(人教版)厦门市必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》检测(答案解析)

一、选择题
1．已知(1,0),(1,0)A B -，点M 是曲线x =上异于B 的任意一点，令
,MAB MBA αβ∠=∠=，则下列式子中最大的是（ ）
A ．|tan tan |αβ⋅
B ．|tan tan |αβ+
C ．|tan tan |αβ-
D ．
tan tan α
β
2．若正数a ，b 满足21a b +=，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 有最大值12
B ．224a b +有最小值12
C ．ab 有最小值
18 D ．224a b +有最大值
14
3．若正数a ，b 满足1a >，1b >，且3a b +=，则1411a b +--的最小值为（ ） A ．4
B ．6
C ．9
D ．16
4．已知2x >，那么函数4
2
y x x =+-的最小值是（ ） A ．5
B ．6
C ．4
D ．8
5．已知1x >，0y >，且12
11x y
+=-，则2x y +的最小值为（ ）
A ．9
B ．10
C ．11
D ．7+6．若直线220ax by +-=(),a b R +
∈平分圆2
22460x
y x y +---=，则21
a b
+的最小
值是（ ）.
A ．1
B ．5
C ．
D ．3+
7．已知正实数,a b 满足1a b +=，则11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的最小值是（ ）
A ．
11
2
B ．5
C ．2+
D ．3+
8．若不等式2210ax ax ++>对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,1
B ．[)0,+∞
C ．(](),0
1,-∞+∞ D ．()0,1
9．不等式28610x x -+<的解集为（ ） A ．11(,)42
B ．11
(,)(,)4
2
-∞+∞ C ．11(,)34
--
D ．11
(,)
(,)34
-∞--+∞ 10．若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是（ ）
A ．
B ．5
C ．
D ．6
11．已知1x >，则4
1
x x +-的最小值为 A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
12．已知01a <<，1b >，则下列不等式中成立的是（ ） A ．4ab
a b a b
+<
+ B ．2ab
ab a b
<
+ C ．22222a b ab +< D ．2222a b a b +<+
二、填空题
13．有一块直角三角形空地ABC ，2
A π
∠=
，250AB =米，160AC =米，现欲建一矩
形停车场ADEF ，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，则停车场面积的最大值为________平方米.
14．已知a ，b 为正实数，且39ab a b ++=，则3a b +的最小值为_________.
15．函数12(01)1y x x x
=+<<-的最小值为________． 16．已知函数22
()(32)(2)1
f x m m x m x =-++-+的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________.
17．已知a 、b 、c 为正实数，则代数式938432a b c
b c c a a b
+++++的最小值是_________. 18．设函数4
()f x x x
=-对任意[2,)x ∈+∞，()()0f ax af x +<恒成立，则实数a 的取值范围是____________. 19．若关于x 的方程的两根都大于2，则m 的取值范围是
________
20．已知正实数,x y 满足3x+y+=xy ，则x y +的最小值为__________．
三、解答题
21．已知命题1:(2,),242x p x m x ∀∈+∞+-，命题:q 方程22
1213
x y m +=+表示焦点在x
轴上的椭圆．
（1）若p 为真，求实数m 的取值范围；
（2）若p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，求实数m 的取值范围． 22．设0,0,0a b c >>>，证明：
（1）
114a b a b
+≥+；
（2）
111111222a b c a b b c a c
++≥+++++.
23．已知不等式2320ax x -+>的解集为{1,x x <或}x b >， （1）求实数,a b 的值；
（2）解关于x 的不等式2
()0cx ac b x ab ++>-()c R ∈.
24．已知不等式2(1)(2)60a x b x ---+≥的解集为{}
31x x -≤≤ （1）求,a b 的值.
（2）求不等式2
(2)40amx bm x -++<的解集
25．已知函数
2
12
()log (1)f x x =+，26()g x x ax =-+. （1）若()g x 为偶函数，求a 的值并写出()g x 的增区间；
（2）若关于x 的不等式()0<g x 的解集为{}
23x x <<，当1x >时，求()
1
g x x -的最小值；
（3）对任意的1[1,)x ∈+∞，2[2,4]x ∈-，不等式12()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.
