日照市莒县教研室中考数学试卷含解析

2017年山东省日照市莒县教研室中考数学试卷（2）
一、选择题（本大题满分42分，每小题3分）
01．若a的倒数是﹣1，则a2015的值是（）
A．1 B．﹣1 C．2015 D．﹣2015
02．若□×3xy=3x2y，则□内应填的单项式是（）
A．xy B．3xy C．x D．3x
03．某书每本定价8元，若购书不超过10本，按原价付款；若一次购书10本以上，超过10本部分按八折付款．设一次购书数量为x本（x＞10），则付款金额为（）
A．6.4x元B．（6.4x+80）元C．（6.4x+16）元D．（144﹣6.4x）元
04．使不等式x﹣1≥2与3x﹣7＜8同时成立的x的整数值是（）
A．3，4 B．4，5 C．3，4，5 D．不存在
05．如图，直线a∥b，若∠2=55°，∠3=100°，则∠1的度数为（）
A．35°B．45°C．50°D．55°
06．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是（）
A．70°B．65°C．60°D．55°
07．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）
A．1 B．1或5 C．3 D．5
08．世界文化遗产长城总长约为6700000m，若将6700000用科学记数法表示为6.7×10n（n是正整数），则n的值为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
09．为了了解2013年昆明市九年级学生学业水平考试的数学成绩，从中随机抽取了1000名学生的数学成绩．下列说法正确的是（）
A．2013年昆明市九年级学生是总体B．每一名九年级学生是个体
C．1000名九年级学生是总体的一个样本D．样本容量是1000
10．把a3﹣2a2+a分解因式的结果是（）
A．a2（a﹣2）+a B．a（a2﹣2a）C．a（a+1）（a﹣1）D．a（a﹣1）2
11．观察下列图形，其中不是正方体的展开图的为（）
A．B．C．D．
12．一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的1个白球和2个黑球．先从袋中摸出一个球后不再放回，第二次再从袋中摸出一个，那么两次都摸到黑球的概率是（）
A．B．C．D．
13．如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的
小正方形顶点上，则tan∠ACB的值为（）
A．B．C．D．3
14．将抛物线y=x2﹣2x+3平移得到抛物线y=x2，则这个平移过程正确的是（）
A．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
二、填空题（本大题满分16分，每小题4分）
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0的一个根为﹣1，则它的另一根为．
16．在平面直角坐标系中，若点（x，4），（0，8），（﹣4，0）在同一条直线上，
则x=．
17．如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD交于点O．点E是CD中点，BD=12，则△DOE的周长为．
18．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．
若AB=8，CD=2，则EC的长为．
三、解答题（本大题满分62分）
19．（1）计算：；
（2）化简：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a﹣b）（a+b）
20．从A地到B地全程290千米，前一路段为国道，其余路段为高速公路．已知汽车在国道上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，一辆客车从A地开往B地一共行驶了3.5h．求A、B两地间国道和高速公路各多少千米？
21．近年来，琼海市在国际和国内的知名度越来越大，带动旅游事业蓬勃发展，吸引大批海内外游客前来观光旅游、购物度假，下面的图1和2分别反映了该市2011﹣2014年游客总人数和旅游业总收入情况．根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）2014年游客总人数为万人次，
旅游业总收入为万元；
（2）在2012年，2013年，2014年这三年中，
旅游业总收入增长幅度最大的是年，
这一年的旅游业总收入比上一年增长的
百分率为（精确到1%）；
（3）若2014年琼海共接待国内游客1200万人，
人均消费约700元．求海外游客人均消费
约多少元？（注：旅游收入=游客人数×游客的人均消费）
22．一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A处的北偏东60°方向上，
航行40海里到达B处，此时测得灯塔P在B处的北偏东15°方向上．
（1）求灯塔P到轮船航线的距离PD是多少海里？（结果保留根号）
（2）当轮船从B处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P处同时前往D处，
尽管快艇速度是轮船速度的2倍，但还是比轮船晚15分钟到达D处，
求轮船每小时航行多少海里？（结果保留到个位，）．
