第2章 第12节 定积分与微积分基本定理

2009~2013年高考真题备选题库 第2章 函数、导数及其应用 第12节 定积分与微积分基本定理
考点 定积分与微积分基本定理
1．（2013北京，5分）直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )
A.4
3
B ．2 C.8
3
D. 162
3
解析：本题考查抛物线的几何性质、定积分的几何意义、微积分基本定理等基础知识，考查数形结合思想以及考生的运算求解能力．由题意知抛物线的焦点坐标为(0,1)，故直线l 的方程为y ＝1，该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为(2,1)，根据对称性和定积分的几何意义可得所求的面积是
2∫20
⎝⎛⎭⎫1－x 24d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －x 3
12|2
＝83.
答案：C
2．（2013江西，5分）若S 1＝⎠⎛12
x 2d x ，S 2＝⎠⎛12
1
x d x ，S 3＝⎠⎛12
e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )
A ．S 1<S 2<S 3
B ．S 2<S 1<S 3
C ．S 2<S 3<S 1
D ．S 3<S 2<S 1
解析：本题考查定积分的计算及实数大小的比较，意在考查考生的运算能力． S 1＝13x 3⎪⎪⎪ 21＝83－13＝73，S 2＝ln x ⎪⎪⎪ 21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x ⎪⎪⎪
21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，
所以S 2<S 1<S 3.
答案：B
3．（2013福建，4分）当x ∈R ，|x |<1时，有如下表达式： 1＋x ＋x 2＋…＋x n ＋…＝
1
1－x
. 两边同时积分得：∫1201d x ＋∫120x d x ＋∫120x 2d x ＋…＋∫120x n d x ＋…＝∫1201
1－x d x ，
从而得到如下等式：
1×12＋12×⎝⎛⎭⎫122＋13×⎝⎛⎭⎫123＋…＋1n ＋1×
⎝⎛⎭⎫12n ＋1＋…＝ln 2. 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
C 0
n ×12＋12C 1n ×⎝⎛⎫122＋13C 2n ×⎝⎛⎭⎫123＋…＋1n ＋1C n n ×⎝⎛⎭
⎫12n ＋1＝________.
解析：本题考查定积分、二项式定理、类比推理等基础知识，意在考查考生的转化和化归能力、类比推理能力和运算求解能力．
法一：设f (x )＝C 0n x ＋12
×C 1n x 2＋13
×C 2n x 3
＋…＋
1n ＋1
×C n n x n ＋1
， 所以f ′(x )＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n
，
所以f ⎝⎛⎭⎫12＝∫120f ′(x )d x ＝∫120(1＋x )n d x ＝1n ＋1(1＋x )n ＋1120
＝1n ＋1⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋1－1n ＋1
(1＋0)n ＋1
＝
1n ＋1⎣⎡⎦⎤
⎝⎛⎭
⎫32n ＋1－1.
法二：C 0n ×12＋12C 1n ×⎝⎛⎭⎫122＋13C 2n ×⎝⎛⎭⎫123＋…＋1n ＋1C n n ×⎝⎛⎭
⎫12n ＋1
＝1×12＋12×n ×⎝⎛⎭⎫122＋13×n (n －1)2×⎝⎛⎭⎫123＋…＋1n ＋1×n (n －1)×…×2×1n (n －1)×…×2×1×⎝⎛⎭⎫12n ＋1 ＝
1n ＋1(n ＋1)×12＋(n ＋1)n 2×⎝⎛⎭⎫122＋(n ＋1)n (n －1)3×2×⎝⎛⎭⎫123
＋…＋
(n ＋1)n (n －1)×…×2×1(n ＋1)n (n －1)×…×2×1
×⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝1n ＋1⎣
⎡⎦⎤C 1n ＋1×12＋C 2n ＋1×⎝⎛⎭⎫122＋…＋C n ＋1n ＋1×⎝⎛⎭⎫12n ＋1 ＝1n ＋1⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋1－C 0n ＋1 ＝
1n ＋1⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭
⎫32n ＋1－1.
答案：
1n ＋1⎣⎡⎦⎤
⎝⎛⎭
⎫32n ＋1－1
4．（2013湖南，5分）若∫T 0x 2
d x ＝9，则常数T 的值为________．
解析：本小题主要考查定积分的计算．∵∫T 0x 2d x ＝13T 3＝9，T >0，∴T ＝3. 答案：3
5．（2012福建，5分）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中
任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )
A.1
4 B.1
5 C.16
D.17
解析：阴影部分的面积为∫10(x －x )d x ＝(23x 32－12x 2)|10＝1
6，故所求的概率P ＝阴影部分的面积正方形OABC 的面积＝1
6
.
6．（2012湖北，5分）已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )
A.2π5
B.43
C.32
D.π2
解析：由题中图象易知f (x )＝－x 2
＋1，则所求面积为2∫10(－x 2
＋1)d x ＝2(－x 33
＋x )|10
＝43
. 答案：B
7．（2011新课标全国，5分）由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )
A.10
3 B ．
4 C.163
D ．6
解析：由y ＝x 及y ＝x －2可得，x ＝4，所以由y ＝x 及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为⎠
⎛0
4(x －x ＋2)dx ＝(23x 32－12x 2＋2x )|40＝16
3. 答案：C
8．（2011湖南，5分）由直线x ＝－π3，x ＝π
3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形
的面积为( )
A.1
2 B ．1 C.32
D. 3
解析：结合函数图像可得所求的面积是定积分∫π3π3cos xdx ＝sin x |π3π3＝32－(－3
2
)＝ 3.
