瑞安市实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

瑞安市实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知集合P={x|﹣1＜x ＜b ，b ∈N}，Q={x|x 2﹣3x ＜0，x ∈Z}，若P ∩Q ≠∅，则b 的最小值等于（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2． 对于复数
,若集合具有性质“对任意,必有”,则当
时,等于 ( )
A1 B-1 C0 D
3． 奇函数()f x 满足()10f =，且()f x 在()0+∞，上是单调递减，则
()()
21
0x f x f x -<--的解集为（ ） A ．()11-， B ．()
()11-∞-+∞，，
C ．()1-∞-，
D ．()1+∞，
4． 已知(2,1)a =-，(,3)b k =-，(1,2)c =(,2)k =-c ，若(2)a b c -⊥，则||b =（ ） A ．35 B ．32 C ．25 D ．10
【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．
5． 已知函数f （x ）=sin 2（ωx ）﹣（ω＞0）的周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为（ ）
A ．π
B ．
C ．
D ．
6． 给出函数()f x ，()g x 如下表，则(())f g x 的值域为（ ）
A ．{}4,2
B ．{}1,3
C ．{}1,2,3,4
D ．以上情况都有可能
7． 复数z=
（其中i 是虚数单位），则z 的共轭复数=（ ）
A
．
﹣i B
．﹣
﹣i C
．
+i D
．﹣
+i
8． 抛物线y=﹣8x 2的准线方程是（ ） A ．
y=
B ．y=2
C ．
x=
D ．y=﹣2
9． 双曲线E 与椭圆C ：x 29＋y 2
3＝1有相同焦点，且以E 的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积
为π，则E 的方程为（ ） A.x 23－y 2
3＝1 B.x 24－y 2
2＝1 C.x 25－y 2
＝1 D.x 22－y 2
4＝1 10．已知集合M={1，4，7}，M ∪N=M ，则集合N 不可能是（ ）
A ．∅
B ．{1，4}
C ．M
D ．{2，7}
二、填空题
11．已知1,3x x ==是函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>两个相邻的两个极值点，且()f x 在32
x = 处的导数302f ⎛⎫
'<
⎪⎝⎭
，则13f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
___________． 12．已知向量,满足42
=a ，2||=，4)3()(=-⋅+，则与的夹角为 .
【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题. 13．已知双曲线
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程是y=
x ，它的一个焦点在抛物线y 2=48x 的准
线上，则双曲线的方程是 ．
14．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=()210{ 21(0)
x
x
x e
x x x +≥++<，若函数y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，则a 的取值范围是_____．
15．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2+2x+a ≤0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是 ．（用区间表示）
16．在△ABC 中，若角A
为锐角，且=（2，3
），=（3，m ），则实数m 的取值范围是 ．
三、解答题
17．（本小题满分12分）
设椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率12e =，圆22
127x y +=与直线1x y a b +=相切，O 为坐标原
点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点(4,0)Q -任作一直线交椭圆C 于,M N 两点，记MQ QN λ=，若在线段MN 上取一点R ,使 得MR RN λ=-，试判断当直线运动时，点R 是否在某一定直一上运动？若是，请求出该定直线的方 程；若不是，请说明理由.
18．证明：f （x ）是周期为4的周期函数；
（2）若f （x ）=
（0＜x ≤1），求x ∈[﹣5，﹣4]时，函数f （x ）的解析式．
18．已知函数f （x ）=是奇函数．
19．（本题满分15分）
设点P 是椭圆14
:2
21=+y x C 上任意一点，
过点P 作椭圆的切线，与椭圆)1(14:22222>=+t t y t x C 交于A ，B 两点．
PA=；
（1）求证：PB
∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
（2）OAB
【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．
20．已知数列{a n}的前n项和为S n，首项为b，若存在非零常数a，使得（1﹣a）S n=b﹣a n+1对一切n∈N*都成立．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）问是否存在一组非零常数a，b，使得{S n}成等比数列？若存在，求出常数a，b的值，若不存在，请说明理由．
21．已知命题p ：∀x ∈[2，4]，x 2﹣2x ﹣2a ≤0恒成立，命题q ：f （x ）=x 2﹣ax+1在区间上是增函数．若
p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．
22．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且990S =，15240S =． （1）求{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ；
（2）设(){}
1n
n n b a --是等比数列，且257,71b b ==，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的通项与前n 项和、数列求和等基础知识，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、代数变形能力，以及分类讨论思想、方程思想、分组求和法的应用．
瑞安市实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：集合P={x|﹣1＜x ＜b ，b ∈N}，Q={x|x 2
﹣3x ＜0，x ∈Z}={1，2}，P ∩Q ≠∅，
可得b 的最小值为：2． 故选：C ．
【点评】本题考查集合的基本运算，交集的意义，是基础题．
2． 【答案】B 【解析】由题意，可取，所以
3． 【答案】B 【解析】
试题分析：由
()()()()()2121
02102x x x f x f x f x f x --<⇒⇒-<--，即整式21x -的值与函数()f x 的值符号相反，当0x >时，210x ->；当0x <时，210x -<，结合图象即得()
()11-∞-+∞，，．
考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式. 4． 【答案】A 【
解
析
】
5． 【答案】D
【解析】解：由函数f （x ）=sin 2
（ωx ）﹣=﹣cos2ωx （ω＞0）的周期为
=π，可得ω=1，
故f （x ）=﹣cos2x ．
若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0），可得y=﹣cos2（x ﹣a ）=﹣cos （2x ﹣2a ）的图象；
再根据所得图象关于原点对称，可得2a=k π+，a=
+
，k ∈Z ．
则实数a 的最小值为．
故选：D
【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数y=Acos （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．
6． 【答案】A
【解析】
试题分析：()()()()((1))14,((2))14,((3))32,((4))34,f g f f g f f g f f g f ========故值域为
{}4,2.
