱或一个四棱柱的错误 .4.(2015 ·温州高二检测 ) 已知两个正四棱锥有公共底面, 且底面边长为 4, 两棱锥的所有极点都在同一个球面上若这两个正四棱锥的体积之比为1∶2, 则该球的表面积为.【分析】由于两个正四棱锥有公共底面且两个正四棱锥的体积之比为1∶2,所以两个正四棱锥的高的比也为1∶2,设两个棱锥的高分别为x,2x, 球的半径为 R,则 x+2x=3x=2R, 即 R= ,球心到公共底面距离是,又由于底面边长为4,所以 R2==+(2)2,解得 x=2, 所以 R=3,该球的表面积 S=4 πR2 =36 π.答案 : 36π三、解答题 ( 每题 10 分 , 共 20 分)5.(2015 ·青岛高一检测 ) 如图是一个几何体的三视图( 单位 :cm), 试画出它的直观图 , 并计算这个几何体的体积与表面积.【分析】这个几何体的直观图如下图.由于 V 长方体 =10 ×8×15=1200(cm3),又 V 半球 = × πR3= × π×=π(cm 3),所以所求几何体的体积为V=V 长方体 +V 半球 =1200+π(cm3).由于 S 长方体全 =2 ×(10 ×8+8 ×15+10 ×15)=700(cm 2 ),S 半球 = ×4 π×=π,S 半球底 = π×=π,故所求几何体的表面积S 表面积 =S 长方体全 +S 半球 -S 半球底=700+π(cm 2).6.如图( 单位 :cm), 求图中暗影部分绕 AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.【分析】由题意知 ,所求旋转体的表面积由三部分构成:圆台下底面、侧面和一个半球面 .S 半球 =8 πcm 2 ,S 圆台侧 =35 πcm 2 ,S 圆台底 =25 πcm 2.故所求几何体的表面积为68 π(cm 2 ).V 圆台 = ×[π×2 2++ π×52 ]×4=52 π(cm 3),V 半球 = π×23× =π(cm3).所以 ,旋转体的体积为V 圆台 -V 半球 =52 π-π=π(cm 3).封闭 Word文档返回原板块。
人教A版高中同步训练数学必修第二册精品课件 第6章 平面向量及其应用 习题课一 平面向量的综合应用
所以(*)式可化为k-1=(1-k)a·b,
若1-k≠0,则a·b=-1,这与a,b不共线矛盾;
若1-k=0,则k-1=(1-k)a·b恒成立.
综上可知,k=1时符合题意.
规律总结
1.求向量的模的方法
(1)公式法:利用|a|= ·及(a±b)2=|a|2±2a·
建立平面直角坐标系,如图,
则 A( ,
),D( ,
).设 M(x,0),则 N(x+1,0),
则=(x- ,+
=x2-4x+
),=(x- ,-
)(x∈[0,5]),有 ·=(x- )(x- )
2
=(x-2) + .所以,当
; ·=
||=
答案:
-1
.
(2)方法一:如图,由题意及平面向量加法的平行四边形法则可知,
P 为 BC 的中点,在△PCD 中,||= ,cos∠DPB=-cos∠DPC=- ,
∴ ·=||·||cos∠DPB=1× ×(- )=-1.
方法二:以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴,
(2)当给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或
者其他向量的表达形式时,其解题思路是经过向量的运算,利
用三角函数在定义域内的有界性求解.
跟踪训练
4.已知向量 a=(sin θ, ),b=(1,cos θ),|θ|≤ ,则|a-b|的最大值为(
新教材人教A版高中数学必修第二册全册课时练习(一课一练,含解析)
人教A版高中数学必修第二册全册课时练习6.1 平面向量的概念 .............................................................................................................. - 2 - 6.2.1 向量的加法运算........................................................................................................ - 5 - 6.2.2 向量的减法运算........................................................................................................ - 8 - 6.2.3 向量的数乘运算...................................................................................................... - 11 - 6.2.4 向量的数量积............................................................................................................ - 14 - 6.3.1 平面向量基本定理.................................................................................................... - 18 - 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示............................................................................ - 21 - 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示............................................................................ - 21 - 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示.............................................................................. - 24 - 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示.................................................................................. - 27 - 6．4 平面向量的应用........................................................................................................ - 30 -7.1.1 数系的扩充和复数的概念...................................................................................... - 34 - 7.1.2 复数的几何意义...................................................................................................... - 37 - 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义.......................................................................... - 39 -7.2.2 复数的乘、除运算.................................................................................................. - 43 -8.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征................................................................................ - 46 - 8.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征................................................ - 49 - 8.2 立体图形的直观图........................................................................................................ - 51 - 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积...................................................................... - 55 - 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积.............................................................. - 59 - 8.4.1 平面 ......................................................................................................................... - 62 - 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系.................................................................. - 66 - 8.5.1 直线与直线平行...................................................................................................... - 69 - 8.5.2 直线与平面平行...................................................................................................... - 73 - 8.5.3 平面与平面平行...................................................................................................... - 76 - 8.6.1 直线与直线垂直...................................................................................................... - 80 - 8.6.2 直线与平面垂直...................................................................................................... - 85 -8.6.3平面与平面垂直 ....................................................................................................... - 89 -9.1.1简单随机抽样 ........................................................................................................... - 94 - 9.1.2 分层随机抽样 ............................................................................................................. - 96 - 9.1.3 获取数据的途径 ......................................................................................................... - 96 - 9.2.1总体取值规律的估计 ............................................................................................. - 100 - 9.2.2 总体百分位数的估计 ............................................................................................... - 105 - 9.2.3 总体集中趋势的估计 ............................................................................................... - 105 -9.2.4 总体离散程度的估计 ............................................................................................... - 105 -10.1.1有限样本空间与随机事件.................................................................................... - 110 - 10.1.2事件的关系和运算 ............................................................................................... - 112 - 10.1.3古典概型 ............................................................................................................... - 115 - 10.1.4概率的基本性质 ................................................................................................... - 118 - 10.2事件的相互独立性 .................................................................................................. - 121 - 10.3频率与概率 .............................................................................................................. - 126 -6.1 平面向量的概念一、选择题1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量． 【答案】D2．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a|a |.A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a |或－a|a |，故④也是错误的．【答案】D3．如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →【解析】由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同， 故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →； PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →. EP →与PF →的模相等且方向相同，∴EP →＝PF →.【答案】D4．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．等腰梯形【解析】由BA →＝CD →，知AB ＝CD 且AB ∥CD ，即四边形ABCD 为平行四边形．又因为|AB →|＝|AD →|，所以四边形ABCD 为菱形． 【答案】C 二、填空题5．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________.【解析】因为正方形的对角线长为22，所以|OA →|＝ 2. 【答案】 2 6.如图，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是AD 与BC 的中点，则在以A 、B 、C 、D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量为________．【解析】因为AB ∥EF ，CD ∥EF ，所以与EF →平行的向量为DC →，CD →，AB →，BA →，其中方向相反的向量为BA →，CD →. 【答案】BA →，CD →7．给出下列命题：①若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中所有正确命题的序号为________．【解析】AB →＝DC →，A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，故②正确；a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确；对于④，当b ＝0时，a 与c 不一定平行，故④不正确． 【答案】②③ 三、解答题8．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a . (1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么．【解析】(1)根据相等向量的定义，所作向量b 应与a 同向，且长度相等，如下图所示． (2)由平面几何知识可作满足条件的向量c ，所有这样的向量c 的终点的轨迹是以点C 为圆心，2为半径的圆，如下图所示．9．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后又改变了方向向北偏西40°走了200千米到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D 点． (1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.【解析】(1)如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，即AB ∥CD . 又|AB →|＝|CD →|，所以四边形ABCD 为平行四边形． 所以|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．10．如图，在△ABC 中，已知向量AD →＝DB →，DF →＝EC →，求证：AE →＝DF →.证明：由DF →＝EC →，可得DF ＝EC 且DF ∥EC ， 故四边形CEDF 是平行四边形，从而DE ∥FC . ∵AD →＝DB →，∴D 为AB 的中点． ∴AE →＝EC →，∴AE →＝DF →.6.2.1 向量的加法运算一、选择题1．点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →等于( )A.AB →B.BC →C.CD →D.DA →【解析】因为点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →＝AC →＋CB →＝AB →.故选A. 【答案】A2．设a 表示“向东走5 km”，b 表示“向南走5 km”，则a ＋b 表示( ) A ．向东走10 km B ．向南走10 km C ．向东南走10 km D ．向东南走5 2 km 【解析】如图所示，AC →＝a ＋b ，|AB →|＝5，|BC →|＝5，且AB ⊥BC ，则|AC →|＝52，∠BAC ＝45°. 【答案】D3．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．不确定【解析】如果a 和b 方向相同，则它们的和的方向应该与a (或b )的方向相同；如果它们的方向相反，而a 的模大于b 的模，则它们的和的方向与a 的方向相同． 【答案】A4．如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →【解析】设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，则OP 与OQ 之间的对角线对应的向量即向量a ＝OP →＋OQ →，由a 和FO →长度相等，方向相同，得a ＝FO →，即OP →＋OQ →＝FO →. 【答案】C 二、填空题5．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，则a ＋b ＋c ＝________.【解析】由向量加法的三角形法则，得AB →＋BC →＝AC →，即a ＋b ＋c ＝AB →＋BC →＋CA →＝0. 【答案】06．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________.【解析】原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →. 【答案】AC →7．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________. 