26．如图，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设km AB y =，并在公路同侧建造边长为km x 的正方形无顶中转站
CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，
AC ，已知1AB AC =+，且60ABC ∠=︒．
（1）求y 关于x 的函数；
（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低为多少？
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
化简曲线为2
2
1(1)x y x -=≥，易知该曲线为双曲线，分别计算选项的取值范围，即可得答案； 【详解】
设直线MA ，MB 的斜率分别为12,k k ，11(,)M x y ，则12tan ,tan k k αβ==-， 对A ，1111|tan tan |||111
y y
x x αβ⋅=⋅=+-； 对B ，C ，
tan 0,tan 0αβ><，∴|tan tan |αβ->|tan tan |αβ+，
1
|tan tan ||tan |2
tan αβαα
-=+
≥， 对D ，
1k 小于双曲线渐近线的斜率，∴
2tan tan 1tan α
αβ
=<， ∴|tan tan |αβ-最大，
故选：C. 【点睛】
通过将斜率转化为直线倾斜角的正切值，再结合基本不等式是求解的关键.
2．B
解析：B 【分析】
利用基本不等式分析2
2
,4ab a b +的最值，注意取等条件的分析，由此得到结果. 【详解】
因为21a b +=，所以12a b =+≥18ab ≤，取等号时11,24
a b ==， 所以ab 有最大值
1
8
，所以A ，C 错误； 又因为()2
2
2
11241414824a b ab b a ab =+-=-≥-⨯=+，取等号时11,24
a b ==， 所以224a b +有最小值1
2
，所以B 正确，D 错误， 故选：B. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
3．C
解析：C 【分析】
由等式3a b +=可以得到111a b -+-=，由1411
a b +--乘以111a b -+-=所求得式子和基本不等式进行求解即可. 【详解】
由3a b +=，可得111a b -+-=，10,10a b ->->， 所以
()141414(1)511111111
a b a a b b a b a b --⎛⎫+=+=++ ⎪------⎝⎭-+-
59≥+= 当且仅当12(1)b a -=-，即54
,33
b a ==时等号成立. 故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题注意观察待求式的分母，1,1a b --，结合已知条件，可变形为关于分母的式子111a b -+-=，这样就转化为“1”的常规技巧的应用.
4．B
解析：B 【分析】
根据基本不等式可求得最小值． 【详解】
∵2x >，∴442+24+2622y x x x x =
+=+-≥==--，当且仅当4
22
x x =--，即4x =时等号成立．∴y 的最小值是6． 故选：B ． 【点睛】
本题考查用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
5．B
解析：B 【分析】
利用“乘1法”将问题转化为求[]12(1)211x y x y ⎛⎫
-+++ ⎪-⎝⎭
的最小值，然后展开利用基本不等式求解． 【详解】
1x >，10x ->，又0y >，且
12
11x y
+=-， 2(1)21x y x y ∴+=-++
[]12(1)211x y x y ⎛⎫
=-+++ ⎪-⎝⎭
22(1)
61y x x y
-=+
+- 262
x +-10=， 当且仅当
22(1)
1y x x y
-=-，解得4x =，3y =时等号成立， 故2x y +的最小值为10． 故选：B ． 【点睛】
本题考查利用基本不等式求最和的最值，考查“1”的巧妙运用，难度一般，灵活转化是关键.
6．D
解析：D 【分析】
根据条件可知直线过圆心，求解出,a b 的关系式，利用常数代换法以及基本不等式求解出
21
a b +的最小值. 【详解】
因为直线220ax by +-=(
),a b R
+
∈平分圆2
22460x
y x y +---=，所以直线
220ax by +-=过圆心，
又因为圆的方程()()2
2
1211x y -+-=，所以圆心为()1,2，所以222a b +=，即
1a b +=，
所以
(
)21212333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+=++≥+=+ ⎪⎝⎭ 取等号时222a b =
即a =
，此时21a b ==，
故选：D. 【点睛】
本题考查圆的对称性与基本不等式的综合应用，其中涉及到利用常数代换法求解最小值，对学生的理解与计算能力要求较高，难度一般.利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.
