湖南省2019年高二第二学期期末三校联考数学(文)试题及答案

高二第二学期期末三校联考数学（文）试题
时量：120分钟 分值：150分
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求)
1. 已知全集U R =，集合{1,2,3,4,5},{|3}A B x R x ==∈≥,则
R A
C B =
( )
A ．{1}
B ． {1,2}
C ．{1,2,3}
D ． {0,1,2}
2. 复数2
1i - 的实部和模分别为（ ）
A ．1,2
B ．,2i
C ．
D
．i 3. 了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中100株树木的底部周长(单位:cm).根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图),那么在这100株树木中,底部周长大于110cm 的株数是 ( )
A ．80
B ．70
C ．60
D ．30
4. 如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是相邻两边的长分别为1和2的矩形，俯视图是
一个圆，那么这 个几何体的体积为（ ）
A ．4π
B ．π
C ．12π
D ．13π
5.“3x >”是“2
560x x -+>”的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
6. 若平面向量
(1,2)a =-与b 的夹角为π，且||35b =b 的坐标为 ( )
(3,6)-(3,6)-C (6,3)-(6,3)-90 110
100 120
第3题图
正视图
侧视图 俯视图
第4题图
7. 设某大学的女生体重y (单位：kg )与身高x (单位：cm )具有线性相关关系，根据一组样本数据(i x ，i y )(1,2,3,
,n i =)，用最小二乘法建立的回归方程为ˆ0.8585.71y
x =-，则下列结论中不正确的是( )
A ．y 与x 具有正的线性相关关系
B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )
C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg
D ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg
8. 在ABC ∆中，若2
2
2
sin sin sin A B C +<，则ABC ∆的形状是( )
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．不能确定
9. 设二元一次不等式组
14
60x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+-≤⎩
所表示的平面区域为M ，使函数
(0,1)x
y a a a =>≠的图象经过区域M 的a 的取值范围是（ ）
A ．[1,3]
B ．[2,3]
C ． [2,5] D
．
10. 若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x += ，且[]1,1x ∈- 时，2
1)(x x f -=，函数
⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪⎪⎨⎧
<-=>=010
00lg )(x x
x x x x g 则函数
()()()
h x f x g x =-在区间[－5,5]内的零点个数是( )
A ．5
B ．7
C ．8
D ．10
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填在答题卡中对应题号的横线上）
11. 如右图的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为120颗，由此我们可以估计出阴影部分的面积约为 。

B A ,y x =⎨
⎧+==θθ
sin 1cos y x
长||AB = 。

13. 某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○●●○○○●●○○○○○●●…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 。

14. 已知椭圆C 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为3
2
，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆C 的方程为 。

15. 定义函数()f x ＝[[]]x x ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数， 如：[1.5]1=，[ 1.3]2-=-．当
[0,),x n n N *∈∈时，设函数()f x 的值域为A ，记集合A 中的元素个数为n a ，则
⑴ 3a = ； ⑵
97
n a n +的最小值为 。

三、解答题(本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分12分)
函数
()sin()
4f x M x π
ω=- (0,0M ω>>)的部分图像如图所示。

(Ⅰ) 求函数()f x 的解析式;
(Ⅱ) 锐角ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若(
)28A f π
+=,且222a c b ac +-=,
求角,,A B C 的大小。

某地为了建立幸福指标体系，决定用分层抽样的方法从公务员、工人、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见右表（单位：人）。

(Ⅰ) 求研究小组的总人数； (Ⅱ) 若从研究小组的公务员和工人中共随机选2人，求其中恰好有1人来自工人的概率。

18. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB 。

(Ⅰ) 求证：CE ⊥平面PAD ；
(Ⅱ) 若1AB =，3AD =
，CD =，45CDA ∠=，若四棱锥
P ABCD -的体积为25
时，求直线PD 与底面ABCD 所成的角。