【解析】在菱形ABCD 中，连接BD ， ∵∠DAB ＝60°，∴△BAD 为等边三角形， 又∵|AB →|＝1，∴|BD →|＝1，|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1. 【答案】1 三、解答题8．如图，已知向量a 、b ，求作向量a ＋b .【解析】(1)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(1)； (2)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(2)； (3)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(3)．9.如图所示，设O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量： (1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →.【解析】(1)由图可知，四边形OABC 为平行四边形，所以由向量加法的平行四边形法则，得OA →＋OC →＝OB →.(2)由图可知，BC →＝FE →＝OD →＝AO →，所以BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →.10．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．【解析】如图，作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°， 则∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体所受的重力，且|OC →|＝300 N. 所以|OA →|＝|OC →|cos 30°＝1503(N)， |OB →|＝|OC →|cos 60°＝150 (N)．所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.6.2.2 向量的减法运算一、选择题1．下列运算中正确的是( ) A.OA →－OB →＝AB → B.AB →－CD →＝DB → C.OA →－OB →＝BA → D.AB →－AB →＝0【解析】根据向量减法的几何意义，知OA →－OB →＝BA →，所以C 正确，A 错误；B 显然错误；对于D ，AB →－AB →应该等于0，而不是0.【答案】C2．下列四式中不能化简为PQ →的是( ) A.AB →＋(PA →＋BQ →) B ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →) C.QC →－QP →＋CQ → D.PA →＋AB →－BQ →【解析】D 中，PA →＋AB →－BQ →＝PB →－BQ →＝PB →＋QB →不能化简为PQ →，其余选项皆可． 【答案】D3．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD →－AC →等于( ) A.CB → B.BC → C.CD → D.DC →【解析】在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC →＝CD →. 【答案】C4．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( ) A ．a －b ＋c B ．b －(a ＋c ) C ．a ＋b ＋c D ．b －a ＋c【解析】DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝a －b ＋c . 【答案】A 二、填空题5.EF →＋DE →－DB →＝________.【解析】EF →＋DE →－DB →＝EF →＋BE →＝BF →. 【答案】BF →6．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________.【解析】若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，所以|a ＋b |＝0，又a ＝－b ，所以|a |＝|－b |＝1，因为a 与－b 共线同向，所以|a －b |＝2. 【答案】0 27．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，且|BC →|＝4，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________.【解析】以AB ，AC 为邻边作平行四边形ACDB ，由向量加减法几何意义可知，AD →＝AB →＋AC →，CB →＝AB →－AC →，∵|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，平行四边形ABCD 为矩形，∴|AD →|＝|CB →|，又|BC →|＝4，M 是线段BC 的中点， ∴|AM →|＝12|AD →|＝12|BC →|＝2.【答案】2 三、解答题8．如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .【解析】方法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .方法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c .9．化简下列各式：(1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →.【解析】(1)方法一 原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →. 方法二 原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋(MB →＋BO →)＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0＝AB →. (2)方法一 原式＝DB →－DC →＝CB →.方法二 原式＝AB →－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →. 10．如图，解答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用d ，c 表示EC →.【解析】由题意知，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e ，则 (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝a ＋d ＋e . (2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e . (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .6.2.3 向量的数乘运算一、选择题1．4(a －b )－3(a ＋b )－b 等于( ) A ．a －2b B ．a C ．a －6b D ．a －8b【解析】原式＝4a －4b －3a －3b －b ＝a －8b .2．点C 在直线AB 上，且AC →＝3AB →，则BC →等于( ) A ．－2AB → B.13AB →C ．－13AB →D ．2AB →【解析】如图，AC →＝3AB →，所以BC →＝2AB →. 【答案】D3．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为( )A ．－1或3 B. 3 C ．－1或4 D ．3或4【解析】因为向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以m ＝－32－m ，解得m ＝－1或m ＝3. 【答案】A 4.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝( ) A ．a ＋34bB.34a ＋14bC.14a ＋14bD.14a ＋34b 【解析】AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b .【答案】D5．已知|a |＝4，|b |＝8，若两向量方向同向，则向量a 与向量b 的关系为b ＝________a . 【解析】由于|a |＝4，b ＝8，则|b |＝2|a |，又两向量同向，故b ＝2a . 【答案】26．点C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，则AC →＝________AB →，BC →＝________AB →.【解析】因为C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，所以AC →与AB →方向相同，BC →与AB →方向相反，且AC AB ＝35，BC AB ＝25，所以AC →＝35AB →，BC →＝－25AB →. 【答案】35 －257．已知向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝5，且a ＝λb ，则实数λ的值是________． 【解析】由a ＝λb ，得|a |＝|λb |＝|λ||b |.∵|a |＝3，|b |＝5， ∴|λ|＝35，即λ＝±35.【答案】±35三、解答题 8．计算(1)13(a ＋2b )＋14(3a －2b )－12(a －b )； (2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ＋2b－23a －b －76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋76a . 【解析】(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋34－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＋12b ＝712a ＋23b . (2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫73a ＋b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. 9．已知E ，F 分别为四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点，设BC →＝a ，DA →＝b ，试用a ，b 表示EF →.【解析】如图所示，取AB 的中点P ，连接EP ，FP .在△ABC 中，EP 是中位线， 所以PE →＝12BC →＝12a .在△ABD 中，FP 是中位线，所以PF →＝12AD →＝－12DA →＝－12b .在△EFP 中，EF →＝EP →＋PF →＝－PE →＋PF →＝－12a －12b ＝－12(a ＋b )．10．已知e ，f 为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足AB →＝e ＋2f ，BC →＝－4e －f ，CD →＝－5e －3f .(1)用e 、f 表示AD →；(2)证明：四边形ABCD 为梯形．【解析】(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e ＋2f )＋(－4e －f )＋(－5e －3f )＝(1－4－5)e ＋(2－1－3)f ＝－8e －2f .(2)证明：因为AD →＝－8e －2f ＝2(－4e －f )＝2BC →， 所以AD →与BC →方向相同，且AD →的长度为BC →的长度的2倍， 即在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ≠BC ， 所以四边形ABCD 是梯形．6.2.4 向量的数量积一、选择题1．若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为45°，则m ·n ＝( ) A ．12 B ．12 2 C ．－12 2 D ．－12【解析】m ·n ＝|m ||n |cos θ＝4×6×cos 45°＝24×22＝12 2. 【答案】B2．已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |＝( ) A ．12 B ．3 C ．6 D ．3 3【解析】a ·b ＝|a ||b |cos 135°＝－122，又|a |＝4，解得|b |＝6. 【答案】C3．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，a ·(b －a )＝－1，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2【解析】因为|a |＝2，a ·(b －a )＝－1， 所以a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝a ·b －22＝－1， 所以a ·b ＝3.又因为|b |＝3，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝32×3＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 【答案】C4．若a ·b ＞0，则a 与b 的夹角θ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，πC.⎝⎛⎦⎥⎤π2，π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 【解析】因为a ·b ＞0，所以cos θ＞0，所以θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.【答案】A 二、填空题5．如图所示，在Rt△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，则AB →·BC →的值是________．【解析】方法一 AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(180°－∠B )＝－|AB →||BC →|cos∠B ＝－|AB →||BC→|·|AB →||BC →|＝－|AB →|2＝－1.方法二 |BA →|＝1，即BA →为单位向量，AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－|BA →||BC →|cos∠B ，而|BC →|·cos∠B ＝|BA →|，所以AB →·BC →＝－|BA →|2＝－1. 【答案】－16．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为________．【解析】设a 与b 的夹角为θ，cos θ＝a ·b |a |·|b |＝21×4＝12，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 【答案】π37．已知|a |＝3，向量a 与b 的夹角为π3，则a 在b 方向上的投影为________．【解析】向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝3×cos π3＝32.【答案】32三、解答题8．已知|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求： (1)a 2－b 2；(2)(2a －b )·(a ＋3b )．【解析】(1)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝32－42＝－7.(2)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2＝2|a |2＋5|a ||b |·cos 120°－3|b |2＝2×32＋5×3×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－3×42＝－60. 9．(1)已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |，|3a ＋b |；(2)已知|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，求|3a ＋b |的值；(3)如图，已知在▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，∠DAB ＝π3，求对角线AC 和BD 的长．【解析】(1)a ·b ＝|a ||b |cos π3＝5×5×12＝252，∴|a ＋b |＝a ＋b 2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝53，|a －b |＝a －b2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝25＝5， |3a ＋b |＝3a ＋b2＝9a 2＋b 2＋6a ·b ＝325＝513.(2)∵|3a －2b |2＝9|a |2－12a ·b ＋4|b |2＝9×25－12a ·b ＋4×25＝325－12a ·b ，又|3a －2b |＝5，∴325－12a ·b ＝25，则a ·b ＝25.∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×25＋6×25＋25＝400.故|3a ＋b |＝20. (3)设AB →＝a ，AD →＝b ，则|a |＝3，|b |＝1，a 与b 的夹角θ＝π3.∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝32.又∵AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ， ∴|AC →|＝AC →2＝a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13，|DB →|＝DB →2＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝7.∴AC ＝13，BD ＝7.10．已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 方向上的投影为－1. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求(a －2b )·b ；(3)当λ为何值时，向量λa ＋b 与向量a －3b 互相垂直？ 【解析】(1)由题意知|a |＝2，|b |＝1. 又a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝－1， ∴cos θ＝－12，∴θ＝2π3.(2)易知a ·b ＝－1，则(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3. (3)∵λa ＋b 与a －3b 互相垂直，∴(λa ＋b )·(a －3b )＝λa 2－3λa ·b ＋b ·a －3b 2 ＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0， ∴λ＝47.6.3.1 平面向量基本定理一、选择题1．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( ) A ．不共线 B ．共线 C ．相等 D ．不确定 【解析】∵a ＋b ＝3e 1－e 2， ∴c ＝2(a ＋b )．∴a ＋b 与c 共线． 【答案】B2．已知AD 是△ABC 的中线，AB →＝a ，AD →＝b ，以a ，b 为基底表示AC →，则AC →＝( ) A.12(a －b ) B ．2b －a C.12(b －a ) D ．2b ＋a【解析】如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从而AD →＝12(AB →＋AC →)，则AC →＝2AD→－AB →＝2b －a . 【答案】B3．在正方形ABCD 中，AC →与CD →的夹角等于( ) A ．45° B．90° C ．120° D．135° 【解析】如图所示，将AC →平移到CE →，则CE →与CD →的夹角即为AC →与CD →的夹角，夹角为135°. 【答案】D4．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( ) A.165 B.125 C.85 D.45【解析】∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.【答案】C 二、填空题5．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为________．【解析】因为a ，b 是一组基底，所以a 与b 不共线， 因为(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.【答案】36．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，若OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，则OC →＝________.【解析】AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，∵2AC →＋CB →＝0，∴2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b . 【答案】2a －b7．在正方形ABCD 中，E 是DC 边上的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________.【解析】BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →＝b －12a .【答案】b －12a三、解答题8．