福建省东山二中2018届高三上学期期中考试数学(理)试卷及答案

东山二中高三（上）理科数学期中考试卷
2017.11
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

１、i 是虚数单位，则复数i z i i
2
1(
)1+=+-的共轭复数为 （ ） Ａ、i +2 Ｂ、i -2 Ｃ、i -+1 Ｄ、i --1 ２、设命题
p ：n n N n 2,2∃∈>，则p ⌝为（ ）
Ａ、n
n N n 2
,2∀∈> Ｂ、n
n N n 2
,2∃∈≤
Ｃ、n
n N n 2
,2∀∈≤ Ｄ、n
n N n 2
,2∃∈=
３、已知函数f x x sin cos x αα=+-+2()(2)1是偶函数，则sin cos αα⋅=（ ）
Ａ、
25 Ｂ、25- Ｃ、2
5
± Ｄ、0 ４、已知向量a r ，b r 满足a 2r =，b 1r =，且a b a b 5()()2
r r r r -⊥+，则向量a r ，b r
的夹角θ
为 （ ） Ａ、
π
6
Ｂ、
π
3
Ｃ、
π23 Ｄ、π56
５、设D 为ABC ∆所在平面内一点，BC CD =3u u u r u u u r
，则 （ ）
Ａ、AD AB AC =-+1433u u u r u u u
r u u u r Ｂ、AD AB AC =-1433u u u r u u u r u u u r
Ｃ、AD AB AC =+4133u u u r u u u r u u u r Ｄ、AD AB AC =-4133
u u u r u u u r u u u r
６、设x y R a b ,,1,1∈>>
，若x
y
a b a b 3,==+=x y
11
+的最大值是（ ） Ａ、2 Ｂ、
32 Ｃ、1 Ｄ、12
７、在等差数列{}n a 中，a 12012=-，其前n 项和n S ，若
S S 10
1221210
-=，则S 2012的值等于
（ ）
Ａ、-2011 Ｂ、-2012 Ｃ、-2010 Ｄ、-2013
８、利用数学归纳法证明不等式+
++⋅⋅⋅+<≥∈-111
1()(2)2321
*n f n n ,n N 的过程，由n k =到1n k =+时，左边增加了 （ ）
Ａ、1项 Ｂ、k 项 Ｃ、12k -项 Ｄ、2k 项
９、在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C 1cos 4
=，AC CB 2u u u r u u u
r ⋅=-，且a b 5+=，
则c 等于 （ ）
Ｃ、4
10、设变量x,y 满足约束条件x y a x y x +≤⎧⎪
+≥⎨⎪≥⎩
86，且不等式x y +≤214恒成立，则实数a 的取值范围是
（ ）
Ａ、[6,9] Ｂ、[6,10] Ｃ、[8,9] Ｄ、[8,10]
11、已知函数f x ax x 3
2
()31=-+，若f x ()存在唯一的零点x 0，且x 00>，则实数a
的取值范围是 （ ） Ａ、,+∞(2) Ｂ、,+∞(1) Ｃ、,-∞-(2) Ｄ、,-∞-(1)
12、若函数f x x x b 2
()ln ()=+-（b R ∈）在区间1[,2]2
上存在单调递增区间，则实数b 的取值
范围是 （ ） Ａ、,-∞3()2 Ｂ、,-∞9()4
Ｃ、,-∞(3)
Ｄ、-∞(
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13、设全集U R =，
函数y =
的定义域为集合A ，函数y log x =+2(2)的定义域为集合B ，
则U C A B =()I 。

14、在平面几何中，“若ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，内切圆半径为r ，则三角形面积为
1
()2
ABC S a b c r ∆=
++”
，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体的四个面的面积分别为1234,,,S S S S ，内切球的半径为r ，则四面体的体积为 ”.
15、函数f x x x x m 2
2
()(sin cos )2cos =+--在π
[0,
]2
上有零点，则实数m 的取值范围
是 。

16、在ABC ∆
中，30,A BC =︒=D 是AB 边上的一点，2CD =，BCD ∆的面积为4，则AC 的长为 。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）
已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，n a 0>，n n n a a S 2
243+=+。

（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n b a a 1
1
+=，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

18、（本小题满分12分）
某服装超市举办了一次有奖促销活动，顾客消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种。

方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性抽出3个小球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优
惠；若摸到2个红球则打6折，若摸到1个红球则打7折，若没有摸到红球，则不打折；方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回的摸取，连续3次，每摸到1个红球，立减200元。

（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满1000元，则该顾客选择哪种抽奖方案更合适？
19、（本小题满分12分）
如图,三棱柱111ABC A B C -中,侧面11BB C C 为菱形, 1AB B C ⊥. （1）证明: 1AC AB =.
（2）若1AC AB ⊥,160CBB ∠=︒,AB BC =,求二面角111A A B C --的余弦值.
20、（本小题满分12分）
设,A B 为曲线2:4
x C y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4。

（1）求直线AB 的斜率；
（2）设M 为曲线C 上一点，曲线C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程。

21、（本小题满分12分） ，其中a 为常数.
（1）若01a <<，求证
（2）当()f x 存在三个不同零点时，求a 的取值范围．
22、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()f x x a =-，x R ∈。

（1）当1a =时，求()11f x x ≥++的解集；
（2）若不等式()30f x x +≤的解集包含{}
1x x ≤-，求a 的取值范围。