2018-2019高中数学 第3章 三角恒等变换滚动训练五 苏教版必修5

第3章 三角恒等变换
滚动训练五(§3.1～§3.3)
一、填空题
1．cos555°＝________.
答案 －6＋24
解析 cos555°＝cos(720°－165°)＝cos165°＝－cos15°＝－cos45°cos30°－sin45°sin30°＝－
6＋24. 2．sin 220°＋sin80°·sin40°的值为________．
答案 34
解析 原式＝sin 220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°)
＝sin 220°＋(sin60°cos20°＋cos60°sin20°)·(sin60°·cos20°－cos60°sin20°)
＝sin 220°＋sin 260°cos 220°－cos 260°sin 2
20°
＝sin 220°＋34cos 220°－14sin 220° ＝34sin 220°＋34cos 220°＝34
. 3．在△ABC 中，若tan A tan B ＞1，则△ABC 是________三角形．
答案 锐角
解析 ∵A ，B 是△ABC 的内角，且tan A tan B ＞1，得角A ，B 均为锐角，然后切化弦，得sin A sin B ＞cos A cos B ，即cos(A ＋B )＜0，
∴cos(π－C )＜0，∴－cos C ＜0，∴cos C ＞0，∴角C 为锐角，∴△ABC 是锐角三角形．
4．已知f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，若a ＝f (lg5)，b ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫lg 15，则a ＋b ＝________. 答案 1
解析 f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1＋sin2x 2， ∵a ＝f (lg5)，b ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫lg 15＝f (－lg5)，
∴a ＋b ＝1＋sin (2lg5)2＋1－sin (2lg5)2
＝1. 5．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin2x ，x ∈[0，π]的单调增区间为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π12，7π12 解析 y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin2x ＝sin2x cos π3－cos2x sin π3
－sin2x ＝－12sin2x －32cos2x ＝－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的单调增区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π3的单调减区间， 令π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2
＋2k π，k ∈Z ， ∴π12＋k π≤x ≤7π12
＋k π，k ∈Z ， 令k ＝0，得x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π12，7π12. 6．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋β2＝________. 答案 539
解析 ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4
. ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223
. ∵－π2<β<0，∴π4<π4－β2<π2
. ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63
. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
＋αsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539.
7．已知函数f (x )＝cos x 2⎝
⎛⎭⎪⎫3sin x 2＋cos x 2，则f (x )在[0，π]上的单调增区间为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π3 解析 f (x )＝cos x 2⎝
⎛⎭⎪⎫3sin x 2＋cos x 2 ＝32sin x ＋1＋cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋12. 由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2
，k ∈Z ， 可得2k π－2π3≤x ≤2k π＋π3
，k ∈Z . 当k ＝0时，函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3
，π3. 又x ∈[0，π]，所以f (x )在[0，π]上的单调增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π3. 8．化简sin4x 1＋cos4x ·cos2x 1＋cos2x ·cos x 1＋cos x ＝________. 答案 tan x 2
解析 原式＝2sin2x cos2x 2cos 22x ·cos2x 1＋cos2x ·cos x 1＋cos x ＝sin2x 1＋cos2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin x 1＋cos x ＝tan x 2
. 9．若sin(π－α)＝45，α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin2α－cos 2α2的值为________． 答案 425
解析 ∵sin(π－α)＝45，∴sin α＝45
， 又∵α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴cos α＝1－sin 2α＝35
， 因此，sin2α－cos 2α2＝2sin αcos α－12
(1＋cos α) ＝2×45×35－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋35＝2425－45＝425
.
10.3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°
＝________. 答案 －4 3
解析 原式＝3·sin12°cos12°－32(2cos 212°－1)sin12°＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin12°－32cos12°cos12°2cos24°sin12°
＝23sin (－48°)2cos24°sin12°cos12°＝－23sin48°sin24°cos24°
＝－23sin48°12
sin48°＝－4 3. 11．函数y ＝sin 2x －2sin x sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin 3π2的图象的对称中心是____________． 答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫k π2，－1(k ∈Z ) 解析 ∵y ＝sin 2x －2sin x sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin 3π2 ＝sin 2x －2sin x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12sin x ＋32cos x －1 ＝－3sin x cos x －1＝－
32sin 2x －1. 令2x ＝k π(k ∈Z )，得x ＝
k π2(k ∈Z )． ∴该函数的对称中心为⎝
⎛⎭⎪⎫k π2，－1(k ∈Z )． 二、解答题 12．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35，π2
≤α≤3π2，求1－cos2α＋sin2α1－tan α的值． 解 由cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α＝35，得22cos α－22sin α＝35， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 22
cos α－22sin α＝35，sin 2α＋cos 2α＝1，
得⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝－7210，cos α＝－210或⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝210，cos α＝7210.
∵π2≤α≤3π2
，∴cos α≤0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝－7210，cos α＝－210
.
∴tan α＝7，
∴1－cos2α＋sin2α1－tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1－tan α
＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－72102＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－7210×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2101－7＝－2875
. 13．已知向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(22＋sin x ，22－cos x )，函数f (x )＝m ·n ，x ∈R .
(1)求函数f (x )的最大值； (2)若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π且f (x )＝1，求cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋5π12的值． 解 (1)因为f (x )＝m ·n ＝cos x (22＋sin x )＋sin x ·(22－cos x )
＝22(sin x ＋cos x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4(x ∈R )， 所以f (x )的最大值是4.
(2)因为f (x )＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝14. 又因为x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3π2，－π，即x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π4，－3π4. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－154. cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin π6 ＝－154×32－14×12＝－35＋18
. 三、探究与拓展
14．函数f (x )＝sin 2
x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调减区间是__________． 答案 π ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )
解析 由题意，知f (x )＝1－cos2x 2＋12sin2x ＋1＝12sin2x －12cos2x ＋32＝22sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋3π8
≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故单调减区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )． 15．设f (x )＝4cos ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx －π6sin ωx －cos(2ωx ＋π)，其中ω＞0. (1)求函数y ＝f (x )的值域；
(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2上为单调增函数，求ω的最大值． 解 (1)f (x )＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫32cos ωx ＋12sin ωx sin ωx ＋cos2ωx ＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx
＝3sin2ωx ＋1(ω＞0)．
因为－1≤sin2ωx ≤1，
所以函数y ＝f (x )的值域为[1－3，1＋3]．
(2)因为y ＝sin x 在闭区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上为单调增函数，所以f (x )＝3sin2ωx ＋1(ω＞0)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω(k ∈Z )上为单调增函数． 依题意，知⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2
，π2⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω对某个k ∈Z 成立，此时必有k ＝0，于是⎩⎪⎨⎪⎧ －3π2≥－π4ω，π2≤π4ω，
解得0＜ω≤16，故ω的最大值为16
.。