2020年河北省高考数学冲刺模拟卷(一)

2020届河北省高考数学冲刺模拟卷（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选
项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U =R ，2
{|ln(1)}A x y x ==-，2
{|4}x B y y -==，则()U A B =I ð（ ）
A ．(1,0)-
B ．[0,1)
C ．(0,1)
D ．(1,0]-
2．已知1a >，则“log log a a x y <”是“2x xy <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知函数2
()(2)g x f x x =-是减函数，且(1)2f =，则(1)f -=（ ） A ．3
2
-
B ．1-
C ．
32
D ．
74
4．已知α是第一象限角，24sin 25α=，则tan 2
α
=（ ） A ．43- B ．43 C ．34- D ．34
5．设向量(2,2)=a ，b 与a 的夹角为3π
4
，且2⋅=-a b ，则b 的坐标为（ ）
A ．(0,1)-
B ．(1,0)-
C ．(0,1)-或(1,0)-
D ．以上都不对
6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n S =（ ） A ．1
2
n -
B ．13()2
n -
C ．12()3
n -
D ．11()2
n -
7．已知α为锐角，则3
2tan tan 2αα
+的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C
D
8．已知a ，b 是两条异面直线，直线c 与a ，b 都垂直，则下列说法正确的是（ ）
A ．若c ⊂平面α，则a α⊥
B ．若c ⊥平面α，则a α∥，b α∥
C ．若存在平面α，使得c α⊥，a α⊂，b α∥
D ．若存在平面α，使得c α∥，a α⊥，b α⊥
9．已知两点(,0)A a ，(,0)(0)B a a ->
，若圆22
((1)1x y -+-=上存在点P ，使得
90APB ∠=︒，则正实数a 的取值范围为（ ）
A ．(0,3]
B ．[1,3]
C ．[2,3]
D ．[1,2]
10．在区间[0,2]上随机取一个数x
，使πsin 22
x ≥的概率为（ ） A ．
1
3
B ．
12 C ．
23
D ．
34
11．已知1F ，2F 为椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端
点，直线1BF 与C 的另一个交点为A ，若2BAF △为等腰三角形，则
12||
||
AF AF =（ ） A ．
13
B ．
12
C ．
23
D ．3
12．已知函数2
()ln(||1)f x x x =++，若对于[1,2]x ∈-，2
2
(22)9ln 4f x ax a +-<+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A
．212
a -<<
B ．11a -<<
C
．22
a +>
或22a <
D
．
2222
a -+<<
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知i 为虚数单位，复数
3i
2i
a +的实部与虚部相等，则实数a = ． 14．执行如图所示的程序框图，则输出的n 的值为 ．
15．某工厂为了解某车间生产的每件产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了200件产品的净重，所得数据均在[96,106]内，将所得数据按[96,98)，[98,100)，[100,102)，
[102,104)，[104,106]分成五组，其频率分布直方图如图所示，且五个小矩形的高构成一
个等差数列，则在抽测的200件产品中，净重在区间[98,102)内的产品件数是 ．
16．在平面直角坐标系xOy 中，(1,2)P 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线l
上的一点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，若1290F PF ∠=︒，则双曲线的左顶点到直线
l 的距离为 ．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222b c a bc +=+． （1）求角A 的大小；
（2）若sin 2sin cos A B C =，是判断ABC △的形状并给出证明．
18．（12分）某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x （单位：万元）和收益y （单位：万元）的数据如下表：
他们用两种模型①y bx a =+，②bx
y ae =分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计了的值：
残差图
（1）根据残差图，比较模型①②的拟合效果，应选则那个模型？并说明理由； （2）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除： （ⅰ）剔除异常数据后，求出（1）中所选模型的回归方程； （ⅱ）广告投入量18x =时，（1）中所选模型收益的预报值是多少？
附：对于一组数据11(,)x y ，22(,)x y ，L ，(,)n n x y ，其回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1
1
2
2
2
1
1
()()ˆ()
n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nxy
b
x x x
nx ====---==
--∑∑∑∑，ˆˆa
y bx =-．
19．（12分）如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，
2CB GF =，BF CF =．
（1）求证：AB CG ⊥；
（2）若ABC △和梯形BCGF 3G ABE -的体积．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2
2:14
x C y +=，点11(,)P x y ，22(,)Q x y 是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，
2k ，若11(,)2x y =m ，22(,)2
x
y =n ，0⋅=m n ．
（1）求证：121
4
k k ⋅=-
； （2）试探求OPQ △的面积S 是否为定值．
21．（12分）已知函数()(ln )x
f x xe a x x =-+，a ∈R ． （1）当a e =时，判断()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
已知曲线C
的参数方程为sin x y αα⎧=
⎪⎨⎪=⎩
（α为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）P ，Q 为曲线C 上两点，若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，求22
22||||
||||
OP OQ OP OQ ⋅+u u u r u u u r u u u
r u u u r 的值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数1
()||()3
f x x a a =-∈R ． （1）当2a =时，解不等式1
||()13
x f x -+≥；
（2）设不等式1||()3x f x x -+≤的解集为M ，若11
[,]32
M ⊆，求实数a 的取值范围．
参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选
项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】C
