分数阶发展方程的cauchy问题

Degree
Ph.D. degree of Science
University
Xiangtan University
Date
April 12, 2015
摘要
本文主要研究了三类分数阶发展方程的 Cauchy 问题: 带有 Hilfer 分数阶导 数的发展方程的适度解的存在性问题; 带有 Caputo 分数阶导数的非稠定发展方 程积分解的存在性问题; 带有 Caputo 分数阶导数的非稠定发展包含的积分解的 存在性及解集的拓扑结构问题.
关键词: 分数阶微积分; 发展方程; 适度解; 非紧性测度; 发展包含; Rδ−集; 多值 分析; C0−半群.
I
Abstract
In this thesis, we study the Cauchy problems for three classes of fractional evolution systems, i.e., the existence of mild solutions for evolution equation with Hilfer fractional derivative; the existence of integral solutions for non-dense defined evolution equation with Caputo fractional derivative; topological structure of solution set for non-dense defined evolution inclusion with Caputo fractional derivative.
2.4 多值分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 C0-半群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
In Chapter 2, we introduce some preliminary knowledge about the fractional order calculus, noncompact measure, semigroup theory, the nonlinear multivalued analysis and some fundamental theorems.
Keywords: Fractional calculus; Evolution equation; Mild solution; Noncompact measure; Evolution inclusion; Rδ-set; Multivalue nonlinear analysis; C0-semigroup.
In Chapter 4, we deal with the existence of integral solutions for two classes of fractional order evolution equations with non-dense domain. First, we investigate the nonhomogeneous fractional order evolution equation and obtain its integral solution by Laplace transform and probability density function. Subsequently, based on the form of integral solution of nonhomogeneous fractional order evolution equation, we study the existence of integral solution for nonlinear fractional order evolution equation by noncompact measure method. Here, we don’t require the strongly continuous semigroup be compact, which is different from [100]. Finally, the controllability for the fractional control system with nonlocal condition is investigated.
第四章中, 我们对两类非稠定的分数阶发展方程的积分解的存在性进行研究. 首先, 我们研究了非齐次方程并且通过 Laplace 变换和借助概率密度函数得到了 积分解的等价表达式. 随后, 基于上述积分解的形式, 通过使用非紧性测度方法我 们研究了非线性分数阶发展方程积分解的存在性. 这里, 我们也并没有要求强连 续半群是紧的, 所得结果不同于文 [100]. 最后, 我们研究了非局部控制问题.
第二章 预备知识
7
2.1 一些记号, 概念和预备定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 分数阶微积分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 非紧性测度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Candidate
Haibo Gu
Advisor
Prof. Yong Zhou
College
School of Mathematics and Computational Science
Program
Applied Mathematics
Specialization
Theory of Differential Equation
In Chapter 5, based on the definition of integral solution for fractional order evolution equations with non-dense domain in Chapter 4, we firstly give the
第三章 具有 Hilfer 分数阶导数的发展方程
17
3.1 适度解的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 适度解的存在性结果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Hilfer fractional derivative, which includes Riemann-Liuoville fractional derivative and Caputo fractional derivative, has an important role in practical application. However, there is no results about evolution equation with Hilfer fractional derivative. In Chapter 3, the definition of mild solution for Hilfer fractional evolution equation is given firstly, then by using noncompact measure method and Ascoli–Arzela theorem, we obtain some sufficient conditions to ensure the existence of mild solution. Here, we don’t require the strongly continuous semigroup be compact, and the results we obtain are new and more general to known results.
在第二章, 我们引入一些预备知识关于分数阶微积分, 非紧性测度, 半群理论, 非线性多值分析和一些基础定理.
Hilfer 分数阶导数包含了 Riemann-Liuoville 分数阶导数和 Caputo 分数阶导 数, 并且在实际中有着重要的应用. 但是目前关于带有 Hilfer 分数阶导数的发展 方程相关结果还没有. 在第三章中, 我们首先给出了带有 Hilfer 分数阶导数的发 展方程适度解的定义. 然后, 通过使用非紧性测度方法和 Ascoli–Arzela 定理, 我 们获得了方程适度解存在的充分条件. 这里, 我们并没有要求强连续半群是紧的, 所获得的结果更具一般性.
分数阶发展方程的 Cauchy 问题
学位申请人 指 导 教师 学 院 名称 学 科 专业 研 究 方向 学位申请级别 学位授予单科学学院 应用数学 微分方程理论 理 学博士 湘潭大学 二零一五年四月十二日
The Cauchy Problem of Fractional Evolution Equations
II
III
concept of a integral solution for fractional differential inclusion with non-dense domain. In Section 5.2, we use weak topology approach to obtain the existence of integral solutions, avoiding hypotheses of compactness on the semigroup generated by the linear part and any conditions on the multivalued nonlinearity expressed in terms of noncompact measures. Section 5.3 is devoted to prove that the solution set for fractional evolution inclusion is a nonempty compact Rδ-set in two cases that the semigroup is compact and noncompact, respectively. In Section 5.4, the controllability for the fractional evolution inclusion is investigated. Finally, an example is given to illustrate the obtained theory.
目录
摘要
I
Abstract
II
第一章 绪论
1
1.1 研究背景及研究意义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 本文具体内容安排 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
第五章中, 基于第四章对非稠定分数阶发展方程积分解的定义, 我们首先给出 带有 Caputo 分数阶导数的非稠定发展包含积分解的定义. 在 5.2 节中, 我们使用 弱拓扑方法研究了积分解的存在性, 这避免了关于算子半群紧性的假设和一些涉 及到非线性测度的多值非线性分析条件. 5.3 节分别就算子半群是紧的和非紧的情 况, 证明了所研究的系统的解集是非空紧的 Rδ-集. 5.4 节考虑了分数阶发展包含 的可控性问题. 最后, 我们给出一个例子来说明所获得的结果的有效性.