四川省乐山市夹江实验中学高二数学理下学期期末试卷含解析

四川省乐山市夹江实验中学高二数学理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是( )
A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0
参考答案：
C
【考点】等差数列的性质．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；
若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；
{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；
若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2＜0，即D不正确．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．
2. 已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（）
A. B. C. D. 不存在
参考答案：
A
3. 已知命题p：点P在直线y=2x﹣3上；命题q：点P在直线y=﹣3x+2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点P（x，y）是（）
A．（0，﹣3）B．（1，2）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）参考答案：
C
【考点】复合命题的真假．
【分析】根据已知条件便知P点是直线y=2x﹣3和直线y=﹣3x+2的交点，所以解方程组
即得点P坐标．
【解答】解：若“p且q”为真命题，则：
P既在直线y=2x﹣3上，又在y=﹣3x+2上；
所以点P是直线y=2x﹣3和y=﹣3x+2的交点；
∴解得x=1，y=﹣1；
∴P（1，﹣1）．
故选C．
4. 函数f（x）=x2﹣ln（2x）的单调增区间是（）
A．（0，] B．[，+∞]C．（﹣∞，﹣]，（0，）D．[﹣
，0），（0，]
参考答案：
B
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可．
【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=2x﹣=，
令f′（x）≥0，解得：x≥，
故f（x）在[，+∞）递增，
故选：B．
5. 某中学举行电脑知识竞赛，现将高二两个班参赛学生的成绩进行整理后分成5组，绘制成如图所示
的频率分布直方图，则参赛的选手成绩的众数与中位数可能是
参考答案：
A
略
6. 双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则n的值为
A、1
B、4
C、8
D、12
参考答案：
D
7. 对“a,b,c是不全相等的正数”，给出两个判断：①；
②不能同时成立，下列说法正确的是（）
A．①对②错B．①错②对
C．①对②对D．①错②错
参考答案：
A
8. 设点、为边或内部的两点，且，=+，则的面积与的面积之比为
A．B．C．D．
参考答案：B
略
9. 已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，坐标原点，若是的角平分线上的一点，且,则的取值范围是
A．（0，3）B．（）C．（0，4）
D．（0，）
参考答案：
D
略
10. 下列说法错误的是( ）.
A．如果命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题.
B.命题：,则
C．命题“若，则”的否命题是：“若，则”
D．特称命题“，使”是真命题.
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设a，b，c为单位向量，a、b的夹角为，则（a+ b + c）·c
的最大值为．参考答案：
12. 已知F 1，F 2是椭圆C ： =1的左、右焦点，直线l 经过F 2与椭圆C 交于A ，B ，则△ABF 1的
周长是 ，椭圆C
的离心率是
．
参考答案：
8；．
【考点】K4：椭圆的简单性质．
【分析】利用椭圆的定义可得：|AF 1|+|AF 2|=2a ，|BF 1|+|BF 2|=2a ，并且|AF 2|+|BF 2|=|AB|，进而得到答案．求出椭圆半焦距然后求解离心率即可．
【解答】解：根据题意结合椭圆的定义可得：|AF 1
|+|AF 2|=2a=4，并且|BF 1|+|BF 2|=2a=4， 又因为|AF 2|+|BF 2|=|AB|，
所以△ABF 1的周长为：|AF 1|+|BF 1|+|AB|=|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=8． a=2，b=
，c=1，所以椭圆的离心率为：
．
故答案为：8；． 13. 抛物线
上横坐标为2的点到其焦点的距离为________
参考答案：
略
14. 在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为矩形，AB=3，AD=1，AA 1=2，且∠BAA 1=∠DAA 1=60°．则异面直线AC 与BD 1所成角的余弦值为 ．
参考答案：
