2020届中考数学总复习课件：第19课时 等腰三角形

解：(1)理由：∵△ABC 是等边三角形，E 为 AB 的中点， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠BCE＝12∠ACB＝30°，AE＝BE，∵ED＝EC，∴∠D＝∠BCE ＝30°， ∵∠ABC＝∠D＋∠BED，∴∠BED＝30°＝∠D， ∴BE＝DB，∴AE＝DB；
(2)理由：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，∴∠DBE＝120°， ∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∠FEC＝∠DCE，∠A＝∠AEF＝ ∠AFE＝60°， ∴△AEF 是等边三角形，∠EFC＝120°，AE＝EF，BE＝CF， ∵DE＝EC，∴∠D＝∠DCE，∴∠FEC＝∠D，
图 19－6
【解析】 ∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝(180°－∠B)÷2＝70°，∴∠DAC＝∠BDA－ ∠C＝34°.
8．[2018·娄底]如图 19－7，△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于 D 点，DE⊥AB 于点 E， BF⊥AC 于点 F，DE＝3 cm，则 BF＝__6__cm.
第12题答图
(2)∵DE＝AE，∴∠A＝∠ADE， ∵∠ADE＝∠DBE＋∠DEB， 又∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB， ∴∠A＝∠ADE＝2∠ABE， ∵∠BEC＝∠A＋∠ABE，∴∠BEC＝3∠ABE.
13．(15 分)如图 19－11，在等边三角形 ABC 中，点 E 在边 AB 上，点 D 在直线 BC 上， 且 DE＝EC.
10．[2019·武威]定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值 k 称为这个等腰三 角形的“特征值”．若等腰三角形 ABC 中，∠A＝80°，则它的特征值 k＝85_或__14_．
【解析】 ①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为180°－2 80°＝50°，∴特征值 k ＝8500°°＝85；②当∠A 为底角时，顶角的度数为 180°－80°－80°＝20°，∴特征值 k＝2800°°＝ 14.综上所述，特征值 k 为85或14.
三、解答题(共 10 分) 11．(10 分)[2019·重庆]如图 19－9，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D. (1)若∠C＝42°，求∠BAD 的度数； (2)若点 E 在边 AB 上，EF∥AC 交 AD 的延长线于点 F.求证：AE＝FE.
图 19－9
解：(1)∵AB＝AC，AD⊥BC 于点 D， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°， 又∵∠C＝42°，∴∠BAD＝∠CAD＝90°－42°＝48°； (2)证明：∵EF∥AC，∴∠F＝∠CAD， ∵∠BAD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠F，∴AE＝FE.
第四单元 三角形
第19课时 等腰三角形
一、选择题(每题 6 分，共 30 分) 1．如图 19－1，已知等腰三角形 ABC，AB＝AC，若以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧， 交腰 AC 于点 E，则下列结论一定正确的是( C )
图 19－1
A．AE＝EC C．∠EBC＝∠BAC
B．AE＝BE D．∠EBC＝∠ABE
12．(15 分)[2019·攀枝花]如图 19－10，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的高，BE 是 AC 边上的中线，且 BD＝CE.求证： (1)点 D 在 BE 的垂直平分线上； (2)∠BEC＝3∠ABE.
图 19－10
证明：(1)如答图，连结 DE， ∵CD 是 AB 边上的高， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∵BE 是 AC 边上的中线， ∴AE＝CE，∴DE＝CE. ∵BD＝CE，∴BD＝DE， ∴点 D 在 BE 的垂直平分线上；
图 19－7
【解析】 在 Rt△ADB 与 Rt△ADC 中，AABD＝＝AACD，， ∴Rt△ADB≌Rt△ADC， ∴S△ABC＝2S△ABD＝2×12AB·DE＝AB·DE＝3AB， ∵S△ABC＝12AC·BF，∴12AC·BF＝3AB， ∵AC＝AB，∴12BF＝3，∴BF＝6.