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .【解析】因为a ，b 不共线，所以可设c ＝x a ＋y b ， 则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2) ＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以c ＝a －2b .9．如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC→＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来． 【解析】NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．10．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O ，设BO →＝xBM →＋yBN →，求x ，y 的值． 【解析】(1)由AM →＝34AB →＋14AC →可知M ，B ，C 三点共线，如图，令BM →＝λBC →⇒AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1 4. (2)由BO →＝xBM →＋yBN →⇒BO →＝xBM →＋y 2BA →，BO →＝x 4BC →＋yBN ，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝47，y ＝67.6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示一、选择题1．设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA →＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则2OA →＋OB →的坐标是( ) A ．(1，－2) B ．(7,6) C ．(5,0) D ．(11,8)【解析】因为OA →＝(4,2)，OB →＝(3,4)， 所以2OA →＋OB →＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)． 【答案】D2．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(1,0)，那么向量3b －a 的坐标是( ) A ．(－4,2) B ．(－4，－2) C ．(4,2) D ．(4，－2)【解析】3b －a ＝3(1,0)－(－1,2)＝(4，－2)．【答案】D3．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(5,6) D ．(2,0)【解析】b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)． 【答案】A4．已知向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )；②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的起点是原点O ； ④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )． 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】由平面向量基本定理知①正确；若a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a 的终点坐标是(x ，y )时，a ＝(x ，y )是以a 的起点是原点为前提的，故④错误．【答案】A 二、填空题5．在平面直角坐标系内，已知i 、j 是两个互相垂直的单位向量，若a ＝i －2j ，则向量用坐标表示a ＝________.【解析】由于i ，j 是两个互相垂直的单位向量，所以a ＝(1，－2)． 【答案】(1，－2)6．如右图所示，已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，则向量OA →的坐标为________．【解析】设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|·cos 60°＝43cos 60°＝23，y ＝|OA →|·sin 60°＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，所以OA →＝(23，6)． 【答案】(23，6)7．已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3,2)，则x ＝________.【解析】易得AB →＝(2,0)，由a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1.【答案】－1 三、解答题8．如图，取与x 轴、y 轴同向的两个单位向量i ，j 作为基底，分别用i ，j 表示OA →，OB →，AB →，并求出它们的坐标．【解析】由图形可知，OA →＝6i ＋2j ，OB →＝2i ＋4j ，AB →＝－4i ＋2j ，它们的坐标表示为OA →＝(6,2)，OB →＝(2,4)，AB →＝(－4,2)．9．已知a ＝(2，－4)，b ＝(－1,3)，c ＝(6,5)，p ＝a ＋2b －c . (1)求p 的坐标 ；(2)若以a ，b 为基底，求p 的表达式．【解析】(1)p ＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)． (2)设p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1,3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－μ＝－6，－4λ＋3μ＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－212，μ＝－15，所以p ＝－212a －15b .10．已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a |＝2，|b|＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c .【解析】如图，以O 为原点，OA →为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，由三角函数的定义，得B (cos 150°，sin 150°)，C (3cos 240°，3sin 240°)． 即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332，又∵A (2,0)， 故a ＝(2,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332. 设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332＝λ1(2,0)＋λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12＝⎝⎛⎭⎪⎫2λ1－32λ2，12λ2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ1－32λ2＝－32，12λ2＝－332，∴⎩⎨⎧λ1＝－3，λ2＝－33，∴c ＝－3a －33b .6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示一、选择题1．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8) D ．(－5，－10)【解析】由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)，解得m ＝－4，所以b ＝(－2，－4)，所以2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． 【答案】C2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12 B.13 C ．1 D ．2【解析】a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )，可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12，故选A.【答案】A3．已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，且A ，B ，C 三点共线，则点C 的坐标可以是( ) A ．(－9,1) B ．(9，－1) C ．(9,1) D ．(－9，－1) 【解析】设点C 的坐标是(x ，y )， 因为A ，B ，C 三点共线， 所以AB →∥AC →.因为AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12－(1，－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(x ，y )－(1，－3)＝(x －1，y ＋3)，所以7(y ＋3)－72(x －1)＝0，整理得x －2y ＝7，经检验可知点(9,1)符合要求，故选C. 【答案】C4．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(2m ，m ＋1)，若AB →∥OC →，则实数m 的值为( ) A.35 B ．－35 C ．3 D ．－3【解析】向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)， ∴AB →＝(3,1)，∵OC →＝(2m ，m ＋1)，AB →∥OC →， ∴3m ＋3＝2m ，解得m ＝－3，故选D.【答案】D 二、填空题5．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________．【解析】因为向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，所以2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1. 【答案】16．已知A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下列结论： ①直线OC 与直线BA 平行； ②AB →＋BC →＝CA →； ③OA →＋OC →＝OB →； ④AC →＝OB →－2OA →.其中，正确结论的序号为________．【解析】①因为OC →＝(－2,1)，BA →＝(2，－1)，所以OC →＝－BA →，又直线OC ，BA 不重合，所以直线OC ∥BA ，所以①正确；②因为AB →＋BC →＝AC →≠CA →，所以②错误；③因为OA →＋OC →＝(0,2)＝OB →，所以③正确；④因为AC →＝(－4,0)，OB →－2OA →＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，所以④正确． 【答案】①③④7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，c ＝(3,4)．若a ＋b 与c 共线，则实数λ＝________. 【解析】因为a ＋b ＝(1,2)＋(1，λ)＝(2,2＋λ)，所以根据a ＋b 与c 共线得2×4－3×(2＋λ)＝0，解得λ＝23.【答案】23三、解答题8．已知a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，a 与b 共线且方向相同，求x . 【解析】∵a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，a ∥b . ∴x 2－4＝0，解得x 1＝2，x 2＝－2.当x ＝2时，a ＝(2,1)，b ＝(4,2)，a 与b 共线且方向相同； 当x ＝－2时，a ＝(－2,1)，b ＝(4，－2)，a 与b 共线且方向相反． ∴x ＝2.9．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →.证明：设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，依题意有AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)． ∵AE →＝13AC →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，∵BF →＝13BC →，∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.∵AE →＝(x 1＋1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，∵BF →＝(x 2－3，y 2＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0， ∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又∵4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－83×(－1)＝0，∴EF →∥AB →. 10．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 【解析】(1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，得k ＝－12.(2)因为A ，B ，C 三点共线， 所以AB →＝λBC →，λ∈R ， 即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32.6.3.5 平面向量数量积的坐标表示一、选择题1．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为( )A ．－32 B.32C ．2D ．6【解析】依题意得6－m ＝0，m ＝6，选D. 【答案】D2．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2【解析】a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1. 【答案】C3．已知a ，b 为平面向量，且a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865 C.1665 D ．－1665【解析】∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)．又2a ＋b ＝(3,18)， ∴b ＝(－5,12)，∴a ·b ＝－20＋36＝16. 又|a |＝5，|b |＝13， ∴cos〈a ，b 〉＝165×13＝1665.【答案】C4．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3,1)，c ＝(k,4)，且(a －b )⊥c ，则k ＝( ) A ．－6 B ．－1 C ．1 D ．6【解析】∵a ＝(－1,2)，b ＝(3,1)，∴a －b ＝(－4,1)，∵(a －b )⊥c ，∴－4k ＋4＝0，解得k ＝1. 【答案】C 二、填空题5．a ＝(－4,3)，b ＝(1,2)，则2|a |2－3a ·b ＝________. 【解析】因为a ＝(－4,3)，所以2|a |2＝2×(－42＋32)2＝50.a ·b ＝－4×1＋3×2＝2.所以2|a |2－3a ·b ＝50－3×2＝44. 【答案】446．设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________.。
数学新教材同步提分教程人教A第二册测试：第六章 平面向量及其应用 6.3 6.3.5
A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知|a |＝1，b ＝(0,2)，且a ·b ＝1，则向量a 与b 夹角的大小为( ) A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．π2答案 C解析 ∵|a |＝1，b ＝(0,2)，且a ·b ＝1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝11×0＋22＝12.∴向量a 与b 夹角的大小为π3.故选C ．2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8 D ．8 2 答案 D解析 易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2,4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c |＝82＋(－8)2＝8 2.3．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b ＝( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334 D ．(1,0) 答案 B解析 设b ＝(x ，y )，其中y ≠0，则a ·b ＝3x ＋y ＝ 3.由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＝3，y ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，即b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.故选B ．4．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形答案 A解析 根据已知，有AB →＝(8，－4)，AC →＝(2,4)，BC →＝(－6，8)，因为AB →·AC →＝8×2＋(－4)×4＝0，所以AB →⊥AC →，即∠BAC ＝90°.故△ABC 为直角三角形．5．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3(－2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点(除点A 外)，则(OB →＋OC →)·OA→＝( )A ．－32B ．－16C ．16D ．32答案 D解析 由函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3＝0可得πx 6＋π3＝k π，k ∈Z ，即x ＝6k －2，k ∈Z .因为－2<x <10，所以x ＝4，即A (4,0)．设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．由题意知B ，C 两点关于点A 对称，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝0.又OA →＝(4,0)，OB →＝(x 1，y 1)，OC →＝(x 2，y 2)，所以(OB →＋OC →)·OA →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)·(4,0)＝4(x 1＋x 2)＝32.二、填空题6．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为________．答案2π3解析 设c ＝(x ，y )，∵a ＋b ＝(－1，－2)， 且|a |＝5，|c |＝5，(a ＋b )·c ＝52， ∴(－1，－2)·(x ，y )＝52.∴－x －2y ＝52， ∴x ＋2y ＝－52. 设a 与c 的夹角为θ， ∴cos θ＝a ·c |a ||c |＝x ＋2y 5·5＝－12.∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.7．已知|a |＝3，|b |＝4，且(a ＋2b )·(2a －b )≥4，则a 与b 夹角θ的范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3解析 ∵(a ＋2b )·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＋4a ·b －2b 2＝2×9＋3|a ||b |cos 〈a ，b 〉－2×16＝－14＋3×3×4cos 〈a ，b 〉≥4，∴cos 〈a ，b 〉≥12，又θ＝〈a ，b 〉∈[0，π]，∴θ＝〈a ，b 〉∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.8．已知a ＝(1,3)，b ＝(2＋λ，1)，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．答案 λ>－5且λ≠－53解析 因a 与b 的夹角为锐角，则cos 〈a ，b 〉>0，且cos 〈a ，b 〉≠1，即a ·b ＝2＋λ＋3>0，且b ≠k a ，则λ>－5且λ≠－53.三、解答题9．设平面向量a ＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，且a 与b 不共线．(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)若两个向量3a ＋b 与a －3b 的模相等，求角α.解 (1)证明：由题意，知a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α－12，sin α＋32，a －b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α＋12，sin α－32，∵(a ＋b )·(a －b )＝cos 2α－14＋sin 2α－34＝0， ∴(a ＋b )⊥(a －b )． (2)|a |＝1，|b |＝1，由题意知(3a ＋b )2＝(a －3b )2， 化简得a ·b ＝0，∴－12cos α＋32sin α＝0， ∴tan α＝33.又0≤α<2π，∴α＝π6或α＝7π6.B 级：“四能”提升训练1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF→的值是________．答案 2解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，设F (x,2)，则AE →＝(2，1)，AF →＝(x,2)，AB →＝(2，0)．所以AB →·AF →＝2x ＝2， 所以x ＝1，所以F (1,2)．所以BF →＝(1,2)－(2，0)＝(1－2，2)．所以AE →·BF →＝ 2. 2．已知OA→＝(4,0)，OB →＝(2,23)，OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →(λ2≠λ)． (1)求OA →·OB→及OA →在OB →上的投影； (2)证明：A ，B ，C 三点共线，并在AB →＝BC →时，求λ的值； (3)求|OC→|的最小值． 解 (1)OA →·OB →＝8，设OA →与OB →的夹角为θ，则cos θ＝OA →·OB →|OA→||OB →|＝84×4＝12，所以OA →在OB →上的投影为|OA →|cos θ＝4×12＝2. (2)证明：AB→＝OB →－OA →＝(－2,23)，BC→＝OC →－OB →＝(1－λ)OA →－(1－λ)OB →＝(λ－1)AB →， 因为AB→与BC →有公共点B ， 所以A ，B ，C 三点共线． 当AB→＝BC →时，λ－1＝1，所以λ＝2. (3)|OC →|2＝(1－λ)2OA →2＋2λ(1－λ)OA →·OB →＋λ2OB →2 ＝16λ2－16λ＋16＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋12.所以当λ＝12时，|OC→|取到最小值2 3.由Ruize收集整理。