【考点】异面直线及其所成的角． 【分析】建立如图所示的坐标系，求出=（3，1，0），
=（﹣3，2，
），即可求出异面直线
AC 与BD 1所成角的余弦值．
【解答】解：建立如图所示的坐标系，则A （0，0，0），C （3，1，0），B （3，0，0），D 1（0，2，），
∴=（3，1，0），=（﹣3，2，），
∴异面直线AC 与BD 1所成角的余弦值为||=
，
故答案为：
．
15. 曲线
在点
处的切线平行于直线
，则
点坐标为__________．
参考答案：
或
．
【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】先设切点坐标，然后对
进行求导，根据曲线在
点处的切线平行于直线
建立
等式，从而求出切点的横坐标，代入到即可得到答案．
【解答】解：设点的坐标为， 由
，得到
，
由曲线在点处的切线平行于直线
，得到切线方程的斜率为， 即，解得
或，
当时，；当时，，
则
点的坐标为
或
．
故答案为：
或．
16. 设点P 为有公共焦点F 1、F 2的椭圆M 和双曲线Γ的一个交点，，椭圆M 的离心
率为e 1，双曲线Γ的离心率为e 2．若e 2=2e 1，则e 1= ．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
（2）若，的面积，求的值.【分析】由椭圆及双曲线的定义可知m+n=2a1，m﹣n=2a2．利用余弦定理，求得10=+，将
e2=2e1，即可求得e1．
【解答】解：设椭圆与双曲线的半长轴分别为a1，a2，半焦距为c．e1=，e2=．
设|PF1|=m，|PF2|=n，不妨设m＞n，
则m+n=2a1，m﹣n=2a2．
∴m2+n2=2+2，mn=﹣
4c2=m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，
∴4c2=2+2﹣2（﹣）×．
整理得：10c2=+9，
∴10=+，又e2=2e1，
∴40=13，e1∈（0，1）．
解得：e1=．
∴椭圆的离心率e1=．
故答案为：．
17. 已知直线（为参数），（为参数）, 若，则实数
____________．
参考答案：
-1
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）设的内角所对的边分别为，若
且.
（1）求角的大小；
参考答案：
19. （1）已知复数当实数取什么值时，复数是：
(1)零；(2)纯虚数；(3)
（2）设复数满足,且是纯虚数,求.
参考答案：
解：(1)m=1；(2)m=0；(3)m=2
（2）设复数满足,且是纯虚数,求.
解：
略
20. 如图，在直三棱柱中，，点D是AB的中点，
求证：（1）
（2）平面
参考答案：证明：（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，又由于AC平面ABC，所以CC1⊥AC.
又因为AC⊥BC BC平面BCC1B1 CC1平面BCC1B1 BC1CC1=C
所以AC⊥平面BCC1B1，又因为BC1平面BCC1B1所以AC⊥BC1………5分（2）设BC1B1C=O，连OD，则O为BC1中点
又∵D是AB中点，∴OD是△ABC1的中位线，∴OD∥AC1
又∵OD平面B1CD1, AC1平面B1CD ∴AC1∥平面B1CD……………………10分21. 已知四棱锥E－ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，AE＝BE＝，
O为AB的中点．
( I )求证：EO⊥平面ABCD；
( II )求点D到平面AEC的距离．
参考答案：
略
22. 已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=1﹣，其中n∈N*．
（Ⅰ）设b n=，求证：数列{b n}是等差数列，并求出{a n}的通项公式a n；
（Ⅱ）设C n=，数列{C n C n+2}的前n项和为T n，是否存在正整数m，使得T n＜对于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由．参考答案：
【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）利用递推公式即可得出b n+1﹣b n为一个常数，从而证明数列{b n}是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得到b n，进而得到a n；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，利用“裂项求和”即可得到T n，要使得T n＜对于n∈N*恒成立，只
要，即，解出即可．
【解答】（Ⅰ）证明：∵b n+1﹣b n==
==2，
∴数列{b n}是公差为2的等差数列，
又=2，∴b n=2+（n﹣1）×2=2n．
∴2n=，解得．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，
∴c n c n+2==，
∴数列{C n C n+2}的前n项和为
Tn=…+
=2＜3．
要使得T n＜对于n∈N*恒成立，只要，即，
解得m≥3或m≤﹣4，而m＞0，故最小值为3．
【点评】正确理解递推公式的含义，熟练掌握等差数列的通项公式、“裂项求和”、等价转化等方法是解题的关键．。