南方新高考2016高考数学大一轮总复习第九章第2讲空间几何体的表面积与体积课件理

这几种方法是解决一些不规则几何体体积计算常用的 方法，应熟练掌握．
【例题展示】如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别为线段 AA1，B1C 上的点，则三棱锥 D1-EDF 的体积为________．
【审题过程】将三棱锥 D1-EDF 选择△D1ED 为底面，F 为顶点，进行等体积转化 VD1-EDF＝VF-D1ED 后体积易求．
【解答过程】由三视图复原几何体，几何体是底面是直 角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥．把它扩展 为长方体，两者有相同的外接球，长方体的体对角线的长即 为球的直径 42＋22＋32＝ 29，球的半径为 229，该三棱锥的 外接球的表面积为 4×π×( 229)2＝29π.
答案：A
【温馨提示】解决与球有关的“切”“接”问题，一 般要过球心及多面体中的特殊点或线做截面，把空间问题 转化为平面问题．
解析：该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为 6 cm,4 cm,3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为 3 cm,4 cm,5 cm，所以表面积
S＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3] ＋(5×3＋4×3＋2×21×4×3)
＝99＋39＝138(cm2)．
二 空间几何体的体积
第2讲 空间几何体的表面积和体积
1.若两个球的表面积之比为 1∶4，则这两个球的体积之
比为( C )
A．1∶2
B．1∶4
C．1∶8
D．1∶16
解析：设两个球的半径分别为 r1、r2，根据球的表面积 公式算出它们的表面积之比为rr2122＝41，解之得rr12＝21，由此结合 球的体积公式即可算出这两个球的体积之比．
答案：D
【温馨提示】(1)若所求的几何体是可直接用公式求解 的柱体，锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；(2)若 所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转 换法、分割法、补形法等方法进行求解；(3)若以三视图的 形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图， 然后根据条件求解．
【跟踪训练 3】(2014·天津)一个几何体的三视图如图所示
A．21＋ 3 B．18＋ 3
C．21
D．18
解析：由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图 所示．
因此该几何体的表面积为 6×4－21＋2× 43×( 2)2＝21＋ 3.
【跟踪训练 2】(2014·浙江)某几何体的三视图(单位：cm) 如图所示，则此几何体的表面积是( )
A．90 cm2 B．129 cm2 C．132 cm2 D．138 cm2
【学以致用】(2014·广东汕头一模)某个长方体被一个平 面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的 体积为( )
A．4
B．4 2
C．6 2
D．8
解析：三视图复原的几何体是长方体，长方体 的长、宽、高分别是：2,2,3，所以这个几何体的体 积是 2×2×3＝12，长方体被一个平面所截，得到 的几何体的是长方体的三分之二，如图所示，则这个几何体 的体积为 12×32＝8.
(2)补形法：某些空间几何体是某一个几何体的一部分， 在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或 置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积 问题．
(3)等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥 的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利 用“等积法”可求“点到面的距离”．
17
5
A.27
B.9
C.1207
D.31
解析：由三视图可知几何体是如图所示的两 个圆柱的组合体．其中左面圆柱的高为 4 cm，底 面半径为 2 cm，右面圆柱的高为 2 cm，底面半径 为 3 cm，则组合体的体积 V1＝π×22×4＋π×32×2＝16π＋ 18π＝34π(cm3)，原毛坯体积 V2＝π×32×6＝54π(cm3)，则所 求比值为54π5－4π34π＝1207.
【跟踪训练 5】(2014·大纲)正四棱锥的顶点都在同一球面
上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为( )
81π A. 4
B．16π
C．9π
27π D. 4
解析：如图，设球心为 O，半径为 r，则在 Rt△AOF 中， (4－r)2＋( 2)2＝r2，解得 r＝94，所以该球 的表面积为 4πr2＝4π×(94)2＝841π.
2.如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该
几何体的表面积、体积分别是( C)
A．32π、1238π B．16π、323π C．12π、163π D．8π、136π
解析：三视图复原的几何体是半径为 2 的半球，所以半 球 的 表 面 积 为 半 个 球 的 表 面 积 与 底 面 积 的 和 ： 2πr2 ＋ πr2 ＝ 3πr2＝12π.半球的体积为32πr3＝136π.
(单位：m)，则该几何体的体积为
m3.
