2020-2021初三数学下期中试卷(及答案)(1)

2020-2021初三数学下期中试卷(及答案)(1)
一、选择题
1．如图，△ABC中，DE∥BC，若AD：DB＝2：3，则下列结论中正确的（）
A．
2
3
DE
BC
=B．
2
5
DE
BC
=C．
2
3
AE
AC
=D．
2
5
AE
EC
=
2．在反比例函数y＝1k
x
-
的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是
（）
A．－1B．1C．2D．3
3．如图，在△ABC中，DE∥BC ，
1
2
AD
DB
=，DE=4，则BC的长是（）
A．8 B．10 C．11 D．12
4．已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（）
A．AB2＝AC•BC B．BC2＝AC•BC C．AC＝51
-
BC D．BC＝
51
-
AC
5．在△ABC中，若=0，则∠C的度数是（）
A．45°B．60°C．75°D．105°
6．如图，过反比例函数的图像上一点A作AB⊥轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则的值为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．下列命题是真命题的是（ ）
A ．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为2:3
B ．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9
C ．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为2:3
D ．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为4:9
8．河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比1：3，则AC 的长是( )
A ．10米
B ．53米
C ．15米
D ．103米
9．如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是»BC
上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果70A ∠︒＝，那么DOE ∠的度数为（ ）
A ．35︒
B ．38︒
C ．40︒
D ．42︒
10．如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥于E ，设ADE α∠=，且3cos 5
α=，5AB =，则AD 的长为（ ）
A ．3
B ．163
C ．203
D ．165 11．如图,在平行四边形
中，点在边上, 与相交于点,且,则与的周长之比为（ ）
A ．1 : 2
B ．1 : 3
C ．2 : 3
D ．4 : 9
12．如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（ ）
A ．12
B ．24
C ．14
D ．13
二、填空题
13．如图，等腰△ABC 中，底边BC 长为8，腰长为6，点D 是BC 边上一点，过点B 作AC 的平行线与过A 、B 、D 三点的圆交于点E ，连接DE ，则DE 的最小值是___．
14．在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，且点E 将AD 分为2：3的两部分，连接BE 、AC 相交于F ，则AEF CBF S S ∆∆：是_______．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A 、B 的坐标分别为（8，0）、（0，23），C 是AB 的中点，过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ，动点P 从点D 出发，沿DC 向点C 匀速运动，过点P 作x 轴的垂线，垂足为E ，连接BP 、EC ．当BP 所在直线与EC 所在直线垂直时，点P 的坐标为____
16．学校校园内有块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化环境，预计花园每平方米造价为30元，学校建这个花园至少需要投资________元．
17．如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB 两段(AP PB >),其中AP 是AB 与PB 的比例中项,那么:AP AB 的值为________．
18．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，2EC BE =，联结AE 交BD 于点F ，若BFE ∆的面积为2，则AFD ∆的面积为______.
19．已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是______厘米．
20．如图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为________．（结果保留π）
三、解答题
21．如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD 切⊙O于点D，连接AD．
(1)求证：BC＝CD；
(2)若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长．
22．如图，一次函数y＝kx+2的图象与反比例函数y＝m
x
的图象交于点P，点P在第一象
限．P A⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且
S△PBD＝4，
1
2 OC
OA
．
（1）求点D的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
23．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健
身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡200AB =米，坡度为1:3；将斜坡AB 的高度AE 降低20AC =米后，斜坡AB 改造为斜坡CD ，其坡度为1:4．求斜坡CD 的长．（结果保留根号）
24．如图，AB 与CD 相交于点O ，△OBD ∽△OAC ，
OD OC ＝35
，OB ＝6，S △AOC ＝50， 求：（1）AO 的长；
（2）求S △BOD
25．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l 经过A 、B 两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C .经测量，C 位于A 的北偏东60︒的方向上，B 的北偏东30°的方向上，且10AB km =.
