圆与圆位置关系常规例题

圆与圆位置关系常规例题
例1 已知圆C 1：x 2 + y 2 – 2mx + 4y + m 2 – 5 = 0，圆C 2：x 2 + y 2 + 2x – 2my + m 2 – 3 = 0，m 为何值时，（1）圆C 1与圆C 2相外切； （2）圆C 1与圆C 2内含.
【解析】对于圆C 1，圆C 2的方程，经配方后
C 1：(x – m )2 + (y + 2)2 = 9，C 2：(x + 1)2 + (y – m )2 = 4.
（1）如果C 1与C 2
32=+，
所以m 2 + 3m – 10 = 0，解得m = 2或–5.
（2）如果C 1与C 2
32-，
所以m 2 + 3m + 2＜0，得–2＜m ＜–1.
所以当m = –5或m = 2时，C 1与C 2外切；
当–2＜m ＜–1时，C 1与C 2内含.
例2 求过直线x + y + 4 = 0与圆x 2 + y 2 + 4x – 2y – 4 = 0的交点且与y = x 相切的圆的方程.
【解析】设所求的圆的方程为x 2 + y 2 + 4x – 2y – 4 + λ(x + y + 4) = 0.
联立方程组22424(4)0y x
x y x y x y λ=⎧⎨++--+++=⎩
得：2(1)2(1)0x x λλ+++-=.
因为圆与y = x 相切，所以∆=0.
即2(1)8(1)0,λλλ++-=则=3
故所求圆的方程为x 2 + y 2 + 7x + y + 8 = 0.
例3 求过两圆x 2 + y 2 + 6x – 4 = 0求x 2 + y 2 + 6y – 28 = 0的交点，且圆心在直线x – y – 4 = 0上的圆的方程.
【解析】依题意所求的圆的圆心，在已知圆的圆心的连心线上，又两已知圆的圆心分别为(–3，0)和(0，–3).
则连心线的方程是x + y + 3 = 0.
由3040x y x y ++=⎧⎨--=⎩ 解得1272
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 所以所求圆的圆心坐标是17(,)22
-. 设所求圆的方程是x 2 + y 2 – x + 7y + m = 0
由三个圆有同一条公共弦得m = –32.
故所求方程是x 2 + y 2 – x + 7y – 32 = 0.。