浙江省嘉兴市七校2018_2019学年高二数学下学期期中联考试题(含解析)

浙江省嘉兴市七校2018-2019学年高二数学下学期期中联考试题（含
解析）
一、选择题（本大题共10小题）
1.已知复数，其中为虚数单位，则（）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数模的运算公式，即可求解复数的模，得到答案．
【详解】由题意，复数，根据复数模的运算公式，可得，故选C．【点睛】本题主要考查了复数模的计算，其中解答中熟记复数的模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
2.设是椭圆上一点，是椭圆的焦点，若，则等于（）
A. 2
B. 3
C. 5
D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义，可得，可得，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，椭圆上一点，是椭圆的焦点，
根据椭圆的定义，可得，
又由，则，故选D．
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义与标准方程的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程，合理利用椭圆的定义是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
3.用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
本题考查数学归纳法．依题意得，当n＝2时，不等式为1＋＋<2，故选B.
4.设，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求得函数的导数，得出方程，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，函数，则，
又由，即，解得，故选C．
【点睛】本题主要考查了导数的运算及应用，其中解答中熟练求解函数的导数，列出相应的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
5.函数的单调递减区间为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可.
详解：的定义域是，
，
令，解得.
故函数在递减.
故选：B.
点睛：本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，是一道基础题.
6.曲线在点处的切线方程是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出函数的导数，求出切线方程的斜率，即可得到切线方程．
【详解】曲线，解得y′=e x+xe x，所以在点(0,1)处切线的斜率为1．
曲线在点（0，1）处的切线方程是：y﹣1=x．
即x﹣y+1=0．
故选：A．
【点睛】本题考查曲线的切线方程的求法，考查计算能力
7.已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则该双曲线的一条渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由双曲线虚轴长是实轴长的2倍，得到，即可求解双曲线的一条渐近线方程，得到答案．【详解】由题意，双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，
所以，所以双曲线一条渐近线方程为，故选C．
【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
8.已知抛物线的焦点为，直线与的交点为，与轴的交点为，且
，则点的坐标为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】 设
，代入抛物线方程，求得，由此求得
,再根据
，
解得
，即可得到答案．
【详解】由题意，设，代入抛物线中，可得
，
所以,
又由
，即
，解得
，
所以点P 的坐标为
．
【点睛】本题主要考查了抛物线的
定义与标准方程的应用，其中解答中熟记抛物线的定义的转化，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解的能力，属于基础题． 9.设椭圆
和双曲线
的公共焦点为
，
是两曲线的一个公共点，则 的值等于（ ）
A. B.
C.
D.
【答案】A 【解析】 【分析】 由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得
，联立方程组，
求得
，即可求解，得到答案．
【详解】由椭圆
和双曲线
，是两曲线的一个公共点，
由椭圆的定义可得，
由双曲线的定义可得
解得，所以，故选A．
【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线的定义的应用，其中解答中熟练应用椭圆和双曲线的定义，联立方程组，分别求得的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
10.已知，且，则下列式子中一定正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
设，则，在上，单调递增，所以，即
,A不正确；设则，当时，
单调递减，当时，单调递增，∴C,D均不正确,选B.
点睛：利用导数比较不等式大小，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造
，构造，构造等
二、填空题。

11.双曲线的离心率是____，渐近线方程是_____
【答案】2，
【解析】
分析：直接利用双曲线的几何性质解答即可.
详解：由题得
所以双曲线的离心率为渐近线方程为
故答案为：2，.
点睛：本题主要是考查双曲线的简单几何性质，意在考查双曲线的基础知识掌握能力.
注意焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为，不要记错了.
12.已知函数(为常数)，若为的一个极值点，则
____.____.
【答案】 (1). 0 (2). 1
【解析】
【分析】
求得函数的导数，根据为的一个极值点，列出方程即可求解．
【详解】由题意，函数，则，
因为为的一个极值点，即，解得，
即，．
【点睛】本题主要考查了导数的运算及其应用，其中解答中熟记函数的极值点的概念，合理运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
13.已知且（i是虚数单位）则 ___，_____
【答案】 (1). 3 (2). 2
【解析】
【分析】
根据复数的运算可得，利用复数相等的充要条件，即可求解．
【详解】由题意，根据复数的运算可得，
因为，即，所以．
【点睛】本题主要考查了复数的运算，及复数相等的充要条件的应用，其中解答中熟记复数的运算法则和复数相等的充要条件是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
14.若是抛物线上一点，且为坐标原点，则该抛物线的准线方程为_______.线段 _______,
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由抛物线方程，可得抛物线的开口向上，且，进而得到其准线方程，再利用抛物线的定义求得，得到点的坐标，进而求得的长．
【详解】由抛物线，可得抛物线的开口向上，且，
所以抛物线的准线方程为
设，根据抛物线的定义可得，解得，
把点代入抛物线的方程，得，解得，
即点，所以．
【点睛】本题主要考查了抛物线的几何性质，以及抛物线的定义的应用，其中解答中熟记抛物线的几何性质，合理应用抛物线的定义求得点M的坐标是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
15.已知椭圆中心在原点，一个焦点为(，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________
【答案】
【解析】
已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍。