答案：D
9．（2010山东，5分）由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.1
12 B.14 C.13
D.712
解析：由题可知y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为 ∫ 10(x 2－x 3)d x ＝(13x 3－14x 4)| 10＝13－14＝112
.
10.（2010湖南，5分）∫ 421
x d x 等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2
D ．ln2
解析：∫421x d x ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2. 答案：D
11．(2009·福建，5分)∫π2－π2(1＋cos x )d x 等于( )
A ．π
B ．2
C ．π－2
D ．π＋2 解析：∫π2－π2(1＋cos x )d x ＝2∫π
20(1＋cos x )d x
＝2(x ＋sin x )|π20＝2(π
2＋1)＝π＋2.
答案：D
12．（2011陕西，5分）设f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
lg x ， x ＞0，
x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.
解析：显然f (1)＝lg1＝0，f (0)＝0＋⎠⎛0
a 3t 2d t ＝t 3|a
0＝1，得a ＝1.
答案：1
13．(2010福建，14分)(1)已知函数f (x )＝x 3－x ，其图象记为曲线C . (ⅰ)求函数f (x )的单调区间；
(ⅱ)证明：若对于任意非零实数x 1，曲线C 与其在点P 1(x 1，f (x 1))处的切线交于另一点P 2(x 2，f (x 2))，曲线C 与其在点P 2处的切线交于另一点P 3(x 3，f (x 3))，线段P 1P 2，P 2P 3与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为S 1，S 2，则S 1
S 2
为定值；
(2)对于一般的三次函数g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，请给出类似于(1)(ⅱ)的正确命题，并予以证明．
解：法一：(1)(ⅰ)由f (x )＝x 3－x 得f ′(x )＝3x 2－1＝3(x －33)(x ＋3
3
)． 当x ∈(－∞，－33)和(3
3
，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－
33，3
3
)时，f ′(x )<0. 因此，f (x )的单调递增区间为(－∞，－
33)和(3
3
，＋∞)，
单调递减区间为(－
33，33
) (ⅱ)曲线C 在点P
1处的切线方程为
y ＝(3x 21－1)(x －x 1)＋x 3
1－x 1， 即y ＝(3x 21－1)x －2x 31. 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝(3x 21－1)x －2x 3
1，y ＝x 3
－x 得x 3－x ＝(3x 21－1)x －2x 31，
即(x －x 1)2(x ＋2x 1)＝0， 解得x ＝x 1或x ＝－2x 1， 故x 2＝－2x 1.
进而有S 1＝|∫ －2x 1x 1(x 3－3x 21x ＋2x 31)d x |
＝|(14x 4－32x 21x 2＋2x 31x )|－2x 1x 1|＝274x 41
. 用x 2代替x 1，重复上述计算过程，可得x 3＝－2x 2和S 2＝274x 42.
又x 2＝－2x 1≠0，所以S 2＝27×164
x 4
1≠0， 因此有S 1S 2＝116
.
(2)记函数g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的图象为曲线C ′， 类似于(1)(ⅱ)的正确命题为： 若对于任意不等于－b
3a
的实数x 1，
曲线C ′与其在点P 1(x 1，g (x 1))处的切线交于另一点P 2(x 2，g (x 2))，
曲线C ′与其在点P 2处的切线交于另一点P 3(x 3，g (x 3))，线段P 1P 2，P 2P 3与曲线C ′所围成封闭图形的面积分别记为S 1，S 2，则S 1
S 2
为定值．
证明如下：
因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y ＝g (x )的对称中心(－b 3a ，g (－b
3a ))平移
至坐标原点，因而不妨设g (x )＝ax 3＋hx ，且x 1≠0.
类似(1)(ⅱ)的计算可得S 1＝27
4ax 41，S 2＝27×164ax 41≠0. 故S 1S 2＝116
. 法二：(1)同法一．
(2)记函数g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的图象为曲线C ′，
类似于(1)(ⅱ)的正确命题为： 若对于任意不等于－b
3a
的实数x 1，
曲线C ′与其在点P 1(x 1，g (x 1))处的切线交于另一点P 2(x 2，g (x 2))，曲线C ′与其在点P 2处的切线交于另一点P 3(x 3，g (x 3))，线段P 1P 2，P 2P 3与曲线C ′所围成封闭图形的面积分别记为S 1，S 2，则S 1
S 2
为定值．
证明如下：
由g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)得g ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，
所以曲线C ′在点(x 1，g (x 1))处的切线方程为y ＝(3ax 21＋2bx 1＋c )x －2ax 31－bx 2
1＋d . 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝ax 3＋bx 2
＋cx ＋d ，y ＝(3ax 21＋2bx 1＋c )x －2ax 31－bx 2
1＋d
得(x －x 1)2[a (x ＋2x 1)＋b ]＝0， ∴x ＝x 1或x ＝－b a －2x 1，即x 2＝－b
a
－2x 1，故
S 1＝|∫ x 1x 2[ax 3＋bx 2－(3ax 21＋2bx 1)x ＋2ax 31＋bx 2
1]d x |
＝(3ax 1＋b )412a 3
，
用x 2代替x 1，重复上述计算过程， 可得x 3＝－b
a －2x 2和S 2＝(3ax 2＋
b )412a 3.
又x 2＝－b a －2x 1且x 1≠－b
3a ，
所以S 2＝(3ax 2＋b )4
12a 3
＝(－6ax 1－2b )412a 3＝16(3ax 1＋b )412a 3≠0，
故S 1S 2＝116
.。