(1)求景点B 与C 的距离.
(2)求景点A 与C 的距离.(结果保留根号)
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
运用平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．
∵AD：DB=2：3，∴AD
AB
=
2
5
．
∵DE∥BC，∴DE
BC
=
AD
AB
=
2
5
，A错误，B正确；
AE AC =
AD
AB
=
2
5
，C错误；
AE EC =
AD
DB
=
2
3
，D错误．
故选B．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．2．A
解析：A
【解析】
【分析】
利用反比例函数的增减性，y随x的增大而减小，则求解不等式1-k>0即可．
【详解】
∵反比例函数y=1−kx图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，
∴1−k>0，
解得k<1.
故选A.
【点睛】
此题考查反比例函数的性质，解题关键在于根据其性质求出k的值.
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据AD
DB
=
1
2
，可得
AD
AB
=
1
3
，再根据DE∥BC，可得
DE
BC
=
AD
AB
；
接下来根据DE=4，结合上步分析即可求出BC的长.【详解】
∵AD
DB
=
1
2
，
∴AD
AB
=
1
3
，
∵在△ABC中，DE∥BC，
∴DE
BC
=
AD
AB
=
1
3
.
∴BC=3DE=12.
故答案选D.
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例的知识，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例定理.
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据黄金分割的定义得出
51
BC AC
AC AB
-
==，从而判断各选项．
【详解】
∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，
∴
51
BC AC
AC AB
-
==，即AC2=BC•AB，故A、B错误；
∴AC=51
2
-
AB，故C错误；
BC=51
-
AC，故D正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了黄金分割，掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键．
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．
【详解】
由题意，得 cosA=，tanB=1，
∴∠A=60°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．
故选C．
6．C
解析：C
【解析】
试题分析：观察图象可得，k＞0，已知S△AOB=2，根据反比例函数k的几何意义可得k=4，故答案选C.
考点：反比例函数k的几何意义.
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质分别对每一项进行分析即可．
【详解】
解：A、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，是假命题；
B、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，是真命题；
C、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81，是假命题；
D、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81，是假命题；
故选B．
【点睛】
此题考查了命题与定理，用到的知识点是相似三角形的性质，关键是熟练掌握有关性质和定理．
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
Rt△ABC中，已知了坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比，通过解直角三角形即可求出水平宽度AC的长．
【详解】
Rt△ABC中，BC=5米，tanA=1；
∴AC=BC÷
故选：B．
【点睛】
此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
连接CD，由圆周角定理得出∠BDC=90°，求出∠ACD=90°-∠A=20°，再由圆周角定理得出∠DOE=2∠ACD=40°即可，
连接CD ，如图所示：
∵BC 是半圆O 的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=90°-∠A=20°，
∴∠DOE=2∠ACD=40°，
故选C ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据矩形的性质可知：求AD 的长就是求BC 的长，易得∠BAC =∠ADE ，于是可利用三角函数的知识先求出AC ，然后在直角△ABC 中根据勾股定理即可求出BC ，进而可得答案.
【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠BAC =90°，BC=AD ，∴∠BAC +∠DAE =90°， ∵DE AC ⊥，∴∠ADE +∠DAE =90°，∴∠BAC =ADE α∠=，
在直角△ABC 中，∵3cos 5α=，5AB =，∴25cos 3
AB AC α==， ∴AD=BC 22222520533AC AB ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭
. 故选：C.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、勾股定理和解直角三角形的知识，属于常考题型，熟练掌握矩形的性质和解直角三角形的知识是解题关键.