9．如图 19－8，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝36°，DE 是线段 AC 的垂直平分线， 若 BE＝a，AE＝b，则用含 a，b 的代数式表示△ABC 的周长为__2a＋3b __．
图 19－8
【解析】 AB＝AC，BE＝a，AE＝b， ∴AC＝AB＝a＋b， ∵DE 是线段 AC 的垂直平分线， ∴AE＝CE＝b，∴∠ECA＝∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∴∠BCE＝∠ACB－∠ECA＝36°， ∴∠BEC＝180°－∠ABC－∠ECB＝72°， ∴CE＝BC＝b，∴△ABC 的周长为 AB＋AC＋BC＝2a＋3b.
4．[2019·青岛]如图 19－4，BD 是△ABC 的角平分线，AE⊥BD，垂足为 F.若∠ABC＝ 35°，∠C＝50°，则∠CDE 的度数为( C )
A．35° C．45°
图 19－4 B．4的角平分线，AE⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD＝12∠ABC，∠AFB ＝∠EFB＝90°，∴∠BAF＝∠BEF，∴AB＝BE，∴AF＝EF，∴AD＝ED，∴∠DAF ＝∠DEF，∵∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝95°，∴∠BED＝∠BAD＝95°，∴∠CDE ＝95°－50°＝45°.
5．如图 19－5，在△PAB 中，PA＝PB，M，N，K 分别是边 PA，PB，AB 上的点，且 AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P 的度数为( D )
A．44° C．88°
图 19－5 B．66° D．92°
【解析】 ∵PA＝PB，∴∠A＝∠B， 在△AMK 和△BKN 中，AM＝BK，∠A＝∠B，AK＝BN， ∴△AMK≌△BKN(SAS)，∴∠AMK＝∠BKN， ∵∠MKB＝∠MKN＋∠NKB＝∠A＋∠AMK， ∴∠A＝∠B＝∠MKN＝44°，∴∠P＝180°－∠A－∠B＝92°.
【解析】 ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB， ∵以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰 AC 于点 E， ∴BE＝BC，∴∠ACB＝∠BEC， ∴∠BEC＝∠ABC＝∠ACB，∴∠EBC＝∠BAC.
2．如图 19－2，在△ABC 中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以 A 和 C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连结 AD，则∠BAD 的度数为( A )
∠EFC＝∠DBE， 在△EFC 和△DBE 中，∠FEC＝∠D，
CF＝EB， ∴△EFC≌△DBE(AAS)，∴EF＝DB，∴AE＝DB；
(3)∵△ABC 的边长为 10，AE＝2，∴BC＝10， 由(2)可知 AE＝DB，∴DB＝2， ∴CD＝DB＋BC＝2＋10＝12.
A．65° C．55°
图 19－2 B．60° D．45°
3．如图 19－3，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 E，过点 E 作 MN∥BC 交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，若 BM＋CN＝9，则线段 MN 的长为( D )
图 19－3
A．6
B．7
C．8
D．9
【解析】 ∵∠ABC，∠ACB 的平分线相交于点 E， ∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB. ∵MN∥BC，∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB， ∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN， ∴BM＝ME，EN＝CN.∵MN＝ME＋EN， ∴MN＝BM＋CN＝9.故选 D.
二、填空题(每题 6 分，共 30 分) 6．[2019·怀化]若等腰三角形的一个底角为 72°，则这个等腰三角形的顶角为_3__6_°．
7．[2019·黔东南州]如图 19－6，以△ABC 的顶点 B 为圆心，BA 长为半径画弧，交 BC 边于点 D，连结 AD.若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC 的大小为_3_4_°_．
图 19－11
(1)特殊情况，探索结论 当 E 为 AB 的中点时，如图①，确定线段 AE 与 DB 的大小关系，请你直接写出结论： AE_＝___DB(选填“＞”“＜”或“＝”)； (2)特例启发，解答题目 解：题目中，AE 与 DB 的大小关系是：AE_＝___DB(选填“＞”“＜”或“＝”)． 理由：如图②，过点 E 作 EF∥BC，交 AC 于点 F…(请你补充完成解答过程)； (3)拓展结论，设计新题 若△ABC 的边长为 10，AE＝2，求 CD 的长．