23．如图，正方形ABPD的边长为1，等腰Rt△DPC的直角边长为1，把正方形
ABPD和△DPC拼成一个直角梯形，E、F分别为线段DP、CP上的两个动点
（不与D、P、C重合）且DE=CF=x，BE的延长线分别交DF、DC于H、G．
（1）求证：①△BPE≌△DPF．②BG⊥DF．
（2）是否存在x的值使得DF和EG互相垂直平分？若存在，求出x的值；
若不存在，说明理由．
（3）若连结AH，在运动过程中，∠AHB的大小是否发生改变？若改变，
请说出是如何变化的；若不改变，请猜想∠AHB的度数，不用证明．
24．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设点D是笫一象限内抛物线上的一个动点（与C、B不重合），
过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连结BD、CD．
令点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．
①求S关于m的函数关系式及自变量m的取值范围；
②当m为何值时，S有最大值，并求这个最大值；
③直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？
若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
2017年山东省日照市莒县教研室中考数学试卷（2）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题满分42分，每小题3分）
01．如果a的倒数是﹣1，则a2015的值是（）
A．1 B．﹣1 C．2015 D．﹣2015
【解答】由a的倒数是﹣1，得a=﹣1．a2015=（﹣1）2015=﹣1，故选：B．
02．若□×3xy=3x2y，则□内应填的单项式是（）
A．xy B．3xy C．x D．3x
【解答】根据题意得：3x2y÷3xy=x，故选：C
03．某书每本定价8元，若购书不超过10本，按原价付款；若一次购书10本以上，超过10本部分按八折付款．设一次购书数量为x本（x＞10），则付款金额为（）
A．6.4x元B．（6.4x+80）元C．（6.4x+16）元D．（144﹣6.4x）元
【解答】设一次购书数量为x本（x＞10），则付款金额为：8×0.8（x﹣10）+10×8=6.4x+16，故选：C．04．使不等式x﹣1≥2与3x﹣7＜8同时成立的x的整数值是（）
A．3，4 B．4，5 C．3，4，5 D．不存在
【解答】根据题意得，解得3≤x＜5，则x的整数值是3，4；故选A．
05．如图，直线a∥b，若∠2=55°，∠3=100°，则∠1的度数为（）
A．35°B．45°C．50°D．55°
【解答】∵直线a∥b，∴∠4=∠2=55°，∴∠1=∠3﹣∠4=100°﹣55°=45°．故选B．
06．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，
若∠1=20°，则∠B的度数是（）
A．70°B．65°C．60°D．55°
【解答】∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC=A′C，
∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CAA′=45°，
∴∠A′B′C=∠1+∠CAA′=20°+45°=65°，
由旋转的性质得∠B=∠A′B′C=65°．故选：B．
07．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），
将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）
A．1 B．1或5 C．3 D．5
【解答】当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；
当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故选：B．
08．世界文化遗产长城总长约为6700000m，若将6700000用科学记数法表示为6.7×10n（n是正整数），则n的值为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】将6700000用科学记数法表示为6.7×106，故n=6．故选B．
09．为了了解2013年昆明市九年级学生学业水平考试的数学成绩，从中随机抽取了1000名学生的数学成绩．下列说法正确的是（）
A．2013年昆明市九年级学生是总体B．每一名九年级学生是个体
C．1000名九年级学生是总体的一个样本D．样本容量是1000
【解答】A、2013年昆明市九年级学生的数学成绩是总体，原说法错误，故A选项错误；B、每一名九年级学生的数学成绩是个体，原说法错误，故B选项错误；C、1000名九年级学生的数学成绩是总体的一个样本，原说法错误，故C选项错误；D、样本容量是1000，该说法正确，故D选项正确．故选D．
10．把a3﹣2a2+a分解因式的结果是（）
A．a2（a﹣2）+a B．a（a2﹣2a）C．a（a+1）（a﹣1）D．a（a﹣1）2
【解答】a3﹣2a2+a=a（a2﹣2a+1）=a（a﹣1）2．故选D．
11．观察下列图形，其中不是正方体的展开图的为（）
A．B．C．D．
