高等几何讲义第4章

所以，x 与 x/ 是 的共轭点对 (x)(aij)(x/)T 0
[ + ](u)(aij)(v)T 0 +0
(uv; xx/) 1． ➢ 注意：此定理将共轭与调和共轭联系了起来．
§1. 配极与二次曲线
➢ 例2 由二次曲线的内接三点形 abc 的各顶点作
此曲线的切线，构成外切三点形 a/b/c/，从不在
上述各直线上任一点 s 与 a、b、c 分别连直线
交对边于 a//、b//、c//．
求证： a/ a//、b/ b//、c/ c// 共点．
证明：因三点形 abc 与三 p
a/
点形a//b//c//对应顶点连线
共点，故对应边交点 (ab)(a//b//) p，
b
a// r
c
(bc)(b//c//) q， (ca)(c//a//) r
因点 (0, 1, 0) 和 (0, 0, 1) 在上，
故代入方程可得
a22 a33 0． 又点(1, 0, 0)的极线为(1, 0, 0) ，故a12 a13 0． 再令 k 2a23/a11即得证．
§1. 配极与二次曲线
➢ 推论 若在定理6中，选单位点在二次曲线上，则 曲线方程为： x12 x2x3 0．
➢ 方程 (2) 和 (2)/ 分别是二次曲线的点坐标方程和 线坐标方程．
➢ 由此可知：二级曲线是配极变换的自共轭直线的 集合，它与二阶曲线是对偶的．
➢ 定理3 不在二次曲线上的
点为二切线点 其极线是
y
二切点线，且极线与曲线
的两交点与此二切线点所
连直线是切线．
x
z
§1. 配极与二次曲线
➢ 证明：设过二切线点 x 的
➢ 由于配极与曲线的对应，故可将配极的相关概念 移植到曲线．
➢ 下面就双曲型配极对应的曲线讨论点、直线与曲 线的关系．
§1. 配极与二次曲线
a c
b
1. 切线： 的自共轭直 1. 切点： 的自共轭
线．切点为该直线上的 点．切线为过该点的自
自共轭点；(其等价定义：共轭直线；(其等价定义：
切线ห้องสมุดไป่ตู้有唯一属于二阶 切点是有唯一属于二级
➢3. 二次曲线方程的简化形式
➢ 因以自极三点形为坐标三点形时，配极可化为标 准形式，故二次曲线的点坐标方程可简化为： b1x12 b2x22 b3x32 0．
➢ 下面是另一种简化形式： ➢ 定理6 以二次曲线的一个二切线点和由此点作出
的二切线的切点构成的三点形为坐标三点形，则 曲线方程可写为：
是 的切线．
§2. 一维射影对应与二次曲线
➢ 本节将用一维射影对应研究二次曲线，并证明 Pascal定理和Brianchon定理．
➢1. 二次曲线的射影定义
定理1 (Steiner) 设 z 和 定理1/ 设 和 /是二级
z/ 是二阶曲线 的二不 曲线 /的二不同定直线
同定点，x 是 的动点， ， 是/的动直线，则 则由z x z/ x 定义的 由 /定义的点 线束 z 到线束 z/ 的映射 列 到点列 /的映射是
x3
3
的切线集合为二级曲线 的切点集合为二阶曲线
1 (1, 2, 3)(Aij)2 0．(2)/
3
x1 (x1, x2,x3)(Bij)x2 0．
x3
其中， Aij是(aij)中 aij 的 其中， Bij是(bij)中 bij 的
代数余子式．
代数余子式．
§1. 配极与二次曲线
➢ 因上述二相互对偶的定理，二阶曲线与二级曲线 统一了起来，将二者统称为二次曲线．
两条切线 、 的切点分
别为 y、z．
y
因 y、z 的极线 、 过 x，
故 x 的极线过 y、z．
x
z
从而 x 的极线 与曲线交于 y、z 两点．即 是
二切点线．
反之，设点 x 的极线 与曲线交于 y、z 两点．
因点 x 的极线 过 y、z 两点，故 y、z 的极线 、
过x．
这即是说 、 就是过 x 的两条切线．
➢ 由于配极有两种类型，故曲线也如此．
若配极为双曲型，则其 若配极为双曲型，则其
对应二阶曲线有无穷多 对应二级曲线有无穷多
实点，故也称为二次点 实直线，故也称为二次
列．(如下图)
线束． (如下图)
§1. 配极与二次曲线
