Cholesky分解递归算法与改进

# I )
X SU Y Y " # 5 ) X 和 分 别 为 上 三 角 矩 阵 和 下 三 角 矩 阵 # UW ) ! W Y Y 分解后的矩阵 S用于求解方程 S ! TUV
算就转化成大小为 # 的分块子矩阵 S f I ) [# f I ) " Z Z E E 和S 的 运 算! 下一步对式# 和式# " " q ) E 5 ) S W W E E E I E I I I t 中子矩阵 S 和S 的. ’ 2 1 ( & 3 >分 解 可 以 进 行 同 样 E E I I 的 处理 " 将它 们分解 成大 小为 # 的子矩 f ‘ ) [# f ‘ ) Z Z 阵的运算 ! 这种过程可以一直重复下去 " 直到最终产 等足够小 " 或者更简单地 " 直到 S 的 生的子矩阵 S E E E E 阶数 为 E 此时 S 只有一 个元素 " 其. ! ’ 2 1 ( & 3 >分 解 E E
K # L
A I ‘
计 算 机 研 究 与 发 展
I B B E年
器之 间 的速度差 距 很 大 ! 计算机的性能能不能充分 多级存储结构即高缓 # 能否得到有效 利 发 挥" ) $ % & ’ ( 用成 为 关 键 ! 为 此" 现行的线性代数算法# 如 * +, 通常采用分块# 算 法! 通过将矩阵分 ) 0 1 2 $ 3 +. /) 块" 使各部分子矩阵的运算能够在高缓中进行 " 同时 尽可能地调用 * 以 提 高 运 算 效 率! 作 , 56 " ( 4 ( 1 * +7 为一种新的线性代数的计算方法 " 文献 8 提出了递 5 9 归# 算法 ! 递归具有自动矩 阵 分块 的 功 能 " ) : ( $ ; : & < 4 ( 产生 的 分块子矩 阵 的 阶 数 逐 级 减 小 并 为 方 阵 " 带来 良 好 的数据局部 性 # 使得 递 归算 法 非 常 适 ) " 1 2 $ % 1 < = > 合当今分层多级存储的计算机结构 ! 同时 " 递归算法 结构简单 " 易于实现 ! 本文对 . ’ 2 1 ( & 3 >分 解 递 归 算 法 进 行 了 深 入 研 给出了算法的详细推导过程 " 用支持递归功能的 究" 并通过矩阵元素顺序 B语 言 实 现 了 算 法 " ? 2 : = : % @A 的 重 排 进一步提 高 了 递 归 算 法 的 效 率 ! 研究产生的 算法和程序在 2 C( : .7 D- 计 算 机 上 进 行 了 测 其运算速度在大矩阵情况下比 * 试" ++. /分块 算法提高 E F GHI F G!