【解答】由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，A，B，C选项可以拼成一个正方体，而D选项，上底面不可能有两个，故不是正方体的展开图．故选D．
12．一个不透明袋中装有除颜色外其余都相同的1个白球和2个黑球．先从袋中摸出一个球后不再放回，第二次再从袋中摸出一个，则两次都摸到黑球的概率是（）
A．B．C．D．
【解答】根据题意画图如下：
∵一共有6种情况，两次都摸到黑球的有2种情况，
∴两次都摸到黑球的概率是=．故选B．
13．如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的
小正方形顶点上，则tan∠ACB的值为（）
A．B．C．D．3
【解答】由勾股定理可求出：BC=2，AC=2，DF=，DE=，
∴，，，∴，∴△FDE∽△CAB，
∴∠DFE=∠ACB，∴tan∠DFE=tan∠ACB=，故选（B）
14．将抛物线y=x2﹣2x+3平移得到抛物线y=x2，则这个平移过程正确的是（）
A．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位【解答】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2顶点坐标为（1，2），∵点（1，2）向左平移1个单位，再向下平移2个单位可得到（0，0），
∴将抛物线y=x2﹣2x+3左平移1个单位，再向下平移2个单位得到抛物线y=x2．故选A．
二、填空题（本大题满分16分，每小题4分）
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0的一个根为﹣1，则它的另一根为3．
【解答】设方程x2﹣2x﹣k=0的解为x1、x2，则有：x1+x2=2，∵x1=﹣1，∴x2=3．故答案为：3．
16．在平面直角坐标系中，如果点（x，4），（0，8），（﹣4，0）在同一条直线上，则x=﹣2．
【解答】设该直线解析式为y=kx+b，则b=8，﹣4k+b=0，解得k=2，∴y=2x+8，当y=4时，x=﹣2．故答案为：﹣2．
17．如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，
BD=12，则△DOE的周长为15．
【解答】∵▱ABCD的周长为36，∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，∴OD=OB=BD=6．
又∵点E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，DE=CD，∴OE=BC，
∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周长为15．故答案为：15．18．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．
若AB=8，CD=2，则EC的长为2．
【解答】连结BE，设⊙O的半径为R，如图，∵OD⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4，
在Rt△AOC中，OA=R，OC=R﹣CD=R﹣2，
∵OC2+AC2=OA2，∴（R﹣2）2+42=R2，解得R=5，∴OC=5﹣2=3，∴BE=2OC=6，
∵AE为直径，∴∠ABE=90°，∴CE===2．故答案为：2．
三、解答题（本大题满分62分）
19．（1）计算：；（2）化简：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a﹣b）（a+b）
【解答】（1）原式=8×（﹣）﹣（﹣3）=﹣4+3=﹣1；
（2）原式=a2﹣2ab﹣b2﹣（a2﹣b2）=a2﹣2ab﹣b2﹣a2+b2=﹣2ab．
20．从A地到B地全程290千米，前一路段为国道，其余路段为高速公路．已知汽车在国道上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，一辆客车从A地开往B地一共行驶了3.5h．求A、B两地间国道和高速公路各多少千米？
【解答】设A、B两地间国道和高速公路分别是x、y千米，依题意得，解得，
答：A、B两地间国道和高速公路分别是90、200千米．
21．近年来，琼海市在国际和国内的知名度越来越大，带动旅游事业蓬勃发展，吸引大批海内外游客前来观光旅游、购物度假，下面的图1和2分别反映了该市2011﹣2014年游客总人数和旅游业总收入情况．根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）2014年游客总人数为1225万人次，旅游业总收入为940000万元；
（2）在2012年，2013年，2014年这三年中，旅游业总收入增长幅度最大的是2014年，这一年的旅游业总收入比上一年增长的百分率为41%（精确到1%）；
（3）据统计，2014年琼海共接待国内游客1200万人，人均消费约700元．求海外游客人均消费约多少元？（注：旅游收入=游客人数×游客的人均消费）
【解答】（1）由图可知，2014年游客总人数为1225万人次，旅游业总收入为940000万元，故答案为：1225；
940000．
（2）在2012年，2013年，2014年这三年中，旅游业总收入增长幅度最大的是2014年，这一年比上一年增长的百分率为（940000﹣665000）÷665000≈41%，故答案为：2014；41%；