考点：复合函数求值． 7． 【答案】C
【解析】解：∵z==，
∴=．
故选：C ．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
8． 【答案】A
【解析】解：整理抛物线方程得x 2
=﹣y ，∴p=
∵抛物线方程开口向下，
∴准线方程是y=，
故选：A ．
【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．
9． 【答案】
【解析】选C.可设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1，
渐近线方程为y ＝±b
a x ，即bx ±ay ＝0，
由题意得E 的一个焦点坐标为（6，0），圆的半径为1， ∴焦点到渐近线的距离为1.即
|6b |b 2
＋a
2
＝1，
又a 2＋b 2＝6，∴b ＝1，a ＝5，
∴E 的方程为x 25－y 2
＝1，故选C.
10．【答案】D
【解析】解：∵M ∪N=M ，∴N ⊆M ， ∴集合N 不可能是{2，7}， 故选：D
【点评】本题主要考查集合的关系的判断，比较基础．
二、填空题
11．【答案】12
【解析】
考
点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式．
【思路点晴】本题主要考查两个知识点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式.三角函数的极值点，也就是最大值、最小值的位置，所以两个极值点之间为半周期，由此求得周期和ω，再结合极值点的导数等于零，可求出ϕ.在求ϕ的过程中，由于题目没有给定它的取值范围，需要用302f ⎛⎫
'<
⎪⎝⎭
来验证.求出()f x 表达式后，就可以求出13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭.1
12．【答案】3
2π
【
解析】
13．【答案】
【解析】解：因为抛物线y 2
=48x 的准线方程为x=﹣12，
则由题意知，点F （﹣12，0）是双曲线的左焦点， 所以a 2+b 2=c 2=144，
又双曲线的一条渐近线方程是y=x ，
所以=
，
解得a 2=36，b 2=108，
所以双曲线的方程为．
故答案为：
．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，确定c 和a 2的值，是解题的关键．
14．【答案】1
1[133e
e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭
，）
【解析】当x ＜0时，由f （x ）﹣1=0得x 2+2x+1=1，得x=﹣2或x=0，
当x ≥0时，由f （x ）﹣1=0得
110x x
e
+-=，得x=0， 由，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1=0得f （x ）﹣a=0或f （x ）﹣a=﹣2， 即f （x ）=a ，f （x ）=a ﹣2， 作出函数f （x ）的图象如图：
y=
1x x
e +≥1（x ≥0）， y ′=1x
x e
-，当x ∈（0，1）时，y ′＞0，函数是增函数，x ∈（1，+∞）时，y ′＜0，函数是减函数，
x=1时，函数取得最大值：1
1e
+，
当1＜a ﹣211e <+时，即a ∈（3，3+1
e ）时，y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有4个零点，
当a ﹣2=1+1e 时，即a=3+1
e 时则y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，
当a ＞3+1
e 时，y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有1个零点
当a=1+1
e
时，则y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，
当1
1{ 21
a e a >+
-≤时，即a ∈（1+1
e
，3）时，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点．
综上a ∈11[133e e ⎧⎫
+⋃+⎨⎬⎩⎭，），函数有3个零点．
故答案为：11[133e e ⎧⎫
+⋃+⎨⎬⎩⎭
，）．
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 15．【答案】 （1，+∞）
【解析】解：∵命题p ：∃x ∈R ，x 2
+2x+a ≤0，
当命题p 是假命题时，
命题￢p ：∀x ∈R ，x 2
+2x+a ＞0是真命题；
即△=4﹣4a ＜0， ∴a ＞1；
∴实数a 的取值范围是（1，+∞）． 故答案为：（1，+∞）．
【点评】本题考查了命题与命题的否定的真假性相反问题，也考查了二次不等式恒成立的问题，是基础题目．
16．【答案】
．
【解析】解：由于角A 为锐角，
∴
且
不共线，
∴6+3m ＞0且2m ≠9，解得m ＞﹣2且
m ．
∴实数m
的取值范围是．
故答案为：
．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的条件，是基础题．
三、解答题
17．【答案】（1）22
143
x y +=；（2）点R 在定直线1x =-上.