B C D E F G H I分解递归算法与改进
陈建平 J
J V
& K L M NOP Q R S K TQ U S
南通 # # X $ $ Y Z # " $ $ Z 6 [@ 哥本哈根 W > ‘R > > Z \ ] K R ^ _ a S a K b < \ R
V
南通工学院信息工程系 W
丹麦研究与教育计算中心 W
X l jS S l jW jW W l E E E I E E E E E I U " X X S W W k m kW k m I I I I m I E I I 计算式 # 可得 p ) X S W " E EU W E E E E
# p )
# q )
X I I I I
S E IU W W "
X SU W W " 若给定下三角部分 " 可分解成 S
# E I )
t X S W " # E 5 ) I I I IU W I I 式# 的含义为通过 W 对S 进行修改或更新" 可利 E I ) E I I I 用* 更新后的子矩 , 56 ( 4 ( 1 * +7程序 7 us / 来计算! 仍为上三角阵# 对称正定) 式# 为对更新后的 阵S ! E 5 ) I I 进行 . 由式# 计算出 W ‘ ) r # F ) ! S ’ 2 1 ( & 3 >分解" I I I I 这样 " 原来 Z [Z阶 矩 阵 S 的 . ’ 2 1 ( & 3 >分 解 运
K % L 的 , 执 行 矩 阵@ 矩阵运算Z 以调用 @ !J W > K A K 9 , +3 J , +3为核心运算的线性代数软件包也相应地从早
I 引
言
以. ] 8 9 K Q U N分解 c , ( 分解等为代表的线性代 数问题的数值计算在现代科学研究和工程技术中得 到广泛应用 > 随着计算机结构和技术的发展 ; 实现这 些线性代数数值计算的计算机算法和软件也在不断 发 展> 通用的基本线性代数子程序库 J W , +3 C P Q S \ 从 Y Z $年 代 的 , @ % 9 S R K P LP 9 = K C L PQ < C _ L 8 = L P BQ K A K 9
在具有c?2连续性的四点ternary插值细分法的构造和分析方面本文针对hassan等提出的单参数四点ternary插值细分法中细分参数的几何特征不明显不利于细分曲线形状修改的问题首先提出了一类包含两个带有明显几何特征的形状参数的双参数四点ternary插值细分法给出并证明了极限曲线c?0c?1c?2连续时参数满足的充分条件得到了相应情形下参数所属的几何区域和新顶点所属的控制区域讨论了细分法用于造型光滑插值曲线时的形状控制问题
>D n ; G < = > ? < ) K \ < L Q S 8 RS QPR K TK @ @ K \ a S A KBK a ] 8 b@ 8 L\ 8 B_ < a S R =b K R Q K9 S R K P LP 9 = K C L P a P 9 9 8 TQ@ 8 L @ >1 K @ @ S \ S K R a < a S 9 S M P a S 8 R8 @ BK B8 L N] S K L P L \ ] S K Q8 @ a 8 b P N E Q] S = ] _ K L @ 8 L BP R \ K\ 8 B_ < a K L Q ] KL K \ < L Q S A K >+ b P 9 = 8 L S a ] B@ 8 L . ] 8 9 K Q U N@ P \ a 8 L S M P a S 8 RS Q Q a < b S K bS Ra ] S Q _ P _ K L K a P S 9 K bb K L S A P a S 8 R8 @ a ] K L K \ < L Q S A K >1 $a . ] 8 9 K Q U NP 9 = 8 L S a ] BS Q= S A K R ] KP 9 = 8 L S a ] BS Qa ] K RS B_ 9 K BK R a K bS R8 L a L P Rd ] P a Q < _ _ 8 L a QL K @ >1 \ < L Q S 8 RP Q P9 P R = < P = K @ K P a < L K ] K K @ @ S \ S K R \ N8 @ a ] K L K \ < L Q S A K P 9 = 8 L S a ] BS Q @ < L a ] K L S B_ L 8 A K bC N< Q @ >1 e fg# e f @ S R =PBK a ] 8 b8 @ BP a L S FK 9 K BK R a L K 8 L b K L S R = ] KL K Q < 9 a S R =P 9 = 8 L S a ] BQP L K% P Q a K La ] P R 9 8 \ UP 9 = 8 L S a ] B> a ] K\ < L L K R a 9 N< Q K bC ;L ;BP ;BK ;$ yF IG D = H G R < BK L S \ P 9 \ 8 B_ < a P a S 8 R K \ < L Q S 8 R a L S FC 9 8 \ U S R = B8 L N] S K L P L \ ] N 8 L a L P Rd 执 行 向 量@ 向 量 运 算Z 发展到 " W ; $年 代 的 J , +3 执 行 矩 阵@ 向量运算Z 再到 d @ #J W ; $年 代 , K A K 9 , +3