（3）设海外游客的人均消费为x元，根据题意得1200×700+（1225﹣1200）x=940000，解这个方程得x=4000．答：海外游客的人均消费为4000元．
22．一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东60°方向，航行40海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东15°方向上．
（1）求灯塔P到轮船航线的距离PD是多少海里？（结果保留根号）
（2）当轮船从B处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P处同时前往D处，
尽管快艇速度是轮船速度的2倍，但还是比轮船晚15分钟到达D处，
求轮船每小时航行多少海里？（结果保留到个位，）．
【解答】（1）过点B作BC⊥AP于点C，在Rt△ABC，∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴BC=AB=20，AC=AB•cos30°=20．
∵∠PBD=90°﹣15°=75°，∠ABC=90°﹣30°=60°，∴∠CBP=180°﹣75°﹣60°=45°，
∴AP=AC+PC=（20+20）海里．∵PD⊥AD，∠PAD=30°，∴PD=AP=10+10，
答：灯塔P到轮船航线的距离PD是10+10海里；
（2）设轮船每小时航行x海里，
在Rt△ADP中，AD=AP•cos30°=（20+20）=（30+10）海里．
∴BD=AD﹣AB=30+10﹣40=（10﹣10）海里．+=，
解得x=60﹣20．经检验，x=60﹣20是原方程的解．
∴x=60﹣20≈x=60﹣20×1.73=25.4≈25，答：轮船每小时航行25海里．
23．四边形ABPD是一个边长为1的正方形，△DPC是一个直角边长为1的等腰直角三角形，把正方形ABPD 和△DPC拼成一个如图所示的直角梯形，E、F分别为线段DP、CP上两个动点（不与D、P、C重合），且DE=CF=x，BE的延长线分别交DF、DC于H、G．
（1）求证：①△BPE≌△DPF．②BG⊥DF．
（2）是否存在x的值使得DF和EG互相垂直平分，若存在，求出x的值；
若不存在，说明理由．
（3）若连结AH，在运动过程中，∠AHB的大小是否发生改变？若改变，
请说出是如何变化的；若不改变，猜想∠AHB的度数，不用证明．
【解答】（1）①证明：如图1，
∵四边形ABPD是正方形，△DPC是等腰直角三角形，
∴BP=PD=PC，∠BPE=∠DPF=90°，
又∵DE=CF，∴PE=PF，∴△BPE≌△DPF；
②∵△BPE≌△DPF，∴∠EBP=∠FDP，
又∵∠FDP+∠BFH=90°，∴∠EBP+∠BFH=90°，∴BG⊥DF；
（2）存在，如图2，连结BD，若直线BG垂直平分线段DF，则BF=BD，
∵四边形ABCD是正方形且AB=1，∴BD=，∴BF=BD=，∴x=CF=2﹣，
此时，∠FBH=∠DBG=×45°=22.5°，∴∠PBH=∠PDF=22.5°，
∵∠PDC=45°，∴∠PDF=∠CDF=22.5°，
又∵BG⊥DF，∴EH=GH，∴直线DF垂直平分线段EG，
∴当x=2﹣时，DF和EG互相垂直平分；
（3）∠AHB的大小不改变，∠AHB=45°，理由是：
如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∠ADB=45°，
∵BG⊥DF，∴∠DHB=90°，∴∠BAD+∠DHB=180°，∴A、B、H、D四点共圆，
∴∠AHB=∠ADB=45°．
24．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）D是笫一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连结BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．
①求S关于m的函数关系式及自变量m的取值范围；
②当m为何值时，S有最大值，并求这个最大值；
③直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？
若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
【解答】（1）∵抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，5），
∴设y=a（x+1）（x﹣5），∴5=a（0+1）（0﹣5），解得a=﹣1，
∴抛物线的函数关系式为y=﹣（x+1）（x﹣5），即y=﹣x2+4x+5；
（2）①设直线BC的函数关系式为y=kx+b，则解得，∴y=﹣x+5，
设D（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+5），∴DE=﹣m2+4m+5+m﹣5=﹣m2+5m
∴s=（﹣m2+5m）=﹣m2+m （0＜m＜5）；
②s=﹣m2+m=，∵，∴当m=时S有最大值，S最大值=
③∵△BDE和△BFE是等高的，∴它们的面积比=DE：EF，
当DE：EF=2：3时，即，解得（舍），此时，D（）；
当DE：EF=3：2时，即，解得（舍），此时，D（）．
综上所述，点D的坐标为（）或（）．。