湖北省2021-2021年中考数学试题及答案

湖北省2021-2021年中考数学试题及答案
2021年中考数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答。

1.-3的相反数是（）
A。

3 B。

-3 C。

0 D。

-1
2.如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30°，则∠C的度数为（）
A。

50° B。

40° C。

30° D。

20°
3.-8的立方根是（）
A。

2 B。

-2 C。

±2 D。

0
4.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）
A。

球体 B。

圆锥 C。

棱柱 D。

圆柱
5.不等式组的整数解的个数为（）
A。

0个 B。

2个 C。

3个 D。

无数个
6.一组数据2，x，4，3，3的平均数是3，则这组数据的
中位数、众数、方差分别是（）
A。

3，3，0.4 B。

2，3，2 C。

3，2，0.4 D。

3，3，2
7.如图，在▱ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以
点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、AD于
点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能
由条件推理得出的是（）
A。

AG平分∠DAB B。

AD=DH C。

DH=BC D。

CH=DH
8.如图，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外
接圆相交于点D，连接BI、BD、DC。

下列说法中错误的一
项是（）
A。

线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合
B。

线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合
C。

∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合
D。

线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合
9.如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）
A。

1/2 B。

1/√2 C。

√2/3 D。

√3/2
10.一次函数y=ax+b和反比例函数y=k/x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象大致为（）
A。

图1 B。

图2 C。

图3 D。

图4
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。

把答案填在答题卡的相应位置上。

11.分解因式：2a2-2=2(a+1)(a-1)。

21.
1) 乙队单独施工需要60天才能完成该项工程。

2) 若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工20天才能完成该项工程。

22.
1) ①连接OC，由三角形OAC和OBC的全等可得，
∠OCA=∠OCB，即直线AB是⊙O的切线。

②连接EF，由相交弧定理可得，∠XXX∠EDC。

2) 由三角形OED和OFD的全等可得，OE=OF，由此可得，DE=DF+EF，即EF=DE-DF=4.由相似三角形OGE和OCD可得，OG/OC=OE/OD，即OG/1=(OE+DE)/OD，即
OG/1=(OE+6)/OD，由此可得，OD=OG/(OE+6)。

由相似三角形OAF和OGD可得，AF/OG=OA/OD，即AF/1=2/OD，代入上式可得，AF=2OG/(OE+6)。

由此可得，EG=AF-
AG=2OG/(OE+6)-6，代入EG=2可得，OG=18/5.由相似三角形OGE和OCD可得，CD/OG=OC/OE，即
CD/18*5=1/(OE+6)，由此可得，CD=90/(OE+6)。

23.
1) 年利润W（万元）=y(x-30)-30y=xy-30y-30.即W（万元）=x(y-30)-30.
2) 对W（万元）=x(y-30)-30求导，得W'（万元）=y-30，令W'（万元）=0，可得y=30.由此可得，当该产品的售价x
（元/件）为30元/件时，企业销售该产品获得的年利润最大，最大年利润为-900万元。

3) 当年销售量不少于25万件时，企业销售该产品的年利
润不少于750万元。

即y≥25，代入y=x(x-30)可得，x≥15或
x≤-5，所以该产品的售价x（元/件）的取值范围为x≥15或
x≤-5.
24.
1) 由折叠可得，DE=DF，∠EDF=90°，所以四边形EFDG 是菱形。

2) 由折叠可得，∠XXX∠XXX，所以XXX。

由相似三角形AEB和DGC可得，EB/CG=AB/DC=1/2，所以XXX。

由相似三角形AFC和DGE可得，FC/GE=AC/DG=2/3，所以
GE=3FC/2.由相似三角形ABE和DGC可得，
BE/CG=AB/DC=1/2，所以CG=2BE。

代入EB=CG/2可得，EB=BE，所以BE=2GE/3=FC。

3) 代入AG=6和EG=2可得，OG=2，由相似三角形OGE 和OCD可得，CD/OG=OC/OE，即CD/2=1/(OE+6)，代入
DE=10和DF=6可得，OE=2，代入CD/2=1/(OE+6)可得，
CD=4.
25.
1) B点坐标为（0，3），C点坐标为（3，0），抛物线的解析式为y=-x^2+3x+1，顶点D的坐标为（3/2，25/4）。