数学新教材同步提分教程人教A第二册测试：第六章 平面向量及其应用 6.4 6.4.3 第1课时
A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( ) A ．2 5 B ． 5 C ．25或 5 D ．以上都不对答案 C解析 ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴5＝15＋c 2－215×c ×32.化简，得c 2－35c ＋10＝0，即(c －25)(c －5)＝0，∴c ＝25或c ＝ 5.2．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形答案 B解析 ∵sin 2A2＝1－cos A 2＝c －b 2c ，∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc ⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理．故△ABC 为直角三角形．3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，则角C 为( )A ．π4B ．3π4C ．π3D ．2π3答案 B解析 ∵a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，∴a 2＋b 2－c 2＝－2ab ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝－2ab 2ab ＝－22，∵C ∈(0，π)，∴C ＝3π4.4．钝角三角形的三边分别为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围为( )A ．32<a <3 B ．32≤a <3 C ．32≤a ≤3D ．32<a ≤3答案 B解析 设钝角三角形的最大角为α，则依题意90°<α≤120°，于是由余弦定理得cos α＝a 2＋(a ＋1)2－(a ＋2)22a (a ＋1)＝a －32a ，所以－12≤a －32a <0，解得32≤a <3.5．已知△ABC 的三边长分别是x 2＋x ＋1，x 2－1和2x ＋1(x >1)，则△ABC 的最大角为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．75°答案 B解析 令x ＝2，得x 2＋x ＋1＝7，x 2－1＝3,2x ＋1＝5， ∴最大边x 2＋x ＋1应对最大角，设最大角为α， ∴cos α＝(x 2－1)2＋(2x ＋1)2－(x 2＋x ＋1)22(x 2－1)(2x ＋1)＝－12， ∴最大角为120°. 二、填空题6．若|AB →|＝2，|AC →|＝3，AB →·AC →＝－3，则△ABC 的周长为________．答案 5＋19解析 由AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A 及条件，可得cos A ＝－12，∴A ＝120°，再由余弦定理求得BC 2＝19，∴周长为5＋19.7．三角形三边长分别为a ，b, a 2＋ab ＋b 2(a >0，b >0)，则最大角为________．答案 120° 解析 易知a 2＋ab ＋b 2>a,a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－()a 2＋ab ＋b 222ab ＝－12，∴θ＝120°.8．如图，在△ABC 中，点D 在AC 上，AB ⊥BD ，BC ＝33，BD ＝5，sin ∠ABC ＝235，则CD 的长度等于________．答案 4 解析 由题意知sin ∠ABC ＝235＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠CBD ＝cos ∠CBD ，由余弦定理可得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos ∠CBD ＝27＋25－2×33×5×235＝16.∴CD ＝4.三、解答题9．△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213. (1)求AB →·AC→； (2)若c －b ＝1，求a 的值．解 (1)在△ABC 中，∵cos A ＝1213，∴sin A ＝513. 又S △ABC ＝12bc sin A ＝30， ∴bc ＝12×13.∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＝bc cos A ＝144. (2)由(1)知bc ＝12×13，又c －b ＝1， ∴b ＝12，c ＝13.在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝122＋132－2×12×13×1213＝25， ∴a ＝5.B 级：“四能”提升训练1．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度确定答案 A解析 设直角三角形的三边长为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0，所以c ＋x 所对的最大角变为锐角．2．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断三角形的形状． 解 由余弦定理，知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ， 代入已知条件，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＋c ·c 2－a 2－b 22ab ＝0，通分，得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0， 展开整理，得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理，知△ABC 是直角三角形．由Ruize收集整理。
数学新教材同步提分教程人教A第二册测试：第六章 平面向量及其应用 6.3 6.3.2 6.3.3
A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知向量a ＝(1,2)，a ＋b ＝(3,2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(5,6) D ．(2,0) 答案 D解析 b ＝(3,2)－a ＝(3,2)－(1,2)＝(2,0)．2．已知点M 的坐标为(4，－1)，且AB →＝(4，－1)，下列各项中正确的是( ) A ．点M 与点A 重合 B ．点M 与点B 重合 C ．点M 在AB →上D.OM →＝AB →(O 为坐标原点) 答案 D解析 由于M (4，－1)，所以OM →＝(4，－1)＝AB →.3．设点A (1,2)，B (3,5)，将向量AB →按向量a ＝(－1，－1)平移后得到的A ′B ′→为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,7) 答案 B解析 ∵A (1,2)，B (3,5)，∴AB →＝(2,3)．由题意知AB →与A ′B ′→方向相同，大小也相等，只是位置不同，于是A ′B ′→＝AB →＝(2,3)．4．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)答案 B解析 ∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．故选B.5．设向量a ＝(m ，n )，b ＝(s ，t )，定义两个向量a ，b 之间的运算“⊗”为a ⊗b ＝(ms ，nt )．若向量p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－3，－4)，则向量q ＝( )A ．(－3,2)B ．(3，－2)C ．(－2，－3)D ．(－3，－2)答案 D解析 设向量q ＝(x ，y )，根据题意可得x ＝－3,2y ＝－4，解得x ＝－3，y ＝－2，即向量q ＝(－3，－2)，故选D.二、填空题6．设AB →＝(－2，－5)，B 点坐标为(－1,3)，则A 点坐标为________． 答案 (1,8)解析 设A (x ，y )，则⎩⎨⎧－1－x ＝－2，3－y ＝－5，解得x ＝1，y ＝8，即A (1,8)．7．已知a ＋b ＝(2，－8)，a －b ＝(－8,16)，则向量a ＝________，向量b ＝________.答案 (－3,4) (5，－12) 解析 设a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，则有⎩⎨⎧m ＋p ＝2，n ＋q ＝－8，m －p ＝－8，n －q ＝16，解得⎩⎨⎧m ＝－3，n ＝4，p ＝5，q ＝－12.所以a ＝(－3,4)，b ＝(5，－12)．8．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．答案 (2－sin2,1－cos2)解析 如图，设滚动后圆心位于点C ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为A ，过点P 作PB ⊥BC ，其中BC ∥x 轴．易知劣弧P A ＝2，即圆心角∠PCA ＝2 rad ，则∠PCB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2 rad ，所以PB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos2，CB ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin2，所以点P 的坐标为(2－sin2，1－cos2)，因此，OP →的坐标为(2－sin2,1－cos2)．三、解答题9．已知平面上三个点的坐标分别为A (－2,1)，B (－1,3)，C (3,4)，求点D 的坐标，使得A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形．解 由四边形ABCD 为平行四边形，得AB →＝DC →，可解得D (2,2)． 由四边形ABDC 为平行四边形，得AB →＝CD →，可解得D (4,6)． 由四边形ADBC 为平行四边形，得AD →＝CB →，可解得D (－6,0)．因此，使A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形的点D 的坐标是(2,2)或(4,6)或(－6,0)．B 级：“四能”提升训练1．对于任意的两个向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定运算“⊗”为m ⊗n ＝(ac －bd ，bc ＋ad )，运算“⊕”为m ⊕n ＝(a ＋c ，b ＋d )．设m ＝(p ，q )，若(1,2)⊗m ＝(5,0)．则(1,2)⊕m ＝________.答案 (2,0)解析 由(1,2)⊗m ＝(5,0)，可得⎩⎨⎧ p －2q ＝5，2p ＋q ＝0，解得⎩⎨⎧p ＝1，q ＝－2，∴(1,2)⊕m ＝(1,2)⊕(1，－2)＝(2,0)．2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形．(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标．解 (1)作AM ⊥x 轴于点M ，则OM ＝OA cos45°＝4×22＝22， AM ＝OA sin45°＝4×22＝2 2. ∴A (22，22)，故a ＝(22，22)． ∵∠AOC ＝180°－105°＝75°， ∠AOy ＝45°，∴∠COy ＝30°. 又OC ＝AB ＝3，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，∴AB →＝OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，即b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332. (2)BA →＝－AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－332. (3)OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332 ＝⎝⎛⎭⎪⎫22－32，22＋332， 故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22－32，22＋332.由Ruize收集整理。
人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第6章 平面向量及其应用 第6章 综合训练
sin
sin
B=
=
4 2sin60°
2
= 2 .因为
4 3
所以 A>B,而 A=60°,所以 B=45°.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
BC>AC,
3.[2023 山东滨州期末]如图,F 为平行四边形 ABCD 对角线 BD 上一点,AC,BD
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
6.设 D 为△ABC 所在平面内一点, =2 ,则( B )
1
A. =-
3
C. =
3
2
4
+
3
1
+
2
1
B. =-
2
D. =
3
+
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
2.在△ABC中,若A=60°,BC=4 3 ,AC=4 2 ,则角B的大小为( B )
A.30°
B.45°
C.135°
解析
D.45°或135°
由正弦定理,得sin
=
,则
sin
1
=0,=λ,若
2
·=29,则 λ=( D )
1
A.8
1
B.7
1
C.6
1
D.5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
人教A版数学必修第二册第六章《6.2 平面向量的运算》随堂练习
人教A 版数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》同步讲义第02讲 平面向量的加、减法运算题组A 基础过关练1．向量化简后等于（ ）A ．B ．C ．D ．2. 如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ．3. .设为中边上的中点，且为边上靠近点的三等分点，则（）A. B. C. D. 4. 设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则( )．A ．B．C ．D ．5. 已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足，则G 点是三角形ABC 的（ ）A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心6. 如图，D ，E ，F 分别为的边AB ，BC ，CA 的中点，则（）A ．B ．分层提分AB CB BD BE DC ++++A EAC AD ABAB a =AC b = CD c = BD a b c ++ a b c-+ b a c-+b a c-- D ∆ABC BC O AD A 5166BO AB AC =-+1162BO AB AC=- 5166BO AB AC =- 1162BO AB AC=-+ EB FC +=AD 12AD BC 12BC0GA GB GC ++=ABC V 0AD BE CF ++= 0++= BD CF DFC ．D ．7. 在 中，点 满足 ，则（ ）A ．点 不在直线 上B ．点 在 的延长线上C ．点 在线段 上D ．点 在 的延长线上8. 五角星是指有五只尖角､并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗.如图在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．9. 已知A ，B ，C 为三个不共线的点，P 为△ABC 所在平面内一点，若，则下列结论正确的是（）A ．点P 在△ABC 内部B ．点P 在△ABC 外部C ．点P 在直线AB 上D ．点P 在直线AC 上10. 平面上有三点A ，B ，C ，设， ，若的长度恰好相等，则有（ ）A ．A ，B ，C 三点必在同一条直线上B ．ABC 必为等腰三角形，且∠B 为顶角C ．ABC 必为直角三角形，且∠B=90°D ．ABC 必为等腰直角三角形11. 在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（ ）A．B ．C ．D ．12. 若是平面上的定点，，，是平面上不共线的三点，且满足（），则点的轨迹一定过的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心0++= AD CE CF 0++= BD BE FC ABC V P 2AP AB AC =-P BC P CB P BC P BC 0CH ID += AB FE ∥2AF FG HG+= AF AB AJ=+ PA PB PC AB +=+m AB BC =+ n AB BC =-,m n V V V ABCD M BC N AB A AB a = AD b =NM =1132a b+2132a b+1132a b-2132a b- O A B C ()OP OC CB CA λ=++ R λ∈P ABC13. 下列命题中正确的是（ ）A ．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与，之一的方向相同B ．在中，必有C ．若，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点D ．若，均为非零向量，则与一定相等14. 如右图，，，分别是的边，，的中点，则（ ）A ．B ．C ．D ．15. 如图，在中，，，则（）A．B ．C ．D ．题组B 能力提升练1. 在等腰梯形中，，，为的中点，则（ ）A ．B ．C ．D ．a b a b + a bABC V 0AB BC CA ++=0AB BC CA ++=a b||a b + ||||a b + D E P ABC V AB BC CA 0AD BE CF ++= 0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r r 0AD CE CF +-=u u u r u u r u u u r r 0BD BE FC --= ABC V 3BC BD →→=23AE AD →→=CE →=4599AB AC→→+4799AB AC→→-4133AB AC→→-4799AB AC→→-+ABCD //AB DC 2AB DC =E BC 3142AE AB AD →→→=+3122AE AB AD →→→=+1142AE AB AD→→→=+3144AE AB AD→→→=+2. 已知是三角形内部的一点，，则的面积与的面积之比是（ ）A．B ．C ．2D ．13. 已知平面向量，，满足，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．4. 在平行四边形ABCD 中，设，，E 为AD 的靠近D 的三等分点，CE 与BD 交于F ，则（）A ．B ．C ．D ．5. 在中，、、分别是边、、的中点，、、交于点，则：①；②；③；④．上述结论中，正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②③④D ．①③④6. 