贵州省兴义九中高二数学下学期4月月考试题 文 新人教A版

高二下学期4月月考文科数学试题
I 卷
一、选择题
1．若a 与b c -都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“()a b c ⊥-”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】C
2． 已知),3,2(),,(),1,6(--===CD y x BC AB ∥DA ，则y x 2+的值为（ ） A ．2 B ． 0
C ． 5.0
D ． －2
【答案】B
3．在ABC ∆中，90C =︒，且CA=CB=3，点M 满足2BM MA =，则CM CB ⋅等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 【答案】B 4．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )
A ．2－1
B ．1
C ． 2
D ．2 【答案】B
5．如图，△ABC 中，｜AB ｜＝3，｜AC ｜＝1， D 是BC 边中垂线上任意一点，则AD ·（AB
－AC ）的值是( )
A ．1
B
C ．2
D ．4
【答案】D
6．直线1ax by +=与圆122=+y x 相交于不同的A,B 两点（其中b a ,是实数），且
0OA OB ⋅>(O 是坐标原点)，则点P ),(b a 与点1
(0,)2
距离的取值范围为（ ）
A ．(1,)+∞
B ．1(,)2
+∞
C ．1(2
D ．11
(,
22
+ 【答案】D
7．O 是ABC ∆所在平面内的一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆的形状一定为
( ）
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．斜三角形
【答案】C
8．已知A ，B ，C 是锐角ABC ∆的三个内角，向量(sin ,1),(1,cos )p A q B =-=，则p q 与的夹角是（ ） A ．锐角 B ．钝角 C ．直角 D ．不确定
【答案】B 9．已知两点
,O 为坐标原点，点C 在第二象限，且
,则等于
A ． -1
B ． 1
C ．-2
D ． 2
【答案】A
10．设c b a ,,是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
①0)()(=⋅-a -<-
③b a c a c b )()(-⋅不与垂直 ④)23)(23(-=-+
中，是真命题的有（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．④
D ．②④ 【答案】D
11．若O 为ABC ∆所在平面内一点，且满足(OB -OC )·(OB +OC -2OA )=0，则ABC ∆的形状为 ( ）
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．斜三角形 【答案】C
12． 下列说法中错误．．
的是（ ）
A ．零向量是没有方向的
B ．零向量的长度为0
C ．零向量与任一向量平行
D ．零向量的方向是任意的
【答案】A
II 卷
二、填空题
13．已知平面向量(4,3)a =，2(2,2)a b -=-，则a
与b 的夹角余弦值等于 。

