2020高考数学二轮复习80分小题精准练4理

80分小题精准练(四)
（建议用时：50分钟）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝｛x|－2＜x＜1｝，B＝｛x｜x2－x－2＜0｝，则A∩B＝( ）
A．（－1，1）B．（－2,2)
C．（－1，2）D．(1,2)
A[B＝{x｜x2－x－2＜0｝＝｛x｜－1＜x＜2｝，则A∩B＝｛x｜－1＜x＜1}＝(－1,1），故选A。

］
2．“a＝2"是“复数z＝错误!(a∈R）为纯虚数”的( ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C［复数z＝错误!＝错误!＝a－2＋(a＋2）i(a∈R）为纯虚数,则a －2＝0，a＋2≠0.
∴“a＝2”是“复数z＝错误!(a∈R）为纯虚数”的充要条件．故
选C.]
3．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2,且(a＋b)(a－2b)＝4，则向量a，b的夹角为( ）
A.错误!B。

错误!
C.错误!
D.错误!
D［∵(a＋b)（a－2b)＝4，∴a2－a·b－2b2＝4，
a·b＝9－2×4－4＝－3，
∴cos〈a,b〉＝错误!＝错误!＝－错误!，
又〈a，b〉∈［0，π]，∴〈a，b〉＝错误!。

故选D。

］
4．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝（）
A．－错误!B．－错误!
C。

错误!D．2
A［因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心坐标为（1,4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝错误!＝1，解得a＝－错误!.］5．(x－1)7(x＋1)3的展开式中x的系数是（)
A．10 B．4
C．－10 D．－4
B［（x－1）7（x＋1）3的展开式含x的项是:
C错误!(－1)7·C错误!x·C错误!·12＋C错误!x C错误!（－1）6·C错误!·13＝4x.
∴（x－1）7（x＋1）3的展开式中x的系数是4。

故选B.］
6．（2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log2 0。

2，b＝20。

2，c＝0.20。

3,则( ) A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．b＜c＜a
B[∵a＝log20.2＜0，b＝20.2＞1，c＝0。

20.3∈（0,1)，∴a<c〈b。

故选B.］
7．已知数列{a n}满足a1＝1,a2＝错误!，若a n(a n－1＋2a n＋1）＝3a n－1·a n (n≥2，n∈N＊）,则数列｛a n｝的通项a n＝( )
＋1
A。

错误!B。

错误!
C.错误!D。

错误!
B［由a n(a n－1＋2a n＋1)＝3a n－1·a n＋1(n≥2,n∈N＊），
可得错误!－错误!＝2错误!，
错误!－错误!＝3－1＝2，
∴数列错误!是首项为2，公比为2的等比数列．
∴错误!－错误!＝2n。

∴错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝错误!＝2n－1.
∴a n＝错误!.故选B.]
8．（2019·浙江高考）设0＜a＜1。

随机变量X的分布列是
则当a在（
A．D（X)增大
B．D(X)减小
C．D（X)先增大后减小
D．D（X）先减小后增大
D[E(X)＝0×错误!＋a×错误!＋1×错误!＝错误!,
D（X）＝错误!错误!×错误!＋错误!错误!×错误!＋错误!错误!×错误!
＝1
27
［(a＋1)2＋（2a－1)2＋(a－2)2］
＝错误!（a2－a＋1）＝错误!错误!错误!＋错误!。

∵0＜a＜1，∴D(X）先减小后增大，故选D.]
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,若b＝5，
C＝60°，且△ABC的面积为5错误!，则△ABC的周长为（）A．8＋21 B．9＋错误!
C．10＋错误!D．14
B[由题意，根据三角形面积公式，得错误!ab sin C＝5错误!，即错误! a×5×错误!＝5错误!，解得a＝4。

根据余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C,即c2＝16＋25－2×4×5×错误!，c＝错误!,所以△ABC的周长为9＋错误!。

故选B。

]
10．已知抛物线C：y2＝8x与直线y＝k(x＋2)（k＞0）相交于A，B两点,F为抛物线C的焦点，若|FA｜＝2|FB｜，则AB的中点的横坐标为（)
A．错误!B．3
C．5 D．6
A［根据题意，设AB的中点为G，
抛物线C：y2＝8x的准线为l：x＝－2，焦点为F（2,0），
直线y＝k(x＋2）恒过定点P（－2，0)．
如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N,
由｜FA｜＝2|FB|，则｜AM｜＝2|BN｜，
即点B为AP的中点．连接OB，则|OB|＝错误!｜AF｜，
又由｜FA|＝2|FB|，则|OB｜＝|BF|，点B的横坐标为1，
又B为P、A的中点,则A的横坐标为4，
故AB的中点G的横坐标为错误!＝错误!,故选A.］
11．已知三棱锥O­ABC的底面△ABC的顶点都在球O的表面上,且AB＝6，BC＝23,AC＝4错误!,且三棱锥O。

ABC的体积为4错误!，则球O的体积为( ）
A.错误!B。

错误!
C.错误!
D.错误!
D[由O为球心，OA＝OB＝OC＝R,
可得O在底面ABC的射影为△ABC的外心，
AB＝6，BC＝2错误!，AC＝4错误!,可得△ABC为AC 斜边的直角三角形,O在底面ABC的射影为斜边AC的中点M，可得错误!·OM·错误!AB·BC＝错误!OM·12错误!＝4错误!，
解得OM＝2，R2＝OM2＋AM2＝4