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W ;,! ;,! ;# # X $ $ Y Z |} ~ ! " # $} % # & ’( % ’ & " $! # ) & %* % + ) % } } " ) % + % # & % +( % # ) # . # } & ’/ } 0 1 % & 2 & + 3 % # & % +
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X 计算 W 式# 中" 系数矩阵 W 是三角阵 " 可以调用 ! A ) E I E E
然后通过式# , 56 E B ) * ( 4 ( 1 * +7程 序 X s 7 D 求 解! 计算 W 将式 # 改写成 ! E B ) I I
X X S W W " I Ia W E I E IU W I I I I
中图法分类号
h i B j h k l m in o p q h l r st n u vl tw h q m i ti u rx q h B sq o i k yz x n B r q h l { n r l q u
@ . 42 *& S P R 0 S R = P R b& K L M NOP Q R S K TQ U S
jS S l jW W l E E E I E E E I 和 WU " # n ) S W k m k m I I I I 子矩阵 S 和W 的阶数为 o 和W 的阶数为 [o " S E E E E E I E I 和W 的阶 数为 # 这 [# ao ) " ao ) [# ao ) " o Z S Z Z I I I I 里" 子 矩阵中 " 为上 三角阵 " UZ f I ! " " " o S W S W E E E E I I I I SU 为矩形阵 ! 将式 # 代入式 # 得到 " n ) I ) S W E I E I
X E I E I
X E E E I
# A )
S # E B ) I IU W W h W W " 式# 为对子矩阵 S 进行 . 由式 # q ) ‘ ) r ’ 2 1 ( & 3 >分解 " E E X 可计算出 W 在解得 W 亦即 W 后" 由式# # F ) ! # ) A ) E E E E E E
第! "卷 第 "期 # $ $ %年 "月
计 算 机 研 究 与 发 展
78 9 : ! " ; *8 : "
+< = ># $ $ % & ’() *+,’-. ’/0 (1 2 )) 2 3 2 +) . 4 56 2 72 , ’0 /2 *1 M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M
摘
要
递归算法是计算稠密线性代数的一种 新 的 有 效 方 法 > 递归产生自动c 变化的矩阵分块; 能充分发挥当今分
级 存 储 高 性 能 计 算 机 的 效 率> 对. 给出了算法的详细推导过程; 用具有递归功 ] 8 9 K Q U N分 解 递 归 算 法 进 行 了 研 究 ; 能的 实现了算法 并通过矩阵元素顺序重排的方 法 进 一 步 提 高 了 递 归 算 法 的 运 算 速 度 研究产生的算 ; ; > $ 8 L a L P Rd 法比目前常用的分块算法快 % e fg# e f> 关键词 数值计算 ; 递归 ; 矩阵分块 ; 分级存储 ; $ 8 L a L P Rd ! $ % 1 0
原稿收到日期 ? 修改稿收到日期 ? # $ $ $ @ % $ @ % $ A # $ $ % @ $ ! @ # " 本课题得到江苏省教育厅留学回国人员科研启动经费项目基金资助
期的 , D *0 +. [ 发展到现在的 , +0 +. [W 9 S R K P LP 9 @ Z > = K C L P_ P \ U P = K 目 前; 超 标 量c 超 流 水 线c 具有多级存储结构的 高性能 ) D 3 .计算机已占据了数值计算 领域的 主导 地位 > 它们与存储 ) 3 D .处 理 器 的 运 算 速 度 非 常 快 ;
ห้องสมุดไป่ตู้# E E )
令 t X S W " I IU S I Ia W E I E I 则式 # 成为 E E )
分解递归算法 J K L M N O P Q R
. ’ 2 1 ( & 3 >分 解 用 于 求 解 系 数 矩 阵 具 有 对 称 正 定性的线性方程组 S TU V " # E ) 式# 中 为实 对称正定 矩 阵 和 为 矩 形 矩 阵 E ) " " S T V 或向量 ! 分解法只需用到矩阵 . ’ 2 1 ( & 3 > S的上三 角 部分或下三角部分元素 ! 若给定上三角部分 " S可分 解成