7．C
解析：C 【分析】
将原式变形为()2
2
11b a b b a b ab
++⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用基本不等式计算可得； 【详解】
解：()2
2
2111b a b b b a b ab ab
+++⎛⎫+== ⎪⎝⎭
)
(
)
2
222
22222a ab
ab b a ab ab
ab
ab
++++==
≥
=，
当且仅当a =
时取等号，即2a =
1b =时等号成立，
故选：C ． 【点睛】
本题考查基本不等式的应用，属于中档题.
8．A
解析：A 【分析】
设函数()2
21f x ax ax =++，把不等式2210ax ax ++>在x ∈R 上恒成立，转化为
()0f x >对于x R ∀∈恒成立，结合函数的性质，即可求解.
【详解】
解：设函数()2
21f x ax ax =++，
则不等式2210ax ax ++>在x ∈R 上恒成立，即()0f x >对于x R ∀∈恒成立， 当0a =时，()10f x =>，显然成立； 当0a ≠时，要使()0f x >在x ∈R 上恒成立，
需函数()2
21f x ax ax =++开口向上，且与x 轴没有交点，
即2
0(2)410a a a >⎧⎨∆=-⨯⨯<⎩
，解得01a <<， 综上知，实数a 的取值范围为[0,1).
故选：A. 【点睛】
本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与计算能力.
9．A
解析：A 【分析】
运用因式分解法，化为一元一次不等式组，解不等式，求并集即可得到所求解集． 【详解】
解：28610x x -+<即为(21)(41)0x x --<， 即有210410x x ->⎧⎨
-<⎩或210
410x x -<⎧⎨->⎩
，
可得x ∈∅或
11
42
x <<， 即解集为1(4，1
)2
，
故选A ． 【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．
10．B
解析：B 【解析】
试题分析：已知两边同时除以
，得到
，
那么
等号成立的条件是，即
，所以
的最小值是5，故选B ．
考点：基本不等式
11．C
解析：C 【分析】
由1x >，得10x ->，则44
1111
x x x x +
=-++--，利用基本不等式，即可求解．
【详解】
由题意，因为1x >，则10x ->，
所以44111511x x x x +
=-++≥=--， 当且仅当411
x x -=-时，即3x =时取等号，
所以4
1
x x +
-的最小值为5，故选C ． 【点睛】
本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
12．D
解析：D 【分析】
本题先根据完全平方公式与基本不等式得到()2
2224a b a ab b ab +=++>，所以排除选项A
2211ab
a b a b
>
=
++，所以排除选项B ；接着根据基本
>
=，所以排除选项C ；最后根据基本不等式得
到选项D 正确. 【详解】
解：对于选项A ：因为01a <<，1b >，
所以()2
2224a b a ab b ab +=++>，故选项A 错误；
对于选项B 2211ab
a b a b
>
=
++，故选项B 错误；
对于选项C
>
=C 错误；
对于选项D ：()2
2222222a b a ab b a b +>++=
+， 所以a b +<，故选项D 正确. 故选：D . 【点评】
本题考查基本不等式的应用、学生的运算能力和转换能力，是基础题.
二、填空题
13．【分析】设米米根据可得出利用基本不等式可求得的最大值即为所求【详解】设米米则即整理可得由基本不等式可得当且仅当时即当时等号成立因此停
车场面积的最大值为平方米故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式 解析：10000
【分析】
设AD x =米，AF y =米，根据tan DE CF AC
ABC BD EF AB
∠=
==可得出16254000x y +=，利用基本不等式可求得xy 的最大值，即为所求.
