精品高中数学5-5运用不等式求最大小值5-5-2利用柯西不等式求最大小值同步测控
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解析:∵(2x+y)2=(·+y)2≤［()2+1］［()2+y2］=3(2x2+y2)=3,
∴2x+y≤.
答案:C
3.已知3x+y=5,则3x2+2y2的最小值为( )
A. B.25 C.5 D.10
解析:∵(3x+y)2≤()2≤［()2+()2］·［(x)2+(y)2］=(3x2+2y2),
∴3x2+2y2≥×25=.
≥a+b+c+d=1,
∴++≥.
答案:
12.已知x1,x2,…,xn∈R+,且x1+x2+…+xn=n,求证:≥n.
证明:∵(x1+x2+…+xn)()≥(1+1+…+1)2=n2,
又∵x1+x2+…+xn=n,∴++…+≥n.
13.已知2x2+y2+5z2=3,求S=x+2y+3z的最大值.
解:S2=(x+2y+3z)2=［(x)+2·y+］2
A.6 B.12 C.24 D.144
解析:∵(a12+a22+…+a102)(x12+x22+…+x102)≥(a1x1+a2x2+…+a10x10)2,
∴a1x1+a2x2+…+a10x10≤=12.
答案:B
6.已知x+2y+3z=6,则x2+2y2+3z2的最小值为( )
A.6 B.36 C.12 D.24
≤［()2+22+()2］［(x)2+y2+(z)2］=(+4+)(2x2+y2+5z2)
=(2x2+y2+5z2)=×3=,
∴S≤.∴S的最大值为.
我创新，我超越
14.求三个实数x、y、z,使得它们同时满足下列等式:
2x+3y+z=13,①
4x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82.②
分析:可先观察两等式之间的联系,再进一步变形.
答案:B
8.已知+2+3=9,则x+y+z的最小值为( )
A.3 B.1 C. D.-1
解析:∵()2≤(12+22+32)［(2x+1)+(2y+3)+(3z+4)］
=14(2x+2y+3z+8)=28(x+y+z+4),
∴x+y+z+4≥.
∴x+y+≥-4=-.
答案:C
我综合，我发展
9.(a+b+c)(++)的最小值为______________(a、b、c∈R+).
解析:(a+b+c)(++)≥()2=9.
答案:9
10.a、b、c、d∈R+,则(+++)(+++)的最小值为_______________.
解析:利用柯西不等式,原式≥(1+1+1+1)2=16.
答案:16
11.若a+b+c+d=1,且a、b、c、d∈R+,则的最小值为__________.
解析:∵［(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)］(+++)
∴x=3,y=1,z=4.
15.已知正数x、y、z满足x+y+z=xyz且不等式≤λ恒成立,求λ的取值范围.
分析:本题的已知条件为x+y+z=xyz,所证的不等式中有和,需要转化为积,由平均不等式转化.
解:∵x、y、z为正数,
∴+≤
=()
=()
≤［(12+12+12)()=,
∴λ的取值范围为［,+∞).
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同步பைடு நூலகம்控
我夯基,我达标
1.函数y=的最大值为( )
A.3 B. C.2 D.
解析:y2=()2≤［12+()2］［()2+()2］=3,
∴y≤.
答案:B
2.已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值为( )
A. B.2 C. D.3
解:①+②,得4x2+9y2+z2+18y+4z=95,
即(2x)2+(3y+3)2+(z+2)2=108.
由①得2x+(3y+3)+(z+2)=18,
∴182=［(2x)+(3y+3)+(z+2)］2≤(12+12+12)［(2x)2+(3y+3)2+(z+2)2］=108×3.
当且仅当2x=3y+3=z+2=6时取“=”.
解析:∵(x+2y+3z)2=()2
≤［12+()2+()2］·［x2+()2+()2］=6(x2+2y2+3z2),
∴x2+2y2+3z2≥6.
答案:A
7.已知a+b+c+d=,则的最小值为( )
A. B.2 C.1 D.4
解析:∵(12+12)(a2+b2)≥(a+b)2,
∴.
同理,,,
∴(a+b)+(b+c)+(c+d)+(d+a)=×2(a+b+c+d)=2,∴最小值为2.
答案:A
4.已知a+b+c=3,且a、b、c∈R+,则的最小值为( )
A.3 B.1 C. D.
解析:∵()［(3-a)+(3-b)+(3-c)］≥a+b+c=3,
而(3-a)+(3-b)+(3-c)=9-(a+b+c)=6,
∴≥.
答案:D
5.a12+a22+…+a102=6,x12+x22+…+x102=24,则a1x1+a2x2+…+a10x10的最大值为( )
∴2x+y≤.