【答案】
24
25
14．已知向量a ，b 满足|a|=2，|b|=1，a 与b 的夹角为60 0
，则|a-2b|等于 . 【答案】2
15．设a ，b ，c 是单位向量，且a =b +c ，则向量a ，b 的夹角等于 .
【答案】60° 16．已知向量a,b 满足，2,1==b a ，)(b a a +⊥，则b a 与夹角的大小是
【答案】4
3π
三、解答题
17．(1)已知a ＝(2x －y ＋1，x ＋y －2)，b ＝(2，－2)， ①当x 、y 为何值时，a 与b 共线？
②是否存在实数x 、y ，使得a ⊥b ，且|a |＝|b |？若存在，求出xy 的值；若不存在，说明理由．
(2)设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，试求向量a ＝2m ＋n 和b ＝－3m ＋2n 的夹角． 【答案】(1)①∵a 与b 共线， ∴存在非零实数λ使得a ＝λb ，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x －y ＋1＝2λx ＋y －2＝－2λ⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝13，
y ∈R.
②由a ⊥b ⇒(2x －y ＋1)×2＋(x ＋y －2)×(－2)＝0
⇒x －2y ＋3＝0.(1)
由|a |＝|b |⇒(2x －y ＋1)2＋(x ＋y －2)2
＝8.(2)
解(1)(2)得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1，
y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5
3，y ＝7
3.
∴xy ＝－1或xy ＝35
9
．
(2)∵m ·n ＝|m ||n |cos60°＝1
2
，
∴|a |2＝|2m ＋n |2
＝(2m ＋n )·(2m ＋n )＝7， |b |2＝|－3m ＋2n |2
＝7，
∵a ·b ＝(2m ＋n )·(－3m ＋2n )＝－7
2
．
设a 与b 的夹角为θ，
∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－1
2
．∴θ＝120°.
18．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(1,2)a =-，又点
(8,0),(,),(sin ,)(0)2
A B n t C k t π
θθ≤≤
(1)若,AB a ⊥且||5||AB OA =，求向量OB ；
(2)若向量AC 与向量a 共线，当4>时，且sin t θ取最大值为4时，求OA OC ∙ 【答案】(1)(8,),820AB n t AB a n t =-⊥∴-+=
又
2225||||,564(3)5OB AB n t t =∴⨯=-+=,得8t =±
(24,8)OB ∴=或(8,8)OB =--
(2)(sin 8,)AC k t θ=-
AC 与a 向量共线, 2sin 16t k θ∴=-+
232
sin (2sin 16)sin 2(sin )4k t k k k
θθθθ=-+=--+
4,104k k ∴>∴>>,∴当sin 4k θ=时，sin t θ取最大值为32
k
由324k =，得8k =，此时,(4,8)6
OC π
θ== (8,0)(4,8)32OA OC ∴∙=∙=
19．已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32
． (1)求f (x )的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；
(2)当0≤x ≤π
2时，求函数f (x )的值域．
【答案】(1)f (x )＝sin x cos x －3cos 2
x ＋
32
＝12sin2x －32(cos2x ＋1)＋32
＝12cos2x －32cos2x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3． 所以f (x )的最小正周期为π.
令sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝0，得2x －π3＝k π， ∴x ＝k 2π＋π
6
，k ∈Z.
故所求对称中心的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫k 2π＋π6，0，(k ∈Z)． (2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π
3
．
∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1， 即f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－
32，1． 20．已知向量(3,4),(6,3),(5,3)OA OB OC x y =-=-=---．（1）若点,,A B C 不能构成三角形，求,x y 应满足的条件；（2）若2AC BC =，求,x y 的值． 【答案】（1） 若点,,A B C 不能构成三角形，则这三点共线 由(3,4),(6,3),(5,3)OA OB OC x y =-=-=---得
(3,1),AB = (2,1),AC x y =--
∴3(1)2y x -=-
∴,x y 满足的条件为310x y -+=； (2）(1,)BC x y =---， 由2AC BC =得
(2,1)2(1,)x y x y --=---
∴22212x x y y -=--⎧⎨-=-⎩ 解得4
1
x y =-⎧⎨=-⎩．
21．已知2122
13)12(,)1(e e t e k e t -+=-+=，且//，试求t 关于k 的函数。

【答案】b a // ，则 -3t = ( 2t + 1 )( k 2
– 1 )
2
2211k k t +-=∴
22．设(cos ,(1)sin ),(cos ,sin ),(0,0)2
a b π
αλαββλαβ=-=><<<是平面上的两个
向量，若向量a b +与a b -互相垂直. (Ⅰ）求实数λ的值； (Ⅱ）若45a b ⋅=
，且4
tan 3
β=，求tan α的值. 【答案】（Ⅰ）由题设可得()()0,a b a b +⋅-= 即2
2
0,a b -= 代入,a b 坐标可得22222cos +(1)sin cos sin 0αλαββ---=.
222(1)sin sin 0,λαα∴--=0,0,22
π
αλλ<<
>∴=.
(Ⅱ）由（1）知，4
cos cos sin sin cos(),5
a b αβαβαβ⋅=+=-=
02π
αβ<<<
∴ 02π
αβ-
<-<33
sin(),tan()54
αβαβ∴-=--=-.
34tan()tan 743tan tan[()]=
341tan()tan 24
1()43
αββααββαββ-+
-+∴=-+==--⋅--⨯. 7
tan 24α∴=。