解析：根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为 4，高为 2 的圆锥，下部是一个底面直径为 2，高为 4 的圆柱．
故该几何体的体积 V＝13π×22×2＋π×12×4＝203π.
【跟踪训练 4】(2014·全国Ⅱ)如图，网格纸上正方形小格 的边长为 1(表示 1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图， 该零件由一个底面半径为 3 cm，高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削 得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )
R＝
25，所以几何体的外接球的体积
V＝43π×(
25)3＝5
6
5 π.
巧妙解决空间几何中的体积问题 计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的 底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴 截面，将空间问题转化为平面问题求解． 注意求体积的一些特殊方法： (1)分割法：将不规则几何体进行分割，分割后的每一部 分都成为规则几何体，套用公式求出体积后相加，即可求解．
【解答过程】将三棱锥 D1-EDF 选择△D1ED 为底面，F
为顶点，则VD1-EDF＝VF -D1ED ，其中 S
D1ED
1 2 SADD1A1
1 2
，F
到底面
D1ED 的距离等于棱长 1，所以VF-D1ED ＝13×21×1＝61.
【题后总结】本题考查了三棱柱体积的计算，等体积转 化法是常常需要优先考虑的策略．
组合体的体积为( B )
A．72000 cm3 B．64000 cm3 C．56000 cm3 D．44000 cm3
解析：由三视图知，该组合体由两个直棱柱组合而成， 上部长方体三度为：40,20,50；下部长方体三度为：60,40,10； 故组合体的体积 V＝60×40×10＋20×40×50＝64000(cm3)．
一 几何体的表面积
【例 1】几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积 等于________________．
【思路点拨】判断三视图复原的几何体的形状，画出 图形，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．
【解答过程】该几何体是棱长为 2 的正方体的一部分， 直观图是如图所示的四棱锥 P-ABCD，P 是棱 A1D1 的中点， PA＝PD＝ 5，PB＝PC＝3，几何体的表面积为：
3.某空间几何体的三视图及尺寸如图，则该几何体的体
积是(A )
A．2 C.32
B．1 D.31
解析：根据三视图可知几何体是一个三棱柱，底面 是一个直角三角形，两条直角边分别是 1,2，侧棱与底 面垂直，侧棱长是 2.所以几何体的体积是21×1×2×2 ＝2.
4.一简单组合体的三视图及尺寸如图示(单位：cm)则该
【例 2】(2014·广东肇庆一模)某四棱锥的三视图如图所示 (单位：cm)，则该四棱锥的体积是( )
A．27 cm3 C．3 2 cm3
B．9 cm3 D．3 cm3
【思路点拨】先由三视图画出几何体的直观图，理清 其中的线面关系和数量关系，再由锥体的体积计算公式代 入数据计算即可．
【解答过程】由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥 的高为 1，底面是边长为 1＋2＝3 的正方形，所以几何体的体 积 V＝13×32×1＝3(cm3)．
S＝S△PCD＋S△PBC＋S△PBA＋S△PDA＋SABCD ＝ 5＋2 2＋ 5＋2＋4＝6＋2 5＋2 2. 答案：6＋2 5＋2 2
【温馨提示】多面体的表面积是各个面之和，组合体的 表面积应注意重合部分的处理．
【跟踪训练 1】(2014·安徽)一个多面体的三视图如图所示， 则该多面体的表面积为( )
5.(2013·广东)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥
的体积是(B )
1
1
A.6
B.3
2 C.3
D．1
解析：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥 P-ABC， 其中 PA⊥底面 ABC，PA＝2，AB⊥BC，AB＝BC＝1.
所以 S△ABC＝12×AB×BC＝12×12＝12. 因此 V＝13×S△ABC×PA＝13×21×2＝31.
【跟踪训练 6】一个空间几何体的主视图和左视图都是矩 形，俯视图是一个圆，尺寸如图，那么这个几何体的外接球的 体积为( )
4 A. 3
2π
5 C. 6 π析：由三视图可知：几何体是圆柱，且圆柱的高为 2，
底面直径为 1，圆柱的外接球的直径等于 22＋12＝ 5，半径
三 与球有关的几何体的表面积与体积问题
【例 3】一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所 示，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A．29π 29π
C. 2
B．30π D．216π
【思路点拨】几何体复原为底面是直角三角形，一条 侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体 的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其表面积．