答案:C
3.已知3x+y=5,则3x2+2y2的最小值为( )
A. B.25 C.5 D.10
解析:∵(3x+y)2≤()2≤［()2+()2］·［(x)2+(y)2］=(3x2+2y2),
∴3x2+2y2≥×25=.
≥a+b+c+d=1,
∴++≥.
答案:
12.已知x1,x2,…,xn∈R+,且x1+x2+…+xn=n,求证:≥n.
证明:∵(x1+x2+…+xn)()≥(1+1+…+1)2=n2,
又∵x1+x2+…+xn=n,∴++…+≥n.
13.已知2x2+y2+5z2=3,求S=x+2y+3z的最大值.
解:S2=(x+2y+3z)2=［(x)+2·y+］2
A.6 B.12 C.24 D.144
解析:∵(a12+a22+…+a102)(x12+x22+…+x102)≥(a1x1+a2x2+…+a10x10)2,
∴a1x1+a2x2+…+a10x10≤=12.
答案:B
6.已知x+2y+3z=6,则x2+2y2+3z2的最小值为( )
A.6 B.36 C.12 D.24
≤［()2+22+()2］［(x)2+y2+(z)2］=(+4+)(2x2+y2+5z2)
=(2x2+y2+5z2)=×3=,
∴S≤.∴S的最大值为.
我创新，我超越
14.求三个实数x、y、z,使得它们同时满足下列等式:
2x+3y+z=13,①
4x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82.②
分析:可先观察两等式之间的联系,再进一步变形.
答案:B
8.已知+2+3=9,则x+y+z的最小值为( )
A.3 B.1 C. D.-1
解析:∵()2≤(12+22+32)［(2x+1)+(2y+3)+(3z+4)］
=14(2x+2y+3z+8)=28(x+y+z+4),
∴x+y+z+4≥.
∴x+y+≥-4=-.
答案:C
我综合，我发展
9.(a+b+c)(++)的最小值为______________(a、b、c∈R+).
解析:(a+b+c)(++)≥()2=9.
答案:9
10.a、b、c、d∈R+,则(+++)(+++)的最小值为_______________.
解析:利用柯西不等式,原式≥(1+1+1+1)2=16.
答案:16
11.若a+b+c+d=1,且a、b、c、d∈R+,则的最小值为__________.
解析:∵［(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)］(+++)
∴x=3,y=1,z=4.
15.已知正数x、y、z满足x+y+z=xyz且不等式≤λ恒成立,求λ的取值范围.
分析:本题的已知条件为x+y+z=xyz,所证的不等式中有和,需要转化为积,由平均不等式转化.
解:∵x、y、z为正数,
∴+≤
=()
=()
≤［(12+12+12)()=,
∴λ的取值范围为［,+∞).
【最新】2019年高中数学5-5运用不等式求最大小值5-5-2利用柯西不等式求最大小值同步测控
同步பைடு நூலகம்控
我夯基,我达标
1.函数y=的最大值为( )
A.3 B. C.2 D.
解析:y2=()2≤［12+()2］［()2+()2］=3,
∴y≤.
答案:B
2.已知2x2+y2=1,则2x+y的最大值为( )
A. B.2 C. D.3
解:①+②,得4x2+9y2+z2+18y+4z=95,
即(2x)2+(3y+3)2+(z+2)2=108.
由①得2x+(3y+3)+(z+2)=18,
∴182=［(2x)+(3y+3)+(z+2)］2≤(12+12+12)［(2x)2+(3y+3)2+(z+2)2］=108×3.
当且仅当2x=3y+3=z+2=6时取“=”.
解析:∵(x+2y+3z)2=()2
≤［12+()2+()2］·［x2+()2+()2］=6(x2+2y2+3z2),
∴x2+2y2+3z2≥6.
答案:A
7.已知a+b+c+d=,则的最小值为( )
A. B.2 C.1 D.4
解析:∵(12+12)(a2+b2)≥(a+b)2,
∴.
同理,,,
∴(a+b)+(b+c)+(c+d)+(d+a)=×2(a+b+c+d)=2,∴最小值为2.
答案:A
4.已知a+b+c=3,且a、b、c∈R+,则的最小值为( )
A.3 B.1 C. D.
解析:∵()［(3-a)+(3-b)+(3-c)］≥a+b+c=3,
而(3-a)+(3-b)+(3-c)=9-(a+b+c)=6,
∴≥.
答案:D
5.a12+a22+…+a102=6,x12+x22+…+x102=24,则a1x1+a2x2+…+a10x10的最大值为( )