八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ABCDEFGH ，其中，则给出下列结论：①；②；③．其中正确的结论为（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③7. 中，，点M 在BD 上，且满足，则实数t 的值为（ ）O ABC 230OA OB OC ++=OAC V OAB V 3223a b c222a c a b b c ==-=-= b []1,3⎡⎣[]2,3⎡⎣CB a = CD b = AF =3144a b--3144a b-+1344a b--1344a b-ABC V D E F BC CA AB AD BE CF G 1122EF CA BC =-1122BE AB BC =-+AD BE FC += 0GA GB GC ++= 1OA =0BF HF HD -+= OA OC += AE FC GE AB +-= ABC V AD DC =37AM AB t AC =+A．B ．C ．D ．8.（多选题）下列各式结果为零向量的有（ ）A ．B ．C ．D ．9.（多选题）在平行四边形中，点，分别是边和的中点，是与的交点，则有（）A ．B ．C ．D ．10.（多选题）设是内部（不含边界）的一点，以下可能成立的是（）A ．B ．C ．D ．11.（多选题）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的有（ ）A ．若，则点是边的中点B ．若，则点是的重心C ．若，则点在边的延长线上D ．若，且，则是面积的一半12. 对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（）A ．B ．C ．D ．13. ．四边形中，若，则四边形的形状为_____.14. 如图所示，O 是线段外一点，若中，相邻两点间的距离相等，_______（用表示）15. 若非零向量和满足,则的取值范围是________,的取值范围是________.67472759AB CA BC→→→++AB AC BD CD+++ OA OD AD -+ NQ QP MN MP++- ABCD E F BC DC P DE BF 12AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r 1122AF AB AD =+2233AP AB AD=+ 1122CP CD CB=+ P OAB V 2155OP OA OB=+2455OP OA OB=+2155OP OA AB =+ 2455OP OA AB =+ D ABC V ()12AD AB AC =+D BC ()13AD AB AC =+ D ABC V 2AD AB AC =-D BC AD xAB y AC =+ 12x y +=BCD △ABC V AB BC= AB BC =AB CD AD BC-=+ AD CD CD CB+=- ABCD BD BC BA =+ABCD 02021A A 0122021,,,A A A A 0202101,,OA a OA b OA OA ==+++ 2021OA = ,a ba b2a b b +== a r a b -r r16. 中，点、、分别在边、、上，且，，，若，则________.C 培优拔尖练1. ．化简：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.2. 化简下列各式：（1）；（2）；（3）.3. 如图，已知=，=，=，=，=，试用表示以下向量：ABC ∆D E F AB BC CA 3AD DB = 3BE EC = 3CF FA =2BC = AE BF CD ++=BC AB DB CD BC AB DF CDBC FA AB BC DC AD -+- OA OD AD -+AB AD DC --OAa OBb OCc ODd OFf ,,,,a b c d f（1）；（2）；（3）−；（4）＋；（5）−．4.如图，小船要从处沿垂直河岸的方向到达对岸处，此时水流的速度为6km /h ，测得小船正以8km /h 的速度沿垂直水流的方向向前行驶，求小船在静水中速度的大小及方向.5. 已知是等腰直角三角形，，是斜边的中点，，．求证：（1）；（2）.6. 若是所在平面内一点，且满足，试判断的形状.7.如图,在△ABC 中,E 为边AC 的中点,试问在边AC 上是否存在一点D ,使得?若存在,说明点D 的位置;若不存在,请说明理由.ACAD AD AB ABCFBF BDA ACB ABC ∆90ACB ∠= M AB CM a = CA b =a b a -= ()a ab b +-=O ABC ∆OB OC OB OA OC OA -=-+- ABC ∆1233BD BC BE =+答案解析题组A 基础过关练1．向量化简后等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】根据向量的线性运算求解即可.【详解】由,故选：A2. 如图，向量，，，则向量可以表示为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】利用向量加法和减法的三角形法则计算即可.【详解】故选：C.3. .设为中边上的中点，且为边上靠近点的三等分点，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】本题考点是平面向量的加减法运算法则，由题意可知在三角形BAO 中：AB CB BD BE DC ++++A EAC AD ABAB CB BD BE DC AC CB BE AE →→++++=++= AB a =AC b = CD c = BD a b c ++ a b c-+ b a c-+b a c-- AD AB AC CD AB BD b a c=-=-+-=+ D ∆ABC BC O AD A 5166BO AB AC =-+1162BO AB AC=- 5166BO AB AC =- 1162BO AB AC=-+，故选A.4. 设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则( )．A ．B．C ．D ．【答案】A【解析】本题的考点是平面向量的加法、减法法则，线段中点的性质，考查转化能力，用向量法表示三角形中线的性质要引起重视，由题意可知D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中点，所以有以下结论：，故选A.5. 已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足，则G 点是三角形ABC 的（ ）A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心【答案】D 【分析】由题易得，以GA 、GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD ，交AB 于点O ，进而可得，进而可得，所以CG 所在的直线CO 是AB 边上的中线，同理可证AG 所在的直线是BC 边上的中线，BG 所在的直线是AC 边上的中线，最后得出答案即可.【详解】因为，所以，以GA ､GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD ，交AB 于点O ，如图所示：则，所以，点O 是AB 边的中点，所以CG 所在的直线CO 是AB 边上的中线，同理可证AG 所在的直线是BC 边上的中线，BG 所在的直线是AC 边上的中线，所以G 点是三角形ABC 的重心.故选：D .6. 如图，D ，E ，F 分别为的边AB ，BC ，CA 的中点，则（）()11513666BO AO AB AD AB AB AC AB AB AC =-=-=+-=-+EB FC +=AD 12AD BC 12BC()()1122EB FC BA BC CA CB +=-+-+ ()()1112222BA CA AB AC AD AD =-+=+=⨯=0GA GB GC ++=GA GB CG +=CG GD =13GO CO = 0GA GB GC ++= GA GB GC CG +=-= CG GD =13GO CO = ABC VA ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算法则计算可得；【详解】解：，，分别是的边，，的中点，，，，则，故A 正确；，故B 错误；，故C 错误；，故D 错误；故选：A ．7. 在 中，点 满足 ，则（ ）A ．点 不在直线 上B ．点 在 的延长线上C ．点 在线段 上D ．点 在 的延长线上【答案】B 【分析】由已知条件可得，从而可得与共线，进而可得结论【详解】因为，得，所以，所以三点共线，且点 在 的延长线上，故选：B8. 五角星是指有五只尖角､并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和AD BE CF ++= 0++= BD CF DF 0++= AD CE CF 0++= BD BE FC D Q E F ABC V AB BC CA ∴12AD AB = 12BE BC = 12CF CA =1111()02222AD BE CF CA AB CA CA AB CA ++=++=++=()1111122222BD CF DF BA CA BA CA BA BC BC ++=++=++=()1111122222AD CE CF AB CB CA CA AB CB CB ++=++=++=()1111122222BD BE FC BA BC AC BA AC BC BC ++=++=++=ABC V P 2AP AB AC =-P BC P CB P BC P BC BP CB = BP CB2AP AB AC =- AP AB AB AC =-- BP CB = ,,B P C P CB国国旗.如图在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】利用相反向量可判断A ；利用向量共线可判断B ，利用向量的加法可判断C 、D.【详解】A ，由图可知与相交，所以与不是相反向量，故A 错误；B ，与共线，所以与不共线，所以与不共线，故B 错误；C ，，故C 错误；D ，连接，由五角星的性质可得为平行四边形，根据平行四边形法则可得，故D 正确.故选：D9. 已知A ，B ，C 为三个不共线的点，P 为△ABC 所在平面内一点，若，则下列结论正确的是（）A ．点P 在△ABC 内部B ．点P 在△ABC 外部C ．点P 在直线AB 上D ．点P 在直线AC 上【答案】D 【分析】由向量的运算可得，进而可得解.【详解】∵，∴，0CH ID += AB FE ∥2AF FG HG += AF AB AJ=+ CH ID CH IDAB DE DE FE AB FE2AF FG AG HG +=≠,BF JF ABJF AF AB AJ =+PA PB PC AB +=+CA AP =PA PB PC AB +=+ PB PC AB PA -=-∴，即.故点P 在边AC 所在的直线上.故选：D.10. 平面上有三点A ，B ，C ，设， ，若的长度恰好相等，则有（ ）A ．A ，B ，C 三点必在同一条直线上B ．ABC 必为等腰三角形，且∠B 为顶角C ．ABC 必为直角三角形，且∠B=90°D ．ABC 必为等腰直角三角形【答案】C 【分析】根据的长度相等，由||=||得到ABCD 是矩形判断.【详解】如图：因为的长度相等，所以||=||，即||=||，所以ABCD 是矩形，故ABC 是直角三角形，且∠B=90°.故选：C11. 在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（ ）A．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据题意作出图形，将用、的表达式加以表示，再利用平面向量的减法法则可得出结果.CB AB AP CB AB AP =+-= ，CA AP = m AB BC =+ n AB BC =-,m n V V V ,m n AC BD,m nAB BC + AB BC - AC BD V ABCD M BC N AB A AB a = AD b =NM =1132a b+ 2132a b+1132a b-2132a b-AM a b【详解】解：由题意作出图形：在平行四边形中，M 为BC 的中点，则又N 为线段AB 上靠近A 的三等分点，则故选：B12. 若是平面上的定点，，，是平面上不共线的三点，且满足（），则点的轨迹一定过的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】C 【分析】由（），得到，再根据经过在的重心判断.【详解】因为（），所以，所以在的边AB 上的中线所在直线上，则在的中线所在直线上，所以点的轨迹一定过的重心，故选：C13. 下列命题中正确的是（ ）A ．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与，之一的方向相同B ．在中，必有C ．若，则A ，B ，C为一个三角形的三个顶点ABCD 12AM AB BM a b=+=+1133AN AB a==11212332NM AM AN a b a a b∴=-=+-=+ O A B C ()OP OC CB CA λ=++R λ∈P ABC ()OP OC CB CA λ=++ R λ∈()CP CB CA λ=+ CB CA + ABC V ()OP OC CB CA λ=++R λ∈()CP CB CA λ=+ CB CA +ABC V ()CB CA λ+ABC V P ABC a b a b + a bABC V 0AB BC CA ++=0AB BC CA ++=D ．若，均为非零向量，则与一定相等【答案】B 【分析】根据向量的线性运算法则，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A ：当与为相反向量时，，方向任意，故A 错误；对于B ：在中，，故B 正确；对于C ：当A 、B 、C 三点共线时，满足，但不能构成三角形，故C 错误；对于D ：若，均为非零向量，则，当且仅当与同向时等号成立，故D 错误.故选：B14. 如右图，，，分别是的边，，的中点，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】根据向量加法和减法的运算法则结合图像逐一运算即可得出答案.【详解】解：，故A 正确；，故B 错误；，故C 错误；，故D 错误.故选：A.15. 如图，在中，，，则（）a b||a b + ||||a b + a b 0a b +=ABC V 0AB BC CA ++=0AB BC CA ++=a b a b a b +≤+ a bD E P ABC V AB BC CA 0AD BE CF ++= 0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r r 0AD CE CF +-=u u u r u u r u u u r r 0BD BE FC --= 0AD BE CF DB BE ED DE ED ++=++=+=BD CF DF BD FC DF BC -+=++=AD CE CF AD FE AD DB AB +-=+=+=2BD BE FC ED FC ED DE ED --=-=-=ABC V 3BC BD →→=23AE AD →→=CE →=A．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】利用向量定义，，最后化简为来表示向量即可.【详解】故选：B题组B 能力提升练1. 在等腰梯形中，，，为的中点，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】作出示意图，利用数形结合，在梯形中，利用三角形法则即可求解.【详解】如图所示：在三角形中，4599AB AC→→+4799AB AC→→-4133AB AC→→-4799AB AC→→-+22()33CE AE AC AD AC AB BD AC →→→→→→→→=-=-=+-,AB AC →→22()33CE AE AC AD AC AB BD AC →→→→→→→→=-=-=+-2122()()3339AB BC AC AB AC AB AC →→→→→→→=+-=+--4799AB AC →→=-ABCD //AB DC 2AB DC =E BC 3142AE AB AD →→→=+3122AE AB AD →→→=+1142AE AB AD →→→=+3144AE AB AD →→→=+ABCD ABE 12AE AB BE AB BC→→→→→=+=+.故选：A.2. 已知是三角形内部的一点，，则的面积与的面积之比是（ ）A．B ．C ．2D ．1【答案】B 【分析】取、分别是、中点，根据向量的加法运算以及向量共线可得，再由三角形的相似比即可求解.【详解】如下图所示，、分别是、中点，由得即，所以，由，，设，，则，，由三角形相似比可得，解得，因为，所以，即，所以，12AB BA AD DC →→→→⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭1122AB AB AD AB →→→→⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭1122AB AB AD →→→⎛⎫ ⎪=+-+ ⎪⎝⎭3142AB AD →→=+O ABC 230OA OB OC ++=OAC V OAB V 3223D E BC AC 2OE OD =D E BC AC 230OA OB OC ++= ()2OA OC OB OC +=-+ 2OE OD =- 2OE OD =COE AOE S S =V V COD BOD S S =△△1AOC S S =V 2BOC S S =V 12COE AOE S S S ==V V 22COD BOD SS S ==V V 1212122322AOB S S S S S +=++V 12AOB S S S +=V :2:1AOE BOD S S =V V 12:2:1S S =122S S =112AOB S S S +=V所以，即的面积与的面积之比是故选：B.3. 已知平面向量，，满足，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】由复数的几何意义画出简图，数形结合可得结果.【详解】令，由知点在以为圆心，2为半径的圆上；令，由知点在以为圆心，4为半径的圆上；令，由知点在以为圆心，2为半径的圆上；令，由知点在以为圆心，2为半径的圆上，由知点也在以为圆心，1为半径的圆上，所以点在以为圆心，内径为2，外径为3的圆环上，如图阴影部分，从而.故选：C.4. 在平行四边形ABCD 中，设，，E 为AD 的靠近D 的三等分点，CE 与BD 交于F ，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】找到、上的三等分点，则，结合图形易得，由即可知正确选项.123AOB S S =V OAC V OAB V 23a b c222a c a b b c ==-=-= b []1,3⎡⎣[]2,3⎡⎣a OA =2a = A O 2a OD =2a = D O c OC =2c = C O b OB =22a b -= B D 1b c -= B C B O []2,3b ∈CB a = CD b = AF =3144a b--3144a b-+1344a b--1344a b-AD BC ////AK GH EC 4DBDF =AF AD DF =+【详解】如图，在上取点，使得，在上由左到右取，，使得，连接，，则，∵且，∴由相似比可知：，∴.故选：A5. 在中，、、分别是边、、的中点，、、交于点，则：①；②；③；④．上述结论中，正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②③④D ．①③④【答案】C 【分析】作出图形，利用平面向量的加法法则可判断①②③④的正误.【详解】如下图所示：对于①，、分别为、的中点，，①错误；AD G AG GE ED ==BC K H BK KH HC ==AK GH ////AK GH EC //DE BC 13DE BC =4DBDF =()131444AF AD DF a a b a b =+=-+-=-- ABC V D E F BC CA AB AD BE CF G 1122EF CA BC =-1122BE AB BC =-+AD BE FC += 0GA GB GC ++= F E AB AC 111222FE BC CA BC ∴=≠-对于②，以、为邻边作平行四边形，由平面向量加法的平行四边形法则可得，，②正确；对于③，由②同理可得，，同理可得，，，③正确；对于④，易知点为的重心，所以，，，，因此，，④正确.故选：C.【点睛】本题考查平面向量加法运算的相关判断，考查平面向量加法法则的应用，考查计算能力，属于中等题.6. 八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ABCDEFGH ，其中，则给出下列结论：①；②；③．其中正确的结论为（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算逐项进行化简计算，由此确定出正确选项.【详解】对于①：因为，故①错误；对于②：因为，则以为邻边的平行四边形为正方形，又因为平分，所以，故②正确；对于③：因为，且，BA BC ABCO 2BE BO BA BC AB BC ==+=-+1122BE AB BC ∴=-+2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r1122AD AB AC ∴=+ 1122CF CA CB =+ ()102AD BE CF AB AC BA BC CA CB ∴++=+++++= AD BE CF FC ∴+=-=G ABC V 23GA AD =- 23GB BE =- 23GC CF =-()203GA GB GC AD BE CF ++=-++=1OA =0BF HF HD -+=OA OC += AE FC GE AB +-= BF HF HD BF FH HD BH HD BD -+=++=+=3602908AOC ︒∠=⨯=︒,OA OC OB AOC∠OA OC +==AE FC GE AE FC G EG A FC +-=++=+ FC GB =所以，故③正确，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键利用合适的转化对向量的减法运算进行化简，由此验证关于向量的等式是否正确.7. 