若配极是椭圆型的，则 若配极是椭圆型的，则 其对应二阶曲线不存在，其对应二级曲线不存在， 或说对应虚二阶曲线． 或说对应虚二级曲线．
u
y
x
Γ
§1. 配极与二次曲线
➢ 例5 直线关于二次曲线Γ的极点． 作法：直线上任取二不在曲线上的点，作出各 自的极线，则二线交点为直线的极点．
➢ 例6 任意点 x 关于二次曲线的极线． 作法：过 x 任取两条直线，由例5作法作二直线 的极点，连接二点所得直线即为 x 的极线．
§1. 配极与二次曲线
: 312 322 232 212 1213 423 0， a: 1 3 0，
将 a 的线坐标方程代入 的线坐标方程，得
712 212 222 0，
其判别式 22 472 52 < 0， 故线束 a 中无 的切线，即 a 是 的无切线点．
§1. 配极与二次曲线
➢ 若一对点是配极 的共轭点对，则称它们是
a/
r 的极线是b/b//．
从而，因 p、q、r 共线， b
a// r
故 a/a//、b/b//、 c/c// 共点．
c
c// s
b//
q
c/
a
b/
§1. 配极与二次曲线
➢ 二次曲线 对应的配极的自极三点形称为二次
曲线 的自极三点形．
➢ 定理5 二次曲线的内接完全四点形的对角三点
形是曲线的自极三点形．
➢ 下面证明此处定义的切线与通常的切线定义一致．
➢ 例7 证明：直线为二次曲线的切线 此直线与 二次曲线交于二重点．
证明：选取如推论中的坐标系，则 的点坐标方 程为：x12 x2x3 0，其对应矩阵为
2 0 0 (aij) 0 0 1．
0 1 0
§1. 配极与二次曲线
1 0 0
此矩阵的伴随矩阵为：
推论1 直线 关于二阶曲 推论1/ 点 y 关于二级曲线
线 (2) 的极点坐标为
(2)/ 的极线坐标为
(x1,x2,x3) (1,2,3)(Aij)． (1,2,3) (y1, y2, y3)(aij)．
推论2 在二阶曲线(2)上的 推论2/ 属于二级曲线(2)/ 的
任意点 y 的切线方程为 任意直线的切点方程为
xu
又 (x)(aij)(x/)T
[(u) + (v)](aij)[(u) + (v)]T
x/ v
§1. 配极与二次曲线
(u)(aij)(u)T + [ + ](u)(aij)(v)T + (v)(aij)(v)T．
因 u、v 为 上二点，故 (u)(aij)(v)T 0 且
(x)(aij)(x/)T [ + ](u)(aij)(v)T．
定理1 对于二阶曲线 定理1/ 对于二级曲线
x1
1
(x1, x2,x3)(aij)x2 0．(2) (1, 2, 3)(Aij)2 0．(2)/
x3
3
点 y 的极线方程为
直线 的极点方程为
x1
1
(y1, y2,y3)(aij)x2 0．(3) (1, 2, 3)(Aij)2 0．(3)/
x3
3
§1. 配极与二次曲线
对应的二次曲线的共轭点对．
➢ 定理4 若过点对 x、x/ 的直线 交二次曲线
于 u、v 两点，则 x 与 x/ 是 的共轭点对
(uv; xx/) 1．
证明：设 ：(x)(aij)(x)T 0． 因 x、x/、u、v共线，故可设
(x) (u) (v)，
(x/) (u) + (v)．
其对应的二阶曲线和二级曲线方程为：
§1. 配极与二次曲线
配极对应的二阶曲线方 配极对应的二级曲线方
程为：
程为：
x1
1
(x1, x2,x3)(aij)x2 0．(1) (1, 2, 3)(Aij)2 0．(1)/
x3
3
即 aijxixj 0, aij aji． 即 Aijij 0, Aij Aji．
证明：设的内接完全四点形 abcd 的对角三点形为 uvw， 并设 x (uv)(ad)，
u ax
vd
y (uv)(bc)，
则 (ad; xw) 1，
b
故由定理4 知 x 与 w 共轭，
yc w
即 w 的极线过 x；
同理，w 的极线过 y．
因此，w 的极线为 xy uv．
§1. 配极与二次曲线
x12 kx2x3 0 (k 0)． ➢ 注：也可写为：x22 kx1x3 0 或 x32 kx1x2 0．
