江苏省2019高考数学总复习 优编增分练：高考附加题加分练(三)坐标系与参数方程

(三)坐标系与参数方程
1．(2018·南京六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，Ox 为极轴建立极坐标系，
曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋2t ，y ＝1－t (t 为参数)．求直
线l 被曲线C 截得的弦长．
解 曲线C 的直角坐标方程是x 2＋(y －1)2＝1，
直线l 的普通方程是x ＋2y －3＝0，
圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|2－3|12＋22＝55
， 所以直线l 被曲线C 截得的弦长为 212－⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝455. 2．(2018·江苏南京外国语学校月考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝m ＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数，m 为常数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极
坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.若直线l 与圆C 有两个不同的公共点，求实数m 的取值范围．
解 圆C 的普通方程为(x －m )2＋y 2＝4. 直线l 的极坐标方程化为ρ⎝
⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝2， 即22x ＋22
y ＝2，化简得x ＋y －2＝0.
因为圆C 的圆心为C (m,0)，半径为2，圆心C 到直线l 的距离d ＝|m －2|2
，直线l 与圆C 有两个不同的公共点，所以d ＝|m －2|2<2， 解得2－22<m <2＋22，
即实数m 的取值范围是(2－22，2＋22)．
3．(2018·江苏南京师大附中模拟)在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝22cos θ和直线l ：θ
＝π4
(ρ∈R )相交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 解 圆C ：ρ＝22cos θ的直角坐标方程为 x 2＋y 2－22x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝2.
直线l ：θ＝π4
(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝x . 圆心C 到直线l 的距离d ＝
|2－0|2
＝1. 所以AB ＝2.
4．(2018·江苏泰州中学月考)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，π2，曲线C 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＝1，曲线D 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos α，y ＝sin α
(α为参数)．曲线C 和曲线D 相交于A ，B 两点．
(1)求点P 的直角坐标；
(2)求曲线C 的直角坐标方程和曲线D 的普通方程；
(3)求△PAB 的面枳S ，
解 (1)设点P 的直角坐标为(x ，y )，
则x ＝2cos π2＝0，y ＝2sin π2
＝2， ∴点P 的直角坐标为()0，2.
(2)将ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入ρcos θ－ρsin θ＝1，
得x －y ＝1，
∴曲线C 的直角坐标方程为x －y －1＝0.
消去方程⎩⎪⎨
⎪⎧ x ＝1＋cos α，y ＝sin α 中的参数α， 得(x －1)2＋y 2＝1，
∴曲线D 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.
(3)因为直线C ：x －y －1＝0过圆D ：(x －1)2＋y 2＝1的圆心， ∴AB 为圆D 的直径，
∴AB ＝2.
又点P (0,2)到直线C ：x －y －1＝0的距离为d ＝
32＝322， ∴S △PAB ＝12AB ·d ＝12×2×322＝322.。