中，，点M 在BD 上，且满足，则实数t 的值为（ ）A．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】由题意，可设，结合条件整理可得，得到关于与的方程组，解出即可．【详解】如图，因为，所以则，因为在上，不妨设，则，因为，所以，解得，故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．8.（多选题）下列各式结果为零向量的有（）AE FC GE AG GB AB +-=+=ABC V AD DC =37AM AB t AC =+ 67472759DM k DB =11(1)22AM AC DM k AC k AB =+=-+ k t t AD DC =12AD AC= 12AM AD DM AC DM =+=+ M BD 1()()2DM k DB k AB AD k AB AC ==-=- 1111()(1)2222AM AC DM AC k AB AC k AC k AB =+=+-=-+ 37AM AB t AC =+ 371(1)2⎧⎪⎪⎨⎪⎩=-=⎪k k t 27t =A ．B ．C ．D ．【答案】ACD 【分析】根据平面向量的线性运算逐个求解即可【详解】对A ，，故A 正确；对B ，，故B 错误；对C ，，故C 正确；对D ，，故D 正确；故选：ACD 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算9.（多选题）在平行四边形中，点，分别是边和的中点，是与的交点，则有（）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【分析】对A ，B ，由向量的加法法则即可判断；对C ，D ，由向量的加法法则以及三角形重心的性质即可判断.【详解】解：如图所示：对A ，，又，即，故A 正确；对B ，，故B错误；AB CA BC→→→++AB AC BD CD+++ OA OD AD -+ NQ QP MN MP++- 0AB CA BC CA AB BC CB BC ++=++=+=()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=0OA OD AD DA AD -+=+=0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=ABCD E F BC DC P DE BF 12AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r 1122AF AB AD =+2233AP AB AD=+ 1122CP CD CB=+ 12AE AB BE AB BC =+=+BC AD = 12AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r 1122AF AD DC AB AD =+=+对C ，设为与的交点，由题意可得：是的重心，故，，故C 正确；对D ，，故D 错误.故选：AC.10.（多选题）设是内部（不含边界）的一点，以下可能成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【分析】作出图示，根据向量的平行四边形法则逐项进行判断即可.【详解】对于A ：如下图所示，可知在内部，故成立；对于B ：如下图所示，可知在外部，故不成立；对于C ：因为，如下图所示，可知在内部，故成立；O AC BD P CBD V 2CP PO = 222333AP AO OP AC AB AD =+==+221111332233CP CO CB CD CB CD ⎛⎫==⨯+=+ ⎪⎝⎭P OAB V 2155OP OA OB=+2455OP OA OB=+2155OP OA AB=+ 2455OP OA AB=+ P OAB V P OAB V 21211115555555OP OA AB OA AO OB OA OB =+=++=+P OAB V对于D ：因为，如下图所示，可知在外部，故不成立；故选：AC.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是采用图示结合向量的平行四边形法则进行说明，其中CD 选项中的向量关系式要根据进行化简.11.（多选题）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的有（ ）A ．若，则点是边的中点B ．若，则点是的重心C ．若，则点在边的延长线上D ．若，且，则是面积的一半【答案】ABD 【分析】对A ，根据中点的性质即可判断；对B ，根据重心的性质即可判断；对C ，根据向量的运算得到，即可判断；对D ，根据三点共线的性质即可求解.【详解】解：对A ，，即，即，即点是边的中点，故A 正确；对B ，设的中点为，，即点是的重心，故B 正确；对C ，，24244245555555OP OA AB OA AO OB OA OB =+=++=-+P OAB V AB AO OB =+D ABC V ()12AD AB AC =+D BC ()13AD AB AC =+D ABC V 2AD AB AC =-D BC AD xAB y AC =+ 12x y +=BCD △ABC V BD CB =()12AD AB AC =+11112222AD AB AC AD -=-BD DC = D BC BC M ()1122333AD AB AC AM AM =+=⨯= D ABC V 2AD AB AC =-即，即，即点在边的延长线上，故C 错误；对D ，，且，故，且，设，则，且，故三点共线，且，即是面积的一半，故D 正确.故选：ABD.12. 对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（）A ．B ．C ．D ．【答案】BCD 【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.【详解】菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B 结论正确，A 结论错误；因为，，且，所以，即C 结论正确；因为，，所以D 结论正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.13. ．四边形中，若，则四边形的形状为_____.【答案】平行四边形【分析】AD AB AB AC -=- BD CB = D CB AD xAB y AC =+ 12x y +=222AD xAB y AC =+221x y +=2AM AD =22AM xAB y AC =+221x y +=,,M B C 2AM AD =BCD △ABC V AB BC=AB BC= AB CD AD BC -=+ AD CD CD CB+=- AB BC2AB CD AB DC AB -=+= 2AD BC BC += AB BC = AB CD AD BC -=+AD CD BC CD BD +=+= ||||CD CB CD BC BD -=+=ABCD BD BC BA =+ABCD由平面向量的加法法则直接可得答案【详解】解：因为四边形中，，所以，所以，所以，且‖，所以四边形为平行四边形，故答案为：平行四边形14. 如图所示，O 是线段外一点，若中，相邻两点间的距离相等，_______（用表示）【答案】1011()【分析】设点为线段的中点，则也为线段的中点，然后根据向量加法平行四边形法则即可求解【详解】解：设为线段的中点，则也为线段的中点，由向量加法的平行四边形法则可得，，……，,所以，ABCD BD BC BA =+BC CD BC BA +=+ CD BA = CD BA = CD BA ABCD 02021A A 0122021,,,A A A A 0202101,,OA a OA b OA OA ==+++ 2021OA = ,a ba b + A 02021A A A 12020220193201810101011,,,,A A A A A A A A ⋅⋅⋅A 02021A A A 12020220193201810101011,,,,A A A A A A A A ⋅⋅⋅020212OA OA OA a b +==+120202OA OA OA a b +==+ 101010112OA OA OA a b +==+ 01202020211011()OA OA OA OA a b ++⋅⋅⋅++=+故答案为：15. 若非零向量和满足,则的取值范围是________,的取值范围是________.【答案】【分析】(1)根据平面向量的三角不等式求解的取值范围即可.(2)根据结合平面向量的三角不等式可得与,再根据求解的取值范围即可.【详解】(1)因为,又是非零向量,所以的取值范围是.(2)因为,所以,,又,，所以的取值范围是.故答案为：；【点睛】本题考查平面向量加减法的几何意义､向量三角不等式运算.需要根据所给的向量构造合适的三角不等式,属于中档题.16. 中，点、、分别在边、、上，且，，，若，则________.【答案】【分析】分别用、、表示、、，可计算出，进而可求得的值.【详解】，则，可得，同理可得，，所以，，因此，.1011()a b +a b2a b b +== a r a b -r r (0,4](]2,6a2= b 4||||4-≤--+≤ a b a b ||||4-++a b a b …2a b += a b -r r||||||||||||||4+-≤=+-≤++= a b b a a b b a b b a||a (0,4]||||2||()()||||||-++=+----+ a b a b b a b a b a b a b ……4||||4-≤--+≤ a b a b ||||4-++a b a b …||2+= a b 0a ≠||a b - (]2,6(0,4](]2,6ABC ∆D E F AB BC CA 3AD DB = 3BE EC = 3CF FA =2BC = AE BF CD ++=1AB AC BC A EBF CD AE BF CD ++ AE BF CD ++ 3AD DB =()3AC CD CB CD +=- 3144CD CB CA =+ 3144AE AB AC =+ 3144BF BA BC =+31313114444442AE BF CD AB AC BA BC CB CA BC ++=+++++=- 11122AE BF CD BC BC ++=-==故答案为：.【点睛】本题考查平面向量模的计算，涉及平面向量加法和减法法则的应用，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题.C 培优拔尖练1. ．化简：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.【答案】①；② ；③【分析】根据加法的三角形运算法则和基本规律首尾相连求解.【详解】①＋＝+＝；②＋＋＝＋＋＝；③＋＋＋＋.=＋＋＋＋＝.【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算，其规律是首尾相连，同时注意加法运算结果是向量，属于中档题.2. 化简下列各式：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）.（2）.（3）.【名师点睛】本题考查平面向量加减法的三角形法则，利用加法的三角形法则要求是“首尾相接”，减法的三角形法则要求是“起点相同”，考查运算求解能力，属于基础题.求解时，（1）将代数式变形为，然后利用平面向量加法的三角形法则化简；（2）利用平面向量加法和减法的三角形法则化简；（3）利用平面向量减法的三角形法则化简.1BC AB DB CD BC AB DF CDBC FA AC 0 0BC AB AB BCAC DB CD BC BC CDDB 0 AB DF CD BC FA AB BCCD DF FA 0 AB BC DC AD -+-OA OD AD -+ AB AD DC -- 2DBCB ()()2AB CB DC DA DA AB DC CB AB BC DB DC AD +++=+++--=+=u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u u r u u u r r u u r u u u r OA OD AD DA AD -+=+=0u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAB AD DC DB DC CB --=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u rAB CB DC DA +++u u u r u u r u u u r u u u r3. 如图，已知=，=，=，=，=，试用表示以下向量：（1）；（2）；（3）−；（4）＋；（5）−．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【解析】（1）=−=；（2）=＋=−＋=；（3）−==；（4）＋=−＋＋=−−＋=；（5）−=−−(−)=−=．【名师点睛】本题主要考查平面向量的运算法则及其应用，属于中档题.平面向量的运算法则是：（1）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（2）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）．4.如图，小船要从处沿垂直河岸的方向到达对岸处，此时水流的速度为6km /h ，测得小船正以8km /h 的速度沿垂直水流的方向向前行驶，求小船在静水中速度的大小及方向.OA a OB b OC c OD d OFf ,,,,a b c d f ACADAD ABAB CF BF BD-c a -+a d -d b --+b a c f -f d AC OC OA-c a AD AO OD OAOD -+a d AD AB BD OD OB =--d b AB CF OB OA CO OF OB OA OC OF--+b a c f BF BD OF OBOD OB OF OD -f d A AC B【答案】小船在静水中的速度的大小为，方向与水流方向的夹角为，其中，.【分析】设表示小船垂直于河岸行驶的速度，表示水流的速度，作出符合实际问题的平行四边形，解三角形，即可求出.【详解】设表示小船垂直于河岸行驶的速度，表示水流的速度，如图：连接BC ，过点B 作AC 的平行线，过点A 作BC 的平行线，两条直线交于点D ，则四边形ACBD 为平行四边形，所以就是小船在静水中的速度.在中，，，，，∴小船在静水中的速度的大小为10 km/h ，方向与水流方向的夹角为，其中，.【点睛】10/km h 2DAB π+∠3tan 4DAB ∠=0,2DAB π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭ABAC ABAC ADRt BAC V 8km /h AB =6km /h AC = ()10km /h DAB ABC ∠=∠ 3tan tan 4AC DAB ABC AB ∴∠=∠== 2DAB π+∠3tan 4DAB ∠=0,2DAB π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭本题主要考查了向量加法的平行四边形法则在实际问题中的应用，数形结合，属于中档题.5. 已知是等腰直角三角形，，是斜边的中点，，．求证：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）作出图形，求出向量，然后利用图形中边长的等量关系来证明；（2）求出向量，然后利用图形中边长的等量关系来证明.【详解】如下图，由于为等腰直角三角形，可知.由是斜边的中点，得.（1）在中，，于是，由，得；（2）在中，，，从而由，得.【点睛】本题考查有关向量模的等式的证明，一般要利用向量加法和减法法则将向量表示出来，结合图形中边长的等量关系来得出证明，考查数形结合思想的应用，属于中等题.6. 若是所在平面内一点，且满足，试判断的形状.【答案】直角三角形【分析】由向量的加法法则得出，可得出以、为邻边的平行四边形的两条对角线相等，可判断出平行四边形的形状，从而得出的形状.【详解】，，，ABC ∆90ACB ∠= M AB CM a = CA b =a b a -=()a ab b +-=a b -a b a -= ()a a b +- ()a ab b +-=ABC ∆CA CB = M AB CM AM =ACM ∆AM CM CA a b =-=-AM CM = a b a -= MCB ∆MB AM a b ==-()CB MB MC a b a a a b ∴=-=-+=+- CB CA = ()a ab b +-=O ABC ∆OB OC OB OA OC OA -=-+-ABC ∆CB AB AC =+u u r u u u r u u u rAB AC ABDC ABDC ABC ∆OB OA OC OA AB AC -+-=+ OB OC CB -=u u u r u u u r u u rAB AC CB ∴+=u u u r u u u r u u r31 / 31以、为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，此平行四边形为矩形，.是直角三角形.【点睛】本题考查利用和向量和差向量模的关系判断三角形的形状，解题的关键是要弄清楚相应平行四边形的形状，考查推理能力，属于中等题.7.如图,在△ABC 中,E 为边AC 的中点,试问在边AC 上是否存在一点D ,使得?若存在,说明点D 的位置;若不存在,请说明理由.【答案】D 点为AC 上靠近C 的一个三等分点【详解】试题分析： 将向量条件转化为两向量相等关系：,根据向量共线可得点D 的位置试题解析：假设存在点D ,使得.由,得=,所以,即.又,所以,即在AC 上存在一点D ,使,且D 点为AC 上靠近C 的一个三等分点.∴AB AC ABDC ∴AB AC ∴⊥ABC ∆∴1233BD BC BE =+ 1233BD BC BE =+ 13CD CA = 1233BD BC BE =+ 1233BD BC BE =+ 12(33)BD BC BC CE =++ 23BC CE +23BD BC CE -= 23CD CE = 12CE CA =13CD CA = 1233BD BC BE =+。
人教A版高中数学必修第二册课后习题 第6章 平面向量及其应用 6.2.1 向量的加法运算
6.2.1 向量的加法运算课后训练巩固提升1.在四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 是 ( )A.梯形B.矩形C.正方形D.平行四边形,四边形ABCD 是以AB,AD 为邻边的平行四边形.2.已知向量a ∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b 的方向( ) A.与向量a 方向相同 B.与向量a 方向相反 C.与向量b 方向相同D.不确定a 和b 方向相同,那么它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同;如果它们的方向相反,已知a 的模大于b 的模,那么它们的和的方向与a 的方向相同.3.如图所示,四边形ABCD 是梯形,AD ∥BC,AC 与BD 交于点O,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A .CD⃗⃗⃗⃗⃗ B .OC⃗⃗⃗⃗⃗ C .DA ⃗⃗⃗⃗⃗D .CO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ .4.在平行四边形ABCD 中,若|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形ABCD 是( ) A.菱形B.矩形C.正方形D.不确定|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴四边形ABCD 是矩形.5.(多选题)下列向量的运算结果为零向量的是( ) A .BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ B .PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗ D .MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QG⃗⃗⃗⃗⃗项,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0; B 项,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;C 项,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0; D 项,MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QG ⃗⃗⃗⃗⃗ )=GP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PG⃗⃗⃗⃗⃗ =0.6.若a 表示“向东走8 km”,b 表示“向北走8 km”,则|a+b|= ,a+b 的方向是 .,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =b,因为a+b=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以|a+b|=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√82+82=8√2(km), 因为∠AOB=45°,所以a+b 的方向是东北方向.√2 km 东北方向7.