故得到
故得到椭圆方程为：。

故答案为：。

16.已知函数有两个零点，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数的导函数，得出函数的最小值，把函数的零点个数问题转化为函数
与的图象由两个不同的交点，结合图象，即可得到答案．
【详解】由题意，设函数，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，函数由最小值，
又由当时，总有恒成立，
要使得函数有两个零点，
即函数与的图象由两个不同的交点，
在同一坐标系内作出两个函数的图象，如图所示，
则，所以，
即实数的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点个数问题，其中解答中把函数的零点个数转化两个函数的图象的交点的个数，再利用导数得到函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．
17.已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为________ 【答案】
【解析】
【分析】
将代入椭圆的方程得，设，由，根据向量的坐标运算得
，代入椭圆方程得，进而求解椭圆的离心率，得到答案．
【详解】由题意，椭圆的焦点在轴上，
设椭圆的左右焦点分别为，
将代入椭圆的方程，可得，可设，
由，即,
所以，即，可得，
代入椭圆方程可得，即，
又由，整理得，即，
所以椭圆的离心率为．
【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中涉及到椭圆的标准方程，向量的坐标运算等知识的综合考查，其中根据向量的坐标运算，求得点C的坐标，代入椭圆的方程得出是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.已知复数，其中为虚数单位，.
（Ⅰ）若，求实数的值；
（Ⅱ）若在复平面内对应的点位于第一象限，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据复数的运算，化简得, 再由，列出方程，即可求解；
（2）根据复数在复平面内对应的点位于第一象限，得到不等式且，即可求解．【详解】（1）由题意，根据复数的运算，可得,
由，则，解得.
（2）由在复平面内对应的点位于第一象限，则且，解得，
即的取值范围为
.
【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的分类与表示，其中解答中根据复数的运算，
求得复数
，再根据复数的分类和复数的表示列出相应的条件是解答的关键，着重
考查了运算与求解能力，属于基础题．
19.已知函数
（Ⅰ）求曲线在点
处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间
上的值域. 【答案】（1）（2）
【解析】 【
分析】
（Ⅰ）利用导数的几何意义，即可求解曲线在某点处的切线方程； （Ⅱ）由,解得
或
，得到函数的单调性，求得函数的最值，即可得到函数的
值域．
【详解】（Ⅰ）由题意，函数，则
，
则
，即切点为
，切线斜率为
，
所以曲线在点处的切线方程为，即
，
所以曲线在点
处的切线方程为
．
（Ⅱ）由
,令
,解得
或
当变化时,与
的变化情况如下表：
所以函数在区间上的最小值为，最大值为，即函数在区间上的值域为．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性与最值的应用，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．
20.如图，已知抛物线焦点为，直线经过点且与抛物线相交于，两点
（Ⅰ）若线段的中点在直线上，求直线的方程；
（Ⅱ）若线段，求直线的方程.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】
试题分析：（1）设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，由点差法，可得2y0k＝4，又，所以。

（2）设直线l的方程为x＝my＋1，与抛物线联立组方程组，由弦长公式与志达定理，可求得参数m的值.
试题解析：(1)由已知得抛物线的焦点为F(1,0)．因为线段AB的中点在直线y＝2上，所以直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，
则由得
(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，所以2y0k＝4.
又y0＝2，所以k＝1，故直线l的方程是y＝x－1.
(2)设直线l的方程为x＝my＋1，与抛物线方程联立得消元得y2－4my－4＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，Δ＝16(m2＋1)>0.
|AB|＝|y1－y2|＝·
＝·＝4(m2＋1)．
所以4(m2＋1)＝20，解得m＝±2，
所以直线l的方程是x＝±2y＋1，
即x±2y－1＝0.
【点睛】（1）对线圆锥曲线上两点构成的弦及其中点相关的题型，我们常用“点差法”，其中直线的斜率，中点的坐标为，，点代入曲线作差，就可以得到弦中点与直线斜率的关系式。

（2）对于弦长问题，我们常让直线与圆锥曲线方程组方程组，再利用志达定理及弦长公式，建立关系式。

其中弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线，上两点
，所以或
（1）证明：因为在直线上，所以
，代入可得：
同理可证得
21.已知函数,且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对于任意,都有,求的最小值．
【答案】（1）（2）的最小值为．
【解析】
试题分析：（1），代入，求得；（2）由，化简得，令，利用导数求得的最大值为，所以，故的最
小值为.
试题解析：
（1）对求导，得，
所以，解得．
（2）由，得，
因为，所以对于任意，都有．
设，则，
令，解得，
当变化时，与的变化情况如下表：
所以当时，，
因为对于任意，都有成立，所以，
所以的最小值为．
考点：函数导数与不等式。

22.在，一曲线过点，动点在曲线上运动，且保持的值不变．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求曲线的方程；
（Ⅱ）直线：与曲线交于两点，求四边形的面积的最大值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）以所在直线为轴，以中点为原点建立直角坐标系，根据椭圆的定义，可得动点轨迹是为焦点的椭圆，进而可得椭圆的标准方程；
（2）联立方程组，根据及韦达定理，且，得到三角形面积的表达式，利用二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）以所在直线为轴，以中点为原点建立直角坐标系，
因为
所以动点轨迹是为焦点的椭圆，且，则
所以方程为．
（2）设，
联立方程组，整理得，
由，解得，且，
则四边形的面积：
当时，面积有最大值，最大值为．
【点睛】本题主要考查了利用定义法求解椭圆的方程，以及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中把直线的方程代入椭圆的方程，利用判别式和韦达定理，得出三角形面积的额表达式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题．。