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比就可得到答案．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，CD=AB．
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=1：2，
∴EC：DC=CE：AB=2：3，
∴C△CEF：C△ABF=2：3．
故选C．
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．
【详解】
过C点作CD⊥AB，垂足为D．
根据旋转性质可知，∠B′=∠B．
在Rt△BCD中，tanB=
1
3 CD
BD
，
∴tanB′=tanB=1
3
．
故选D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．
二、填空题
13．【解析】【分析】如图连接AEADOEOD作AJ⊥BC于JOK⊥DE于K首先证明∠EOD＝2∠C＝定值推出⊙O的半径最小时DE的值最小推出当AB是直径时DE 的值最小【详解】如图连接AEADOEOD作A
5
【解析】
【分析】
如图，连接AE，AD，OE，OD，作AJ⊥BC于J，OK⊥DE于K．首先证明∠EOD＝2∠C ＝定值，推出⊙O的半径最小时，DE的值最小，推出当AB是直径时，DE的值最小．
【详解】
如图，连接AE ，AD ，OE ，OD ，作AJ ⊥BC 于J ，OK ⊥DE 于K ．
∵BE ∥AC ，
∴∠EBC+∠C ＝180°，
∵∠EBC+∠EAD ＝180°，
∴∠EAD ＝∠C ，
∵∠EOD ＝2∠EAD ，
∴∠EOD ＝2∠C ＝定值，
∴⊙O 的半径最小时，DE 的值最小，
∴当AB 是⊙O 的直径时，DE 的值最小，
∵AB ＝AC ＝6，AJ ⊥BC ，
∴BJ ＝CJ ＝4，
∴AJ 22A C CJ -2264-5
∵OK ⊥DE ，
∴EK ＝DK ，
∵AB ＝6，
∴OE ＝OD ＝3，
∵∠EOK ＝∠DOK ＝∠C ，
∴sin ∠EOK ＝sin ∠C ＝256
， ∴3EK 25， ∴EK 5
∴DE ＝5
∴DE 的最小值为5
故答案为5
【点睛】
本题考查三角形的外接圆，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
14．或【解析】【分析】分两种情况根据相似三角形的性质计算即可【详解】解：①当时∵四边形ABCD 是平行四边形②当时同理可得故答案为：或【点睛】
考查的是相似三角形的判定和性质平行四边形的性质掌握相似三角形的 解析：425：或925：
【解析】
【分析】
分2332AE ED AE ED ：＝：、：＝：两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】
解：①当23AE ED ：＝：时，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
//25AD BC AE BC ∴，：＝：，
AEF CBF ∴∆∆∽，
224255AEF CBF S S ∆∆∴：＝（）＝：； ②当32AE ED ：＝：时，
同理可得，239255
AEF CBF S S ∆∆：＝（）＝：， 故答案为：425：或925：．
【点睛】
考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
15．(1)【解析】【分析】先根据题意求得CD 和PE 的长再判定△EPC∽△PDB 列出相关的比例式求得DP 的长最后根据PEDP 的长得到点P 的坐标【详解】由题意可知OB=2AO=8∵CD⊥BOC 是AB 的中点∴
解析：(1,3)
【解析】
【分析】
先根据题意求得CD 和PE 的长，再判定△EPC ∽△PDB ，列出相关的比例式，求得DP 的长，最后根据PE 、DP 的长得到点P 的坐标．
【详解】
由题意可知，OB=23，AO=8，
∵CD ⊥BO ，C 是AB 的中点，
∴BD=DO=12BO==PE ，CD=12
AO=4. 设DP=a ，则CP=4﹣a ，当BP 所在直线与EC 所在直线第一次垂直时，∠FCP=∠DBP ， 又∵EP ⊥CP ，PD ⊥BD ，
∴∠EPC=∠PDB=90°，∴△EPC∽△PDB.
DP DB
PE PC
∴=
∴
3
4
3
a
a
=
-
，
∴a1=1，a2=3（舍去）
.∴DP=1，
∵PE=3，
∴P（1，3）.
考点：1相似三角形性质与判定；2平面直角坐标系.