根据图示填空,其中a=DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b=CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,c=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,d=BA⃗⃗⃗⃗⃗ .(1)a+b+c= ; (2)b+d+c= .DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)b+d+c=CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA⃗⃗⃗⃗⃗ .DB ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)CA⃗⃗⃗⃗⃗ 8.若在△ABC 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,且|a|=|b|=1,|a+b|=√2,则△ABC 的形状是 .|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a|=1,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|b|=1,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a+b|=√2,所以△ABC 为等腰直角三角形.9.如图,请在图中直接标出:(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE⃗⃗⃗⃗⃗ .,(1)向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)向量AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE⃗⃗⃗⃗⃗ . 10.已知|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a|=3,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|b|=3,∠AOB=60°,求|a+b|.,∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,∴以OA,OB 为邻边所作的▱OACB 为菱形.连接OC,AB,则OC ⊥AB,设垂足为点D.∵∠AOB=60°,∴AB=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3, ∴在Rt △OBD 中,OD=3√32, ∴|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a+b|=3√32×2=3√3.1.已知四边形ABCD 为菱形,则下列等式成立的是( ) A .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ B .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C .AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗D .AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ABCD 是菱形,所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故C 项正确.2.在矩形ABCD 中,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度等于( ) A.2√5B.4√5C.12D.6AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模的2倍. 又|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√42+22=2√5, 所以向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度为4√5.3.已知P 为△ABC 所在平面内一点,当PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ 成立时,点P 位于( )A.△ABC 的AB 边上B.△ABC 的BC 边上C.△ABC 的内部D.△ABC 的外部,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ ,则点P 在△ABC 的外部.4.(多选题)设a=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),b 是任一非零向量,则下列结论正确的是( ) A.a ∥bB.a+b=bC.|a+b|<|a|+|b|D.|a+b|=|a|+|b|a=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,且b 为任一非零向量, ∴A,B,D 均正确.5.如图,已知电线AO 与天花板的夹角为60°,电线AO 所受拉力|F 1|=24 N.绳BO 与墙壁垂直,所受拉力|F 2|=12 N,则F 1与F 2的合力大小为 ,方向为 .,以OA,OB 为邻边作平行四边形BOAC,则F 1+F 2=F,即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC⃗⃗⃗⃗⃗ .∵在Rt △OAC 中,∠OAC=60°,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=24,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12, ∴∠ACO=90°, ∴|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√3, ∴F 1与F 2的合力大小为12√3N,方向为竖直向上.√3 N 竖直向上6.设P 为▱ABCD 所在平面内一点,则:①PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;②PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;③PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ .其中成立的为 .(填序号)PA,PC 为邻边作平行四边形PAEC,则PE 与AC 交于AC 的中点O,同样以PB,PD 为邻边作平行四边形PBFD,对角线BD 与PF 交于BD 的中点O',因为O 与O'重合,所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ .7.如图,在△ABC 中,O 为重心,D,E,F 分别是BC,AC,AB 的中点,化简下列式子:(1)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗ +DC⃗⃗⃗⃗⃗ .BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ . (3)∵F,E,D 分别是AB,AC,BC 的中点, ∴FE ⃗⃗⃗⃗ =BD⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 8.如图所示,P,Q 是△ABC 的边BC 上两点,且BP=QC.求证:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ⃗⃗⃗⃗⃗ .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QC⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QC⃗⃗⃗⃗⃗ 大小相等,方向相反, ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +QC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +0=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ .。
人教A版高中数学必修第二册素养单元课后习题 第06章 平面向量及其应用 向量的加法运算
第六章 学习单元2 平面向量的运算6.2.1 向量的加法运算 A 级必备知识基础练1.在边长为1的正方形ABCD 中,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |等于( ) A.0B.1C.√2D.32.如图,在正六边形ABCDEF 中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗ 等于( )A.0B.BE ⃗⃗⃗⃗⃗C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗D.CF⃗⃗⃗⃗ 3.向量(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 化简后等于( ) A.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.PA ⃗⃗⃗⃗⃗C.PC ⃗⃗⃗⃗D.PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 4.(多选题)设a=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),b 是任一非零向量,则下列选项正确的有( )A.a ∥bB.a+b=aC.a+b=bD.|a+b|<|a|+|b|5.在四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 是( ) A.梯形 B.矩形 C.正方形D.平行四边形6.如图,在平行四边形ABCD 中,写出下列各式的结果:(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ; (2)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗ = ;(3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ; (4)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ = .7.是否存在a,b,使|a+b|=|a|=|b|?请画出图形说明.8.一艘船在水中航行,如果此船先向南偏西30°方向行驶2 km,然后又向西行驶2 km.你知道此船在整个过程中的位移吗?B 级关键能力提升练9.在正六边形ABCDEF 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.AF ⃗⃗⃗⃗⃗ B.BE ⃗⃗⃗⃗⃗C.CD⃗⃗⃗⃗⃗ D.010.如图所示,若P 为△ABC 的外心,且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ ,则∠ACB= .11.在四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O 且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,cos ∠DAB=12.求|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |与|CD⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |.12.如图,点M,N 在线段BC 上,且BM=CN,试探求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗ 的关系,并证明.答案：1.B 解析|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.2.A 解析∵CD⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗ =0.3.C 解析(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ .4.AC 解析∵a=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,又b 为任一非零向量, ∴A,C 正确.5.D 解析由平行四边形法则可得,四边形ABCD 是以AB,AD 为邻边的平行四边形.6.(1)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)AO ⃗⃗⃗⃗⃗ (3)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ (4)0 (1)由平行四边形法则可知,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ . (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .(4)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 7.解存在,如图,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OA=OB=OC,∠AOB=120°,∠AOC=∠COB=60°. 此时有|a+b|=|a|=|b|成立.8.解如图所示,用AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示船的第一次位移,用CD⃗⃗⃗⃗⃗ 表示船的第二次位移,根据向量加法的三角形法则知AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 可表示两次位移的和位移. 由题意知,在Rt △ABC 中,∠BAC=30°, 则BC=12AC=1,AB=√3.在等腰三角形ACD 中,AC=CD=2, 所以∠D=∠DAC=12∠ACB=30°,所以∠BAD=60°,AD=2AB=2√3,所以两次位移的和位移的方向是南偏西60°,位移的大小为2√3km.9.D 解析如图所示,连接AD,BE,设AD 与BE 交于O 点,则BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗ ,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA⃗⃗⃗⃗⃗ =0.故选D.10.120° 解析因为P 为△ABC 的外心,所以PA=PB=PC,因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ ,由向量加法的平行四边形法则可得四边形PACB 是菱形,且∠PAC=60°,所以∠ACB=120°.11.解∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DO ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴四边形ABCD 是平行四边形.又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,知四边形ABCD 为菱形. 又cos ∠DAB=12,∠DAB ∈(0,π),∴∠DAB=60°.∴△ABD 为正三角形.∴|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1. 12.证明由向量加法三角形法则知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 因为BM=CN, 所以MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CN ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗ .。
人教A版高中数学必修第二册课后习题 第6章 平面向量及其应用 6.2.1 向量的加法运算 (2)
6.2 平面向量的运算6.2.1 向量的加法运算课后·训练提升 基础巩固1.(多选题)下列各式中一定成立的是( ) A.a+b=b+a B.0+a=a C.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D.|a+b|=|a|+|b| 答案：ABC解析：因为A,B,C 项满足运算律及运算法则,所以一定成立.而D 项不一定成立,因为|a+b|≤|a|+|b|,只有当a,b 同向时等号才成立. 2.对于任意一个四边形ABCD,下列式子不能化简为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( ) A.BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗B.BD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗C.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗D.DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案：C解析：在A 中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ;在B 中,BD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ;在C 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ;在D 中,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .3.已知平行四边形ABCD,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,且b 是一非零向量,则下列结论:①a ∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|.其中正确的是( ) A.①③ B.②③C.②④D.①②答案：A解析：∵在平行四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴a 为零向量,∵零向量和任意向量都平行,零向量和任意向量的和等于这个向量本身,∴①③中的结论正确,②④中的结论错误.4.在平行四边形ABCD 中,若|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形ABCD 是 . 答案：矩形解析：∵|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,且|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |. 又四边形ABCD 是平行四边形, ∴四边形ABCD 是矩形.5.如图所示,若点P 为△ABC 的外心,且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ ,则∠ACB= .答案：120°解析：因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ ,所以四边形APBC 是平行四边形.因为点P 为△ABC 的外心,所以PA=PB=PC.所以四边形PACB 是菱形,且△PAC 与△PBC 是全等的等边三角形.所以∠ACB=120°.6.已知在菱形ABCD 中,∠DAB=60°,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 答案：1解析：在△ABD 中,AD=AB=1,∠DAB=60°,则BD=1,则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1. 7.如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,P 为平面内任意一点.求证:PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4PO ⃗⃗⃗⃗⃗ . 证明：∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ +PD⃗⃗⃗⃗⃗ =PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗=4PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =4PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =4PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +0+0=4PO⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4PO⃗⃗⃗⃗⃗ . 能力提升1.(多选题)向量a,b 均为非零向量,下列说法中正确的是( ) A.若向量a 与b 反向,且|a|>|b|,则向量a+b 的方向与a 的方向相同 B.若向量a 与b 反向,且|a|<|b|,则向量a+b 的方向与a 的方向相同C.若向量a 与b 同向,则向量a+b 的方向与a 的方向相同D.若向量a 与b 同向,则向量a+b 的方向与b 的方向相同 答案：ACD解析：当向量a 与b 反向,且|a|<|b|时,向量a+b 的方向与b 的方向相同,只有B 项说法错误,A,C,D 项中的说法都正确.2.