2) 设P的坐标为（t，-t+3），由对称性可得，E的坐标为（t，t），由此可得，DE的解析式为y=2t-x-1.由于DEFP为平行四边形，所以FP的坐标为（t+3,-t+3），由此可得，EF的
解析式为y=t-x+2.由于P在抛物线上，所以-
t+3=a(t+2)^2+b(t+2)+c，代入A点坐标可得，-1=4a-2b+c，由
此可得，a=1/2，b=-3，c=-1/2.代入EF的解析式可得，t=-1/2，代入FP的坐标可得，P的坐标为（5/2，3/2）。

3) 设M的坐标为（m，0），由相似三角形AMB和ADC
可得，AB/AD=MB/DC，即2/√5=m/3，由此可得，m=6/√5.由
相似三角形DNE和DPC可得，NE/PC=DE/DC=1/2，由此可得，PC=2NE，代入NE=2-2m可得，PC=8m/√5.由相似三角形FQP和FBC可得，FQ/FB=PQ/BC，即FQ/3=PQ/4，由此可得，XXX。

由相似三角形FQP和FED可得，FQ/FE=PQ/DE，即
FQ/2=(3/4)PQ/10，由此可得，FQ=3/5，代入PQ=3FQ/4可得，PQ=9/20.由相似三角形DNE和DPC可得，DN/DP=NE/PC，
即DN/DP=(2-2m)/(8m/√5)，代入m=6/√5可得，DN/DP=√5/2，所以△QMN为等腰直角三角形的条件是MQ=QN，即
MN=2PQ，代入PQ=9/20可得，N的横坐标为3/5，代入
MN=2PQ可得，M的横坐标为-6/5.
考点】不等式组．
分析】本题考查了解不等式组的整数解的个数，可通过列出不等式组的解来判断．
解答】解：将两个不等式分别求解，得到：
x≤3，y≥﹣1
由于x和y都是整数，所以x的取值只有4个：0、1、2、3，y的取值只有3个：﹣1、0、1。

所以整数解的个数为4×3=12个．
故选A．
点评】本题考查了解不等式组的整数解的个数，需要学生掌握解不等式组的方法，同时也考查了学生的计算能力．
二、阅读理解：本大题共5小题，每小题4分，共20分，阅读下面的短文，根据短文内容从每小题所给的四个选项中选出一个最佳答案，并将其序号在答题卡上涂黑作答．
一）阅读下面的短文，回答问题．
春节是中国最重要的传统节日之一，也是中华民族最隆重、最热闹、最难忘的节日．春节是农历的正月初一，是中国的传统节日．春节前，家家户户都要进行大扫除，以除去旧年的晦气，迎接新年的好运．春节的俗非常多，如贴春联、贴窗花、吃饺子、放鞭炮等等．春节期间，人们还要互相拜年，送红包，赏花灯，看龙舞和舞狮表演．
1.春节是中国的传统节日，是哪一天？
A．公历的1月1日B．公历的12月31日C．农历的正月初一D．农历的腊月二十九
解答】解：春节是农历的正月初一．故选C．
点评】本题考查了学生对春节的了解，需要学生掌握春节的时间和基本俗．
2.春节前，家家户户都要进行什么活动？
A．贴春联B．吃饺子C．放鞭炮D．大扫除
解答】解：春节前，家家户户都要进行大扫除．故选D．点评】本题考查了学生对春节俗的了解，需要学生掌握春节的基本俗．
3.春节期间，人们还要进行哪些活动？
A．贴春联B．吃饺子C．放鞭炮D．以上都是
解答】解：春节期间，人们还要互相拜年，送红包，赏花灯，看龙舞和舞狮表演．故选D．
点评】本题考查了学生对春节俗的了解，需要学生掌握春节的基本俗．
4.你喜欢春节吗？请简述你喜欢春节的原因．
解答】解：略．
点评】本题考查了学生对春节的感受和表达能力，需要学生能够用简洁明了的语言表达自己的观点和想法．
5.你认为如何才能更好地传承和发扬春节文化？
解答】解：略．
点评】本题考查了学生对春节文化的认识和思考能力，需要学生能够提出自己的想法和建议，表达自己对传统文化的重视和珍视．
分析】首先观察反比例函数的图象，可以发现它在x轴和
y轴上都有渐近线，且经过点(1,1)。

而一次函数的图象为一条
直线，可以确定其截距b。

因此可以先确定出一次函数的图象，再通过二次函数的一些特点（如对称轴、开口方向等）来判断答案。

注意，由于题目中只给出了大致的图象，因此选项可能会存在一定的误差，需要根据直觉来判断。

解答】解：根据反比例函数的图象，可以确定其方程为
y=k/x，其中k为常数。

由于经过点(1,1)，因此k=1，即y=1/x。

根据一次函数的图象，可以确定其方程为y=-x+2.因此二次函
数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=-1/2，顶点坐标为(-1/2,5/4)。