16．【解析】【分析】如图所示作BD⊥CA于D则在直角△ABD中可以求出BD然后求出△ABC面积；根据单价可以求出总造价【详解】如图所示AB=10AC=30∠B AC=120°作BD⊥CA于D则在直角△AB
解析：6750
【解析】
【分析】
如图所示，作BD⊥CA于D，则在直角△ABD中可以求出BD，然后求出△ABC面积；根据单价可以求出总造价．
【详解】
如图所示，AB=103，AC=30，∠BAC=120°，作BD⊥CA于D，
则在直角△ABD中，∠BAD=60°，
∴BD=ABsin60°=15，
∴△ABC面积=1
2
×AC×BD=225．又因为每平方米造价为30元，
∴总造价为30×225=6750（元）．
【点睛】
此题主要考查了运用三角函数定义解直角三角形，关键是通过作辅助线把实际问题转化为数学问题，抽象到解直角三角形中解题．
17．【解析】【分析】根据黄金分割的概念和黄金比是解答即可【详解】∵点把线段分割成和两段()其中是与的比例中项∴点P 是线段AB 的黄金分割点∴=故填【点睛】此题考察黄金分割是与的比例中项即点P 是线段AB 的黄
【解析】
【分析】
解答即可. 【详解】
∵点P 把线段AB 分割成AP 和PB 两段(AP PB >),其中AP 是AB 与PB 的比例中项， ∴点P 是线段AB 的黄金分割点，
∴:AP AB ，
. 【点睛】
此题考察黄金分割，AP 是AB 与PB 的比例中项即点P 是线段AB 的黄金分割点，即可得
到:AP AB . 18．18【解析】【分析】根据求得BC=3BE 再由平行四边形得到AD ∥BC 判定△ADF ∽△EBF 再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求得结果【详解】∵∴BC=3BE ∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD
解析：18
【解析】
【分析】
根据2EC BE =求得BC=3BE,再由平行四边形ABCD 得到AD ∥BC,判定△ADF ∽△EBF,再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求得结果.
【详解】
∵2EC BE =,
∴BC=3BE,
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC,AD=BC,
∴△ADF ∽△EBF,
∴AD=3BE,
∴AFD ∆的面积=9S △EBF =18，
【点睛】
此题考查相似三角形的判定与性质，由平行四边形ABCD 得到AD ∥BC,判定
△ADF ∽△EBF 是解题的关键，再求得对应边的关系AD=3BE,即可求得AFD ∆的面积. 19．4【解析】∵线段b 是ac 的比例中项∴解得b ＝±4又∵线段是正数∴b ＝4点睛：本题考查了比例中项的概念利用比例的基本性质求两条线段的比例中项的时候负数应舍去
解析：4
【解析】
∵线段b 是a 、c 的比例中项，∴216b ac ==，解得b ＝±
4，又∵线段是正数，∴b ＝4． 点睛：本题考查了比例中项的概念，利用比例的基本性质求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．
20．24π【解析】解：由图可知圆柱体的底面直径为4高为6所以侧面积=4π×6=24π故答案为24π点睛：本题考查了立体图形的三视图和学生的空间想象能力圆柱体的侧面积公式根据主视图判断出圆柱体的底面直径与 解析：24π
【解析】
解：由图可知，圆柱体的底面直径为4，高为6，所以，侧面积=4π×6=24π．故答案为24π．
点睛：本题考查了立体图形的三视图和学生的空间想象能力，圆柱体的侧面积公式，根据主视图判断出圆柱体的底面直径与高是解题的关键．
三、解答题
21．(1)证明见解析；
【解析】
【分析】
(1)根据切线的判定定理得到BC 是⊙O 的切线，再利用切线长定理证明即可；
(2)根据含30°的直角三角形的性质、正切的定义计算即可．
【详解】
(1)∵AB 是⊙O 直径，BC ⊥AB ，
∴BC 是⊙O 的切线，
∵CD 切⊙O 于点D ，
∴BC ＝CD ；
(2)连接BD ，
∵BC ＝CD ，∠C ＝60°，
∴△BCD 是等边三角形，
∴BD ＝BC ＝3，∠CBD ＝60°，
∴∠ABD ＝30°，
∵AB 是⊙O 直径，
∴∠ADB ＝90°，