(多选题)如图,D,E,F 分别是△ABC 的边AB,BC,CA 的中点,则下列等式成立的是( )A.FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗ =0C.FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗ +FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案：ABC解析：FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故A 中等式成立;AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故B 中等式成立;FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =FE ⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故C 中等式成立;AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗ +FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +0=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故D 中等式不成立.3.若在△ABC 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,且|a|=|b|=1,|a+b|=√2,则△ABC 的形状是( ) A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形 答案：D解析：因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a|=1,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|b|=1,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a+b|=√2,所以△ABC 为等腰直角三角形.故选D.4.已知△ABC 的三个顶点A,B,C 及平面内一点P,满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ ,则下列结论正确的是( ) A.点P 在△ABC 的内部 B.点P 在△ABC 的边AB 上 C.点P 在AB 边所在的直线上 D.点P 在△ABC 的外部 答案：D解析：PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗ ,根据平行四边形法则,如图所示,可知点P 在△ABC 的外部.5.已知点G 是△ABC 的重心,则GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 答案：0解析：如图,延长AG 交BC 于点E,则点E 为BC 的中点,延长GE 到点D,使GE=ED,则GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,GD ⃗⃗⃗⃗⃗ +GA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC⃗⃗⃗⃗⃗ =0.6.如图所示,已知电线AO 与天花板的夹角为60°,电线AO 所受拉力|F 1|=24 N,绳BO 与墙壁垂直,所受拉力|F 2|=12 N.求F 1和F 2的合力大小.解：如图,根据向量加法的平行四边形法则,得到合力F=F 1+F 2=OC⃗⃗⃗⃗⃗ .在△OCA 中,∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=24,|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,∠OAC=60°, ∴∠OCA=90°,∴|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√3.∴F 1与F 2的合力大小为12√3N,方向与F 2成90°角竖直向上.。
人教A版高中数学必修第二册课后习题 第6章 平面向量及其应用 6.3.2--6.3.3
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示课后训练巩固提升1.设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-b 等于( )A.(5,4)B.(-5,-4)C.(1,6)D.(1,3)2.(多选题)如图所示,在平面直角坐标系中,若点A(2,3),点B(-3,4),与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量分别为i 和j,则下列说法正确的是( )A .OA⃗⃗⃗⃗⃗ =2i+3j B .OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3i+4j C .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5i+j D .BA⃗⃗⃗⃗⃗ =5i+j,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2i+3j,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3i+4j,故A 正确,B 不正确;AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3i+4j)-(2i+3j)=-5i+j,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB⃗⃗⃗⃗⃗ =5i-j,故C 正确,D 不正确.3.已知点A(-1,-5),向量a=(-1,0),b=(1,-1),当AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b 时,点B 的坐标为( )A.(2,6)B.(-1,-6)C.(0,-1)D.(-4,5)a=(-1,0),b=(1,-1),∴a+b=(-1,0)+(1,-1)=(0,-1).设点B 的坐标为(x,y),则AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+1,y+5), ∴由已知得(x+1,y+5)=(0,-1),∴{x +1=0,y +5=-1,解得{x =-1,y =-6.∴点B 的坐标为(-1,-6).4.已知四边形ABCD 为平行四边形,其中点A(5,-1),B(-1,7),C(1,2),则点D 的坐标为( )A.(-7,0)B.(7,6)C.(6,7)D.(7,-6)D 的坐标为(x,y),则DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,即(1-x,2-y)=(-6,8),得{1-x =-6,2-y =8,解得{x =7,y =-6.5.已知sinαsinα+cosα=12,且向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(tan α,1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2tan α,-3),则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A.(3,-2)B.(-3,-2)C.(1,-4)D.(-1,4) 由sinαsinα+cosα=12,可得2sinα=sinα+cosα,于是tanα=1,因此AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3tanα,-2)=(3,-2).6.设m=(a,b),n=(c,d),规定两向量m,n 之间的一个运算“□”为m□n=(ac -bd,ad+bc),若已知p=(1,2),p□q=(-4,-3),则q 等于( )A.(-2,1)B.(2,1)C.(2,-1)D.(-2,-1)q=(x,y),依题意得{x -2y =-4,2x +y =-3, 解得{x =-2,y =1,故q=(-2,1).7.已知平行四边形OABC,其中O 为坐标原点,若A(2,1),B(1,3),则点C 的坐标为 .C 的坐标为(x,y),则由已知得OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故(x,y)=(-1,2).8.在平面直角坐标系Oxy 中,向量a,b,c 的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4,分别计算出它们的坐标.a=(a 1,a 2),b=(b 1,b 2),c=(c 1,c 2), 则a 1=|a|cos45°=2×√22=√2, a 2=|a|sin45°=2×√22=√2,b 1=|b|cos120°=3×(-12)=-32, b 2=|b|sin120°=3×√32=3√32,c 1=|c|cos(-30°)=4×√32=2√3, c 2=|c|sin(-30°)=4×(-12)=-2. 因此a=(√2,√2),b=(-32,3√32),c=(2√3,-2). 9.已知点O(0,0),A(1,2).(1)若点B(3t,3t),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ ,则t 为何值时,点P 在x 轴上?点P 在y 轴上?点P 在第二象限?(2)若点B(4,5),P(1+3t,2+3t),则四边形OABP 能为平行四边形吗?若能,求t 值;若不能,说明理由.OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)+(3t,3t)=(1+3t,2+3t). 若点P 在x 轴上,则2+3t=0,得t=-23; 若点P 在y 轴上,则1+3t=0,得t=-13;若点P 在第二象限,则{1+3t <0,2+3t >0,得-23<t<-13. (2)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP⃗⃗⃗⃗⃗ =(3-3t,3-3t). 若四边形OABP 为平行四边形,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB⃗⃗⃗⃗⃗ ,得{3-3t =1,3-3t =2,该方程组无解. 故四边形OABP 不能为平行四边形.。
人教A版高中数学必修第二册课后习题 第6章 平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念
6.1 平面向量的概念课后训练巩固提升1.正n 边形有n 条边,它们对应的向量依次为a 1,a 2,a 3,…,a n ,则这n 个向量( ) A.都相等B.都共线C.都不共线D.模都相等n 边形,所以n 条边的边长都相等,即这n 个向量的模都相等.2.在△ABC 中,AB=AC,D,E 分别是AB,AC 的中点,则 ( )A .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 B .DE⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 C .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等 D .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD⃗⃗⃗⃗⃗ 相等,因为D,E 分别是AB,AC 的中点,所以由三角形的中位线定理可得DE ∥BC.所以DE⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.3.(多选题)下列说法正确的是( )A.1 021 cm 长的有向线段不可能表示单位向量B.若O 是直线l 上的一点,单位长度已选定,则l 上有且只有两个点A,B,使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗ 是单位向量 C.方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是平行向量D.一人从点A 向东走500 m 到达点B,则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示这个人从点A 到点B 的位移1021cm 时,1021cm 长的有向线段刚好表示单位向量,故A 不正确;因为单位长度已选定,向量的起点为O,所以l 上有且只有两个点A,B,使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是单位向量,故B 正确;方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是一对方向相反的向量,因此是平行向量,故C 正确;根据位移的定义,可知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示这个人从点A 到点B 的位移,故D 正确.4.若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 的形状为( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形D.等腰梯形BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,知AB=CD,且AB ∥CD,即四边形ABCD 为平行四边形. 因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以四边形ABCD 为菱形.5.(多选题)如图,四边形ABCD,CEFG,CGHD 是全等的菱形,则下列结论中一定成立的是( )A.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|EF ⃗⃗⃗⃗ | B .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FH ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 C .BD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EH ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 D .CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =FG ⃗⃗⃗⃗A,因为四边形ABCD,CEFG,CGHD 是全等的菱形,因此|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|EF ⃗⃗⃗⃗ |一定成立,故A 符合题意;对于B,根据菱形的性质,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FH ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线一定成立,故B 符合题意;对于C,因为BD 与EH 不一定平行,所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EH ⃗⃗⃗⃗⃗ 不一定共线,故C 不符合题意;对于D,根据菱形的性质,知CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FG ⃗⃗⃗⃗ 方向相同且模相等, 因此CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =FG ⃗⃗⃗⃗ 一定成立,故D 符合题意.故选ABD.6.已知A,B,C 是不共线的三点,向量m 与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平行向量,与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是共线向量,则m= .A,B,C 三点不共线,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线, 又因为m ∥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 且m ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以m=0.7.如果把平面上一切单位向量归结到共同的起点O,那么这些向量的终点所组成的图形是 .,方向任意,若单位向量有共同的始点O,则其终点构成一个单位圆.O 为圆心的单位圆8.一个4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)如图所示,在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问:(1)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量共有几个? (2)与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有几个? (3)与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且模为3√2的向量共有几个?与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量共有5个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身). (2)与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有24个. (3)与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且模为3√2的向量共有2个.9.一辆汽车从点A 出发向西行驶了100千米到达点B,然后又改变方向向西偏北50°方向行驶了200千米到达点C,最后又改变方向,向东行驶了100千米到达点D. (1)作出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)求|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |.如图所示.(2)由题意,易知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相反,故AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以在四边形ABCD 中,AB ∥CD 且AB=CD,所以四边形ABCD 为平行四边形,所以|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=200千米.。
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课时柱体、锥体、台体的表面积与体积
课时目标
若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于________由圆台的正视图可知该圆台的上底面半径r＝1，下底面半径
母线长为l ＝
22＋(2－1)2＝5，故侧面积为S ＝π(rl ＋Rl )＝π(1＋2)×5＝3 5π.
8．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是__________．
答案：54
解析：由题意知r ：R ＝：3，r ，R 分别为上，下底面的半径，故(V －52)：V ＝
：
27，解出V ＝54.
9．如图，E ，F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 的中点，AB ＝2，沿图中虚线将该正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是________．
答案：1
3
解析：折叠起来后，B ，C ，D 三点重合，设为点S ，则围成的三棱锥为S －AEF ，其中，
SA ⊥SE ，SA ⊥SF ，SE ⊥SF ，且SA ＝2，SE ＝SF ＝1，如图，所以此三棱锥的体积V ＝13×1
2
×1×1×2
＝13
. 三、解答题
10．(12分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．
解：设扇形的半径和圆锥的母线都为l ，圆锥的半径为r ，则 120360πl 2＝3π，l ＝3，2π
3
×3＝2πr ，r ＝1； S 表面积＝S 侧面＋S 底面＝πrl ＋πr 2＝4π，
V ＝13Sh ＝13×π×12×2 2＝2 23
π.
11．(13分)已知四棱锥P －ABCD 的直观图及三视图如图所示，求该四棱锥的体积．
解析：由该四棱锥的三视图，可知该四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底
A ．48＋12 2
B ．48＋24 2
C ．36＋12 2
D ．36＋24 2 答案：A 解析：
如图所示三棱锥．AO ⊥底面BCD ，O 点为BD 的中点，BC ＝CD ＝6， BC ⊥CD ，AO ＝4，AB ＝AD .
S △BCD ＝1
2×6×6＝18.
S △ABD ＝1
2×6 2×4＝12 2.
取CD 中点E .连接AE 、OE . 可得AO ⊥OE ，
AE ＝
AO 2＋OE 2＝42＋32＝5.
∴S △ACD ＝S △ABC ＝1
2×6×5＝15.
∴S 全＝18＋12 2＋15＋15＝48＋12 2. 13．(15分)某几何体的三视图如图所示．
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积．
解：(1)这个几何体的直观图如图所示．
ABCD －A 1B 1C 1D 1和直三棱柱，可得P A 1⊥PD 1.
＋2×2×2＋2×1
2
×2)2×2＝10.。