【详解】
设AD x =米，AF y =米，则250BD AB AD x =-=-，
160CF AC AF y =-=-，
tan DE CF AC ABC BD EF AB ∠=
==，即160160
250250
y y x x -==-，整理可得16254000x y +=， 由基本不等式可得400016252162540x y x y xy =+≥⨯=，10000xy ∴≤， 当且仅当162516254000x y x y =⎧⎨
+=⎩时，即当125
80x y =⎧⎨=⎩
时，等号成立.
因此，停车场面积的最大值为10000平方米. 故答案为：10000. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
14．6【分析】利用基本不等式得出的不等式解之可得的最小值【详解】∵∴∴当且仅当即时等号成立故答案为：6【点睛】方法点睛：本题考查用基本不等式求最小值解题方法是用基本不等式得出关于的不等式然后通过解不等式
解析：6 【分析】
利用基本不等式得出3a b +的不等式，解之可得3a b +的最小值． 【详解】
∵0,0a b >>，∴211
933(3)(3)(3)312
ab a b a b a b a b a b =++=
⋅++≤+++． (318)(36)0a b a b +++-≥，∴36a b +≥，当且仅当3a b =，即3,1a b ==时等号成
立， 故答案为：6． 【点睛】
方法点睛：本题考查用基本不等式求最小值，解题方法是用基本不等式得出关于3a b +的不等式，然后通过解不等式得出结论．不是直接由基本不等式得最小值，解题时也要注意基本不等式成立的条件．即最小值能否取到．
15．【分析】函数变形为利用基本不等式1求最小值【详解】当且仅当即时等号成立所以函数的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正就是各项必须为正数；（
解析：3+【分析】 函数变形为12(1)1y x x x x ⎛⎫=++- ⎪-⎝⎭
，利用基本不等式“1”求最小值. 【详解】
01x <<，011x ∴<-<，
121212
(1)333111x x y x x x x x x x x -⎛⎫∴=
+=++-=++≥+=+ ⎪---⎝⎭，
当且仅当
121x x
x x
-=-，即1x =时，等号成立.
所以函数12
(01)1y x x x
=
+<<-的最小值为3+.
故答案为：3+【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
16．【分析】因为函数的定义域为即不等式恒成立需按二次项系数：为零与不为零分类讨论当系数不为零时只需让系数大于零且根的判别式小于零解此不等式组即可求出的取值范围【详解】∵函数的定义域为∴对于任意恒有①若则
解析：2
(,)[2,)3
-∞⋃+∞
【分析】
因为函数的定义域为R ，即不等式2
2
(32)(2)10m m x m x -++-+>恒成立，需按二次项系数：232m m -+为零与不为零，分类讨论，当系数不为零时，只需让系数大于零且根的判别式小于零，解此不等式组，即可求出m 的取值范围. 【详解】
∵ 函数()f x 的定义域为R ，
∴ 对于任意x ∈R ，恒有22(32)(2)10m m x m x -++-+>， ① 若2320m m -+=， 则2m =或1， 当1m =时，
不等式即为101x x -+>⇒<， 不符合题意， 当2m =时，
不等式即为10>，符合题意， ∴ 2m =符合题意；
② 若2320m m -+≠，由题意得
()222
320
24(32)0
m m m m m ⎧-+>⎪⎨∆=---+<⎪⎩， 解得：2m >或23
m <；
综上可得，m 的取值范围是2m ≥或2
3
m <．
故答案为：2(,)[2,)3
-∞⋃+∞. 【点睛】
关键点睛：本题主要考查二次不等式的恒成立问题．讨论二次项系数为零与不为零，当系数不为零时，只需让系数大于零且根的判别式小于零是解决本题的关键.