19. (本小题满分13分) 已知
{}n a 是首项21=a 且公比1≠q 的等比数列，123
,
2,3a a a 依次成等差数列。

（Ⅰ）求数列
{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式11
1n n S S λ
+->-对任意*n N ∈恒成立，求实数λ的范围。

已知抛物线
)
0(2:21>=p py x C ，圆
22
2:8120C x y y +-+=的圆心M 到抛物线1C 的准线的距离为9
2，点P 是抛物线1C 上一点，过点M P ,的直线交抛物线1C 于另一点Q ，且||2||PM MQ =，
过点P 作圆2C 的两条切线，切点为A 、B 。

（Ⅰ）求抛物线1C 的方程；
（Ⅱ）求直线PQ 的方程及⋅的值。

21. (本小题满分13分)
已知函数()ln f x x =,
2
()()g x f x ax bx =++,函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴。

(Ⅰ) 确定a 与b 的关系；
(Ⅱ) 若0a ≥,试讨论函数()g x 的单调性；
(Ⅲ) 设斜率为k 的直线与函数()f x 的图象交于两点
1122(,),(,)A x y B x y ,(12x x <),证明:2111
k x x <<。

x
y
O P
Q
M
A B
数学（文科）
一、选择题（每小题5分，共50分）
1-5 B C D B A 6-10 B D A C C 二、填空题（每小题5分，共25分）
11. 4 12.
13. 白色 14. x236＋y29
＝1 15. ⑴ 4 ⑵27
2
三、解答题（共75分） 16. (本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由图像可知2M =…… 2分
且34824T πππ=-= ∴T π= ∴ 22T πω== …… 4分 故函数()f x 的解析式为
()2sin(2)4f x x π
=- ……6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)
知
(
)2sin 28A f A π+==
∴
sin A = (0,)2A π∈ 3A π
∴=
……8分 由余弦定理得:
2221cos 222a c b ac B ac ac +-=== (0,)B π∈ 3B π
∴=
……10分 从而
()3C A B π
π=-+=
∴
3A B C π
===
……12分
17.(本小题满分12分)
解：⑴ 依题意，7254364
y x ==……2分，解得3=y ，2=x ……4分，研究小组的总人数为9432=++（人）……6分．
⑵ 设研究小组中公务员为1a 、2a ，工人为1b 、2b 、
3
b ，
从中随机选2人，不同的选取结果有：1a 2a 、1a 1b 、1a 2b 、1a 3b 、2a 1b 、2a 2b 、2a 3b
、1b 2b 、
b b b b 10
其中恰好有1人来自工人的结果有：1a 1b 、1a 2b 、1a 3b 、2a 1b 、2a 2b 、2a 3b
……10分，
所以恰好有1人来自工人的概率为
)6.053
(106===
P ……12分．
18.（本小题满分12分）
(1)证明:因为PA ⊥平面ABCD,CE ⊂平面ABCD,所以PA ⊥CE, ……2分 因为AB ⊥AD,CE ∥AB,所以CE ⊥AD,又PA ⋂AD=A, ……4分 所以CE ⊥平面PAD ……6分 (2)解:由(1)可知CE ⊥AD,在直角三角形ECD
中,DE=CD cos 451⋅=,CE=CD sin 451⋅=.
又因为AB=CE=1,AB ∥CE,所以四边形ABCE 为矩形,所以
ABCD ABCE
BCD S S S ∆=+=12AB AE CE DE ⋅+⋅=
15
121122⨯+⨯⨯=, ……8分 又PA ⊥平面ABCD,PA=h ,所以四棱锥P-ABCD 的体积等于
25
2531=
⨯⨯=h V ，3=h ……10分 PA ⊥底面ABCD ，所以直线PD 与底面ABCD 所成的角为ADP ∠
3==AD PA ,所以
4π
=
∠ADP ……12分
19. (本小题满分13分)
解： (Ⅰ) 由题，设{}n a 的公比为q ，则12n n a q -=，
由
123
,2,3a a a 依次成等差数列，所以
23
423a a =+． ……2分
即2
826q q =+，解得1q =或
13q =
又1q ≠，故1
3q =
……4分
所以数列
{}n a 的通项公式为
12
3n n a -=
． ……6分
1
23n n a -=1
2(1)
133(1)
1313n n n