∴AD ＝BD •tan ∠ABD ＝3．
【点睛】
本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
22．（1）D （0,2）； （2）22y x =+；12y x =
;（3）2x > 【解析】
【分析】
（1）在y=kx+2中，只要x=0得y=2即可得点D 的坐标为（0，2）．
（2）由AP ∥OD 得Rt △PAC ∽Rt △DOC ，又12OC OA =，可得13OD OC AP AC ==，故AP=6，BD=6-2=4，由S △PBD =4可得BP=2，把P （2，6）分别代入y=kx+2与m y x =可得一次函数解析式为y=2x+2反比例函数解析式为12y x
=； （3）当x ＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围由图象能直接看出x ＞2．
【详解】
解：（1）在y=kx+2中，令x=0得y=2，
∴点D 的坐标为（0，2）
（2）∵AP ∥OD ，
∴∠CDO=∠CPA ，∠COD=∠CAP ，
∴Rt △PAC ∽Rt △DOC ，
∵
12OC OA =，即13OD OC AP AC ==， ∴13
OD OC AP AC == ∴AP=6，
又∵BD=6-2=4，
∴由142
PBD S BP BD =⋅=V ，可得BP=2， ∴P （2，6）（4分）把P （2，6）分别代入y=kx+2与m y x =
可得一次函数解析式为：y=2x+2， 反比例函数解析式为：12y x
=
（3）由图可得x ＞2．
【点睛】 考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法、相似三角形等知识及综合应用知识、解决问题的能力．有点难度．
23．斜坡CD 的长是
【解析】
【分析】
根据题意和锐角三角函数可以求得AE 的长，进而得到CE 的长，再根据锐角三角函数可以得到ED 的长，最后用勾股定理即可求得CD 的长．
【详解】
∵90AEB =︒∠，200AB =，坡度为
∴tan
3ABE ∠==， ∴30ABE ∠=︒， ∴11002
AE AB ==， ∵20AC =，
∴80CE =，
∵90CED ∠=︒，斜坡CD 的坡度为1:4， ∴
14CE DE =， 即8014
ED =， 解得，320ED =，
∴CD =米，
答：斜坡CD 的长是
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
24．(1)10;(2)18.
【解析】
【分析】
（1）根据相似三角形对应边之比相等可得
BO AO ＝DO CO ＝35
，再代入BO ＝6可得AO 长； （2）根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得BOD AOC S S V V ＝925，进而可得S △BOD ． 【详解】
解：（1）∵△OBD ∽△OAC ， ∴
BO AO ＝DO CO ＝35
∵BO ＝6，
∴AO ＝10； （2）∵△OBD ∽△OAC ，
DO CO ＝35 ∴BOD AOC S S V V ＝925
∵S △AOC ＝50，
∴S △BOD ＝18．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
25．(1)BC=10km ；
【解析】
【分析】
（1）由题意可求得∠C =30°，进一步根据等角对等边即可求得结果；
（2）分别在Rt BCD ∆和Rt ACD ∆中利用锐角三角函数的知识解直角三角形即可求得结果.
【详解】
解：(1)过点C 作CD ⊥直线l ，垂足为D ，如图所示.
根据题意，得：30CAD ∠=︒，60CBD ∠=︒，
∴∠C =∠CBD －∠CAD =30°，
∴∠CAD =∠C ，
∴BC =AB =10km .
(2) 在Rt BCD ∆中，sin CD CBD BC ∠=
，∴sin 60CD BC ==o g ， 在Rt ACD ∆中，1sin 2
CD CAD AC ∠==
，∴2AC CD ==.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，属于基本题型，熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键.。