17．【分析】先由题意令得到代入所求式子化简整理根据基本不等式即可求出结果【详解】因为abc 为正实数不妨令则所以当且仅当即即时等号成立故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三 解析：
4748
【分析】
先由题意，令38432b c x c a y a b z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，得到111386131216411161612a x y z b x y z c x y z ⎧=-++⎪⎪
⎪
=-
+⎨⎪
⎪
=+-⎪⎩
，代入所求式子，化简整理，根据基本不等式，即可求出结果. 【详解】
因为a 、b 、c 为正实数，不妨令38432b c x c a y a b z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，则111386131216411161612a x y z b x y z c x y z ⎧
=-++⎪⎪
⎪
=-
+⎨⎪
⎪
=+-⎪⎩
， 所以111131393
93
862164216438432x y z x y z x y z
a b c b c c a a b x y z
-++-++-++=+++++ 1339338621642164
y z x z x y x x y y z z =-+++-+++-
6139488262164y x z x y z x y x z z y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-
++++++ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
61474848
≥-
+=， 当且仅当823629164y
x x y z x
x z
y z z y ⎧=⎪⎪
⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩
，即::1:2:3x y z =，即::10:21:1a b c =时，等号成立. 故答案为：4748
. 【点睛】 易错点睛：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
18．【分析】由题意可得在恒成立运用参数分离和讨论结合恒成立思想和不等式的解法即可得到所求范围【详解】函数对任意恒成立即有即有在恒成立当时由于不满足题意；当时由于可得解得或即有成立则的取值范围是故答案为： 解析：(,1)-∞-
【分析】
由题意可得2
1
2ax a a
<+
在[2，)+∞恒成立，运用参数分离和讨论0a >，0a <，结合恒成立思想和不等式的解法，即可得到所求范围． 【详解】 函数4
()f x x x
=-，对任意[2x ∈，)+∞，()()0f ax af x +<恒成立， 即有440a ax ax ax x
-
+-<， 即有2
12ax a a ⎛⎫<+ ⎪⎝
⎭在[2，)+∞恒成立，
当0a >时，2
2121x a ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，由于2[4x ∈，)+∞，不满足题意；
当0a <时，2
2121x a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，由于2[4x ∈，)+∞，可得21214a ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，
解得1a >或1a <-，即有1a <-成立． 则a 的取值范围是(,1)-∞-． 故答案为：(,1)-∞-． 【点睛】
本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和单调性，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．
19．；【详解】令由条件可得：解得：
解析：(5,4]--； 【详解】
令2
()(2)5f x x m x m =+-+-，
由条件可得：22(2)042(2)5022222(2)4(5)0
40f m m b m a m m b ac >+-+->⎧⎧⎪⎪-⎪⎪
->⇒->⎨⎨⎪⎪---≥-≥⎪⎪⎩⎩ 解得：(5,4]--
20．6【分析】由题得解不等式即得x+y 的最小值【详解】由题得所以所以所以x+y≥6或x+y≤-2(舍去)所以x+y 的最小值为6当且仅当x=y=3时取等故答案为6【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考
解析：6
【分析】
由题得2
)34
x y x+y+=xy +≤（，解不等式即得x+y 的最小值.
【详解】
由题得2
)34
x y x+y+=xy +≤
（, 所以
2
)4(x y x y +-+≥（）-120， 所以
6)(2)0x y x y +-++≥（， 所以x+y≥6或x+y≤-2(舍去)， 所以x+y 的最小值为6. 当且仅当x=y=3时取等. 故答案为6 【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
三、解答题
21．（1）(,2]-∞；（2）(,1](2,)-∞+∞．
【分析】
（1）求出
1242
x
x +-在(2,)+∞上的最小值后可得m 的范围； （2）求出命题q 为真时m 的范围，由p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，知,p q 一真一
假，由此可求得m 的范围． 【详解】 （1）若p 为真，则
1242
x
m x +-， 而
1121121224224224x x x x x -+=++=---， 当且仅当
12
242
x x -=-，即3x =时等号成立； 故2m ，即实数m 的取值范围为(,2]-∞；
（2）若q 为真，则213m +>，故1m ； 若p 真q 假，则21m m ⎧⎨
⎩，
，
则1m ， 若p 假q 真，则21m m >⎧⎨
>⎩，
，
则2m >，
综上所述，实数m 的取值范围为(,1](2,)-∞+∞．
【点睛】
方法点睛：本题考查由命题的真假求参数，考查复合命题的真假判断．掌握复合命题的真值表是解题关键．复合命题的真值表：
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无。