S -
=
=--
则111
212332311123123123n n n n n n n S S -+-
-⨯-===-
-⨯-⨯--，2315n ⨯-≥，231[,1)2315n
∴-∈⨯-…11分
由111n n S S λ+->-恒成立，得
35λ<
． ……13分
20. (本小题满分13分)
解析：（Ⅰ）
22
2:(4)4C x y +-=，∴(0,4)M ， …………………………1分
抛物线2
1:2C x py =的准线方程是
2p
y =-
，依题意：
9422p +
=
，∴1p =，
…………………………3分 ∴抛物线
1
C 的方程为：22x y =.
…………………………4分
（Ⅱ）设PQ 的方程：4y kx =+
22
4280
2y kx x kx x y
ì=+ïï?-=íï=ïî，设1122(,),(,)P x y Q x y ，
则11(,4)PM x y =--，22(,4)MQ x y =-，
∵||2||PM MQ =，∴
2PM MQ =，122x x ∴-=…① 又122x x k +=…②，128x x =-…③， 由①②③得1±=k ,
∴PQ 的方程为：4+±=x y ………………………………………………………9分
取PQ 的方程：4y x =+，和抛物线22x y =联立得P 点坐标为P （4,8）
∴||PM =,AM BM
，||||PA PB PM ==
α=∠APM
sin AM PM a =
=
∴
21)sin 21(282cos ||||2
=-⋅=⋅=⋅ααPB PA PB PA .………… ………13分
21. (本小题满分13分)
解析：(I) 依题意得2
()ln g x x ax bx =++,则
1
'()2g x ax b x =
++
由函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得:'(1)120g a b =++= ∴21b a =--. ……3分
(II) 由(1)得22(21)1'()ax a x g x x -++=(21)(1)
ax x x --=
.
∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞ ∴当0a =时,
1
'()x g x x -=-
由'()0g x >得01x <<,由'()0g x <得1x >, 即函数()g x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞单调递减;
当0a >时,令'()0g x =得1x =或
12x a =
,
若112a <,即12a >时,由'()0g x >得1x >或102x a <<,由'()0g x <得11
2x a <<,
即函数()g x 在
1(0,
)2a ,(1,)+∞上单调递增,在1(,1)
2a 单调递减;
若112a >,即102a <<时,由'()0g x >得12x a >或01x <<,由'()0g x <得112x a <<
, 即函数()g x 在(0,1),1(
,)2a +∞上单调递增,在1
(1,)
2a 单调递减;
若112a =,即
1
2a =
时,在(0,)+∞上恒有'()0g x ≥, 即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增, 综上得:当0a =时,函数()g x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞单调递减;
102a <<
()g x (0,1)1(1,)2a 1
(,)
2a +∞
当
1
2a =
时,函数()g x 在(0,)+∞上单调递增,
当
12a >
时,函数()g x 在1(0,)2a 上单调递增,在1
(,1)
2a 单调递减;在(1,)+∞上单调递增. ……8分
(III) 依题意得
2121
2121ln ln y y x x k x x x x --=
=--,
证2
111k x x <<,即证212211ln ln 11x x x x x x -<<- 因2
10x x ->,即证21221
211ln x x x x x
x x x --<< 令21x t x =(1t >),即证11ln 1t t t -<<-(1t >) 令1()ln 1h t t t =+-(1t >)则22
111'()t h t t t t -=-=0> ∴()h t 在(1,+∞)上单调递增,
∴()(1)h t h >=0,即
1
ln 1t t >-
(1t >)--------------②
综①②得11ln 1
t t t -<<-(1t >),即2
111k x x <<. ……13分。