【解析】
试
题解析：
（1）由12e =，∴2214e a =，∴22
34a b =
7=
，
解得2,a b ==，所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=
.
设点R 的坐标为00(,)x y ，则由MR RN λ=-⋅，得0120()x x x x λ-=--， 解得112
12
21212011224
424()
41()814
x x x x x x x x x x x x x x x λλ
++
⋅-+++=
==+-+++
+
又221212222
64123224
24()24343434k k x x x x k k k
---++=⨯+⨯=+++，
21222
3224()883434k x x k k -++=+=++，从而121201224()
1()8
x x x x x x x ++==-++， 故点R 在定直线1x =-上.
考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系. 18．【答案】
【解析】（1）证明：由函数f （x ）的图象关于直线x=1对称， 有f （x+1）=f （1﹣x ），即有f （﹣x ）=f （x+2）．
又函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，有f （﹣x ）=﹣f （x ）．故f （x+2）=﹣f （x ）．
从而f （x+4）=﹣f （x+2）=f （x ）．即f （x ）是周期为4的周期函数．
（2）解：由函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，有f （0）=0．x ∈[﹣1，0）时，﹣x ∈（0，1]
，
．故x ∈[﹣1，0]
时，．x ∈[﹣5，﹣4]时，x+4∈[﹣1，0]
，．
从而，x ∈[﹣5，﹣4]时，函数f （x
）的解析式为．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质，函数解析式的求解常用的方法，本题解题的关键是根据函数是一个奇函
数对函数式进行整理，本题是一个中档题目．
19．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
.
∴点P 为线段AB 中点，PB PA =；…………7分
（2）若直线AB 斜率不存在，则2:±=x AB ，与椭圆2C 方程联立可得，)1,2(2--±t A ，)1,2(2-±t B ，
故122
-=∆t S OAB ，…………9分
若直线AB 斜率存在，由（1）可得
148221+-=+k km x x ，144422221+-=k t m x x ，1
41141222212
+-+=-+=k t k x x k AB ，…………11分
点O 到直线AB 的距离2
22
1141k
k k
m d ++=
+=，…………13分
∴122
1
2-=⋅=
∆t d AB S OAB ，综上，OAB ∆的面积为定值122-t ．…………15分 20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵数列{a n }的前n 项和为S n ，首项为b ，
存在非零常数a ，使得（1﹣a ）S n =b ﹣a n+1对一切n ∈N *
都成立，
由题意得当n=1时，（1﹣a ）b=b ﹣a 2，∴a 2=ab=aa 1， 当n ≥2时，（1﹣a ）S n =b ﹣a n+1，（1﹣a ）S n+1=b ﹣a n+1， 两式作差，得：a n+2=a •a n+1，n ≥2， ∴{a n }是首项为b ，公比为a 的等比数列，
∴
．
（Ⅱ）当a=1时，S n =na 1=nb ，不合题意， 当a ≠1
时，，
若
，即
，
化简，得a=0，与题设矛盾，
故不存在非零常数a ，b ，使得{S n }成等比数列．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查使得数列成等比数列的非零常数是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
21．【答案】
【解析】解：∀x ∈[2，4]，x 2
﹣2x ﹣2a ≤0恒成立， 等价于a
≥x 2
﹣x 在x ∈[2，4]恒成立， 而函数g （x ）
=x 2
﹣x 在x ∈[2，4]递增，
其最大值是g （4）=4， ∴a ≥4，
若p 为真命题，则a ≥4；
f （x ）=x 2﹣ax+1
在区间上是增函数，
对称轴
x=
≤，∴a ≤1， 若q 为真命题，则a ≤1； 由题意知p 、q 一真一假，
当p 真q 假时，a ≥4；当p 假q 真时，a ≤1， 所以a 的取值范围为（﹣∞，1]∪[4，+∞）．
22．【答案】
【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，
则由990S =，15240S =，得11
93690
15105240a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12a d ==，……………3分
所以2(n 1)22n a n =+-⨯=，即2n a n =，
(1)
22(1)2
n n n S n n n -=+
⨯=+，即1n S n n =+（）．……………5分。