9．【答案】B
10．【答案】A
11．【答案】A
12．【答案】A
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】3
14．【答案】2017
15．【答案】100
16．【答案
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）π3
A =；（2）ABC △为等边三角形，证明见解析． 18．【答案】（1）应该选择模型①，详见解析；（2）（ⅰ）ˆ38.04y x =+；（ⅱ）62.04万
元．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）13
． 【解析】（1）如图，取BC 的中点为D ，连接DF ， 由题意得，平面ABC ∥平面EFG ，平面ABC I 平面BCGF BC =，
平面EFG I 平面BCGF FG =，∴BC FG ∥，
∵2CB GF =，∴CD GF ∥，CD GF =，
∴四边形CDFG 为平行四边形，∴CG DF ∥，
∵BF CF =，D 为BC 的中点，∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥．
∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且平面ABC I 平面BCGF BC =，CG ⊂平面BCGF ， ∴CG ⊥平面ABC ，
又AB ⊂平面ABC ，∴AB CG ⊥．
（2）∵2CB GF =，∴2AC EG =，
又AC EG ∥，∴2ACG AEC S S =△△，
∴1122
G ABE B AEG B ACG G ABC V V V V ----===三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥， 由（1）知CG ⊥平面ABC ，∴CG BC ⊥．
∵正三角形ABC 3，
∴2BC =，1CF =，直角梯形BCGF 3
∴(12)32
CG +⋅=233CG =， 11112233
ABC G ABE G ABC V V S CG --==⨯⨯⨯=△三棱锥三棱锥． 20．【答案】（1）证明见解析；（2）为定值，详见解析．
【解析】（1）∵1k ，2k 存在，∴120x x ≠，
∵0⋅=m n ，∴121204
x x y y +=，∴12121214y y k k x x ⋅==-． （2）①当直线PQ 斜率不存在时，即12x x =，12y y =-时， 由121214y y x x =-，得221114
x y -=， 又由11(,)P x y 在椭圆上，得221114
x y +=，
∴1||x
，1||2y =，∴1121||||12
POQ S x y y =⋅-=△． ②当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 的方程为(0)y kx b b =+≠， 由2214
y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(41)8440k x kbx b +++-=， 222222644(41)(44)16(41)0Δk b k b k b =-+-=+->， ∴122841
kb x x k -+=+，21224441b x x k -=+， ∵121204x x y y +=，∴1212()()04
x x kx b kx b +++=，得22241b k -=，满足0Δ>，
∴211|||2||12241
POQ S PQ b b k ====+△， ∴OPQ △的面积S 为定值．
21．【答案】（1）()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；（2）(,)e +∞．
【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，
当a e =时，(1)()()x x xe e f x x
+-'=， 令()0f x '=，得1x =，
∵当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，
∴()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．
（2）记ln t x x =+，则ln t x x =+在(0,)+∞上单调递增，且t ∈R ，
∴()(ln )x y f x xe a x x ==-+，即t
y e at =-，
令()t g t e at =-，∴()f x 在0x >上有两个零点等价于()t g t e at =-在t ∈R 上有两个零点．
①当0a =时，()t g t e =，在R 上单调递增，且()0g t >，故()g t 无零点；
②当0a <时，()0t g t e a '=->，()g t 在R 上单调递增，
又(0)10g =>，11()10a g e a =-<，故()g t 在R 上只有一个零点； ③当0a >时，由()0t
g t e a '=-=可知()g t 在ln t a =时有唯一的极小值(ln )(1ln )g a a a =-．
若0a e <<，()(1ln )0g t a a =->极小值，()g t 无零点；
若a e =，()0g t =极小值，()g t 只有一个零点；
若a e >，()(1ln )0g t a a =-<极小值，而(0)10g =>， 由ln x y x
=在x e >时为减函数，可知当a e >时，2a e e a a >>，从而2()0a g a e a =->， ∴()g x 在(0,ln )a 和(ln ,)a +∞上各有一个零点，
综上当a e >时，()f x 有两个零点，即实数a 的取值范围是(,)e +∞．
22．【答案】（1）225
3sin 2ρθ=+；（2）57
． 【解析】（1
）由cos 2sin x y αα⎧=⎪⎨⎪=⎩
，得曲线C 的普通方程是22215x y +=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得2222sin 2cos 5ρθρθ+=， 即225
3sin 2ρθ=+（22255sin 2cos ρθθ
=+）．
（2）因为2
2255sin 2cos ρθθ=+，所以22212cos sin 5θθρ=+， 由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，得OP OQ ⊥，
设点P 的极坐标为1(,)ρθ，则点Q 的极坐标可设为2π(,)2ρθ±
， 所以22222222222212||||11111112cos 2sin ||||sin cos ||||55OP OQ OP OQ OP OQ θθθθρρ⋅===++++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1
52
7
15==+． 23．【答案】（1）{|0x x ≤或1}x ≥；（2）14
[,]23-．
【解析】（1）当2a =时，1||()13x f x -
+≥，即|31||2|3x x -+-≥． ①当13x ≤
时，不等式即1323x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； ②当123
x <<时，不等式即3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x ≤<； ③当2x ≥时，不等式即3123x x -+-≥，解得32
x ≥，所以2x ≥， 综上所述，当2a =时，不等式的解集为{|0x x ≤或1}x ≥．
（2）不等式1||()3
x f x x -
+≤可化为|31|||3x x a x -+-≤， 依题意不等式|31|||3x x a x -+-≤在11[,]32x ∈上恒成立，所以31||3x x a x -+-≤， 即||1x a -≤，即11a x a -≤≤+， 所以1131
12
a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1423a -≤≤， 故实数a 的取值范围是14[,]23
-．。