根据选项可知，只有C符合要求。

点评】此题考查了反比例函数、一次函数和二次函数的图象，需要根据图象的特点来判断答案。

同时，由于题目只给出了大致的图象，因此需要根据直觉来判断答案。

根据勾股定理可得BE的长为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。

在△BFM和△BEO中，又有$\angle BFM=\angle BEO$，
且$\angle FBM=\angle EBO=45^\circ$，因此$\triangle BFM\sim \triangle BEO$（AA相似）。

由此可得
$\dfrac{FM}{EO}=\dfrac{BM}{BO}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$，代
入$EO=BE/2=\sqrt{2}$，解得$FM=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。

故答案为：$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。

点评】本题考查正方形的性质，以及相似三角形的性质，解题的关键是找到相似三角形，列出比例式求解。

注意在计算BE的长度时要用到勾股定理。

分析】（1）设甲队每天完成工程的进度为x，乙队每天
完成工程的进度为y，则有：
30x+15(x+y)=1，解得y=2x，代入乙队单独施工的进度为
y的式子，得乙队单独施工需要45天．
2）设甲队施工t天后，乙队单独施工需要XXX完成该项
工程，则有：
t×30+(36-t)×(30+d)=1，解得d≥15．
解答】解：（1）设乙队单独施工需要XXX完成该项工程，则有：
30×1+15(1/d+1/30)=1。

解得d=45．
乙队单独施工需要45天完成该项工程．
2）设甲队施工t天后，乙队单独施工需要XXX完成该项工程，则有：
30t+(36-t)(30+d)=1。

化XXX：td+30d≥225。

即d≥15．
乙队至少施工15天才能完成该项工程．
故答案为：（1）45；（2）15；
在RT△CDM中，因为∠DMC=90°，CM=4，
DM=DN+MN=8，所以CD=4.这道题考察了切线的判定、等腰三角形的性质、垂径定理、平行线的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键在于学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，是中考常考题型。

某襄阳市企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品。

已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年
销售量y（万件）关于售价x（元/件）的函数解析式为：y=
（-2/100）x^2 + (140/100)x - 3.问题如下：
1）如果企业销售该产品获得的年利润为W（万元），请
直接写出年利润W（万元）关于售价x（元/件）的函数解析式；
2）当该产品的售价x（元/件）为多少时，企业销售该产
品获得的年利润最大？最大年利润是多少？
3）如果企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确
定该产品的售价x（元/件）的取值范围。

这道题考察了二次函数的应用。

解析如下：
1）根据年利润=（售价-成本）×年销售量，结合x的取值范围，可列函数关系式；
2）将（1）中两个二次函数配方后，依据二次函数的性质，可得到其最值情况，比较后可得答案；
3）根据题意知W≥750，可列关于x的不等式，求解可得
x的范围。

解答如下：
1）当40≤x＜60时，W=（x-30）（-2x+140）-90，当
60≤x≤70时，W=（x-30）（-x+80）-90；
2）当40≤x＜60时，W=（-2/100）x^2 + (200/100)x - 420，即W=-(x-50)^2 + 800，所以当x=50时，W取得最大值，最大
值为800万元。

当60≤x≤70时，W=（-1/100）x^2 +
(110/100)x - 240，即W=-(x-55)^2 + 625，所以当x=60时，W
取得最大值，最大值为600万元。

因为800>600，所以当
x=50时，W取得最大值800万元；
3）当40≤x＜60时，由W≥750得：-(x-50)^2 + 800≥750，
解得：45≤x≤55.当60≤x≤70时，W的最大值为600＜750，所
以要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的售价x（元/件）的取值范围为45≤x≤55.
如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点
E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG。