§1. 配极与二次曲线
证明：取该二切线点为 o(1)，由
其所引切线而得二切点分别为 o(1)
o(2) 、o(3)，以 o(1) o(2)o(3)为坐标三
o(3)
点形．设曲线为
: (x)(aij)(x)T 0，aij aji． o(2)
§1. 配极与二次曲线
➢ 推论 不在曲线上的点是无切线点 其极线是
无切点线．
➢ 例1 已知二次曲线 : x12 3x22 x32 2x1x2 4x1x3 0 和点 a(1, 0, 1)，试判定点 a 是二次曲 线 的哪一类点．
解法1： 方程可改写为：
1 1 2x1
(x1, x2, x3) 1 3
曲线的点的点列)
曲线的直线的线束)
2. 二切点线(割线)：过 2. 二切线点：有二自共
二自共轭点的直线； 轭直线通过的点；
3. 无切点线(离线)：不 3. 无切线点 ：无自共轭
过自共轭点的直线． 直线通过的点．
§1. 配极与二次曲线
➢2. 极点与极线 二次曲线
➢ 配极的极点和极线，称为其对应二阶曲线和二级曲 线的极点和极线．
x1 (y1, y2,y3)(aij)x2 0．
x3
1 (1, 2, 3)(Aij)2 0．
3
➢ 下述定理表明，二阶曲线与二级曲线就其本质而
言是一样的．
§1. 配极与二次曲线
定理2 二阶曲线
定理2/ 二级曲线
x1
1
(x1, x2,x3)(aij)x2 0．(2) (1, 2, 3)(bij)2 0．
/ /
(0, , ) / (, , 0) 进而可验证( ; ) (; / /)． e x
是非透视的射影对应． 非透视的射影对应．
定理1证明思路：
§2. 一维射影对应与二次曲线
建立如图坐标系，则曲线方程为：x22 x1x3 0，
故可设 x 坐标为 x(2, , 2)．
o(2)
由此可计算对应直线坐标 z/
z
z
z/
(0, 0, 1) (0, 1, 0)
o(3)
o(1)
(0, 1, 0) (1, 0, 0) (0, 1, 1) / (1, 1, 0)
同理，u 的极线为 wv； v 的极线为 uw． 所以三点形 uvw 是自极三点形． ➢ 利用定理5可以解决一些作图问题． ➢ 例3 作不在曲线上的已知点 v 关于的极线．
u
a vd
b
c
w
§1. 配极与二次曲线 ➢ 例4 过不在曲线上的已知点 u，作的切线．
作法： 1) 由例3作出 u 的极线，与曲线交得二点； 2) 分别与 u 连线，则得切线．
0
x2
0．
(*)
2 0 1 x3
由此可得 a 关于 的极线 : x1 x2 x3 0，
解得 x3 x1 x2，代入 方程得
§1. 配极与二次曲线
3x12 2x1x2 2x22 0．
因 22 432 20 < 0，故 为 的无切点线，
从而 a 是 的无切线点． 解法2：由(*)式可得， 与 a 的线坐标方程分别为：
第四章 二次曲线的射影理论
§1. 配极与二次曲线
➢1. 二阶曲线与二级曲线
射影平面上，配极的自 射影平面上，配极的自
共轭点的轨迹称为二阶 共轭直线的轨迹称为二
曲线．
级曲线．
➢ 给定配极
：
(1,
(x1,
2,
x2,
3)
x3)
(x1,
(1,
x2,
2,
x3)(aij)
3)(Aij)．
其中，aij aji，Aij 是 (aij) 中 aij 的代数余子式．
(Aij)
0
0
2
，
0 2 0
故 的线坐标方程为：12 423 0． 设直线 ：1x1 2x2 3x3 0． 因直线 x1 = 0 为二切点线，故不妨3 0．
由此解出 x3，代入点方程得
3x12 1x1x2 2x22 0．
故 与 交于二重点 12 423 0
的坐标满足 的线坐标方程
c// s
b//
q
共线．
c/
a
b/
§1. 配极与二次曲线
在完全四点形 sa//cb// 的对角线 ab上，有
(ba; pc//) 1，
因 a、b 在曲线上，故 p 与 c//是一对共轭点．
又 p 在 c/ 的极线 ab上，故 p 与 c/ 共轭．
因此，p 的极线是 c/c//．
同理，q 的极线是 a/a//， p