1）证明四边形EFDG是菱形。

证明：因为XXX∥DF，所以∠XXX∠DFG。

由翻折的性
质可知：GD=XXX，DF=EF，∠DGF=∠EGF，因此
∠DGF=∠DFG。

所以GD=DF。

因此，DG=GE=DF=EF。

所
以四边形EFDG是菱形。

2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由。

由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF。

连接DE，交AF于点O。

因为∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，所以
△DOF∽△ADF。

因此，DF²=FO•AF。

因为FO=GF，DF=EG，所以EG²=GF•AF。

3）若AG=6，EG=2，求BE的长。

过点G作GH⊥DC，垂足为H。

因为EG²=GF•AF，
AG=6，EG=2，所以20=FG（FG+6）。

解得：FG=4.因为
DF=GE=2，所以AD=√(10²+2²)=√104，AF=10，GF=4.因为XXX，AD⊥DC，所以GH∥AD。

因此，△FGH∽△FAD。

因此，GH=4/5，BE=AD-GH=4.
1）已知点A的坐标为（-2，a），直线y=-x+3与x轴、y
轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线过A、B、C三点。

首先代入y=-x+3，得到B（3，0）和C（0，3）。

设抛物线的解析式为y=ax^2+bx+c，代入A、B、C三点，得
到三个方程：a(-2)^2+b(-2)+c=a，a(3)^2+b(3)+c=3，
a(0)^2+b(0)+c=3，解得a=-1/4，b=3/2，c=9/4，因此抛物线的
解析式为y=-1/4(x+2)(x-4)，顶点D的坐标为（1，7/4）。

2）设直线DP的解析式为y=mx+n，则由于四边形DEFP
为平行四边形，所以DP∥BC，即m=-1.代入D（1，7/4），
得到n=15/4.因此直线DP的解析式为y=-x+15/4.又因为P在抛
物线上，所以代入抛物线的解析式，得到-1/4(x+2)(x-4)=-
x+15/4，解得x=1/2，代入直线DP的解析式，得到y=7/4.因
此P的坐标为（1/2，7/4）。

3）设点M的坐标为（t，-t+3），则由于MN∥AB，所
以MN与AC垂直，即斜率为1.因此直线MN的解析式为
y=x-2t+3.设点Q的坐标为（q，-q+3），则Q的运动轨迹为线
段BA。

因此Q的坐标为（3-t，t）。

由于Q以每秒1个单位
长度的速度沿线段BA向点A运动，因此Q的运动方程为
x=3-t-t，即x=3-2t。

因此Q在t秒时的坐标为（3-2t，-t+3-
2t）。

由于QMN为等腰直角三角形，所以QN=QM，即（3-
2t-t）^2+（-t+3-2t+t-2t+3）^2=（t-1）^2+（3-t-7/4）^2，化简
得到t=5/2或t=3.因为t的取值范围为1≤t≤6，所以只有t=5/2
符合条件。

因此存在一个等腰直角三角形QMN，当t=5/2时。

解得：x=3或x=1（舍去）。

因此，将x=3代入y=﹣x+3得到y=0，P的坐标为（3，0）。

由题意可知：2≤t≤6.设直线AC的解析式为：y=m1x+n1.
将点A（﹣2，0）和点C（4，3）代入y=m1x+n1，得到
m1=3/2，n1=3/2.因此，直线AC的解析式为：y=3/2x+3/2.
由题意知：QB=t。

如图1，当∠NMQ=90°时，OQ=4﹣t。

令x=4﹣t代入y=﹣x+3，得到y=t。

因此，M的坐标为（4﹣t，t）。

由于MN∥x轴，因此N的纵坐标为t。

将y=t代入
y=x+3，得到x=t﹣2.因此，N的坐标为（t﹣2，t），MN的长
度为6﹣t。

由于MQ∥OC，因此△BQM∽△BOC，即
BQ/QO=QM/MC。

因此，t/4﹣t=6﹣t/3，解得t=2.此时QB=2，符合题意。

如图2，当∠QNM=90°时，QB=t。

点Q的坐标为（4﹣t，0）。

令x=4﹣t代入y=x+3，得到y=9﹣t。

因此，N的坐标为（4﹣t，9﹣t），MN的长度为3t﹣12.由于NQ∥OC，因此
△AQN∽△AOC，XXX。

因此，t/6=9﹣t/7，解得t=54/13.此
时QB=54/13，符合题意。

如图3，当∠NQM=90°时，过点Q作QE⊥XXX于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，设QE=a。

令y=a代入y=﹣x+3，得到x=4﹣a。

因此，M的坐标为（4﹣a，a）。

令y=a代入
y=x+3，得到x=a﹣3.因此，N的坐标为（a﹣3，a﹣2），MN
的长度为6﹣2a。

当MN=2QE时，解得a=3，MF=QE=3.因此，BF=2，QB=QF+BF=3+2=5.此时t=5/3，符合题意。

综上所述，当△QMN为等腰直角三角形时，此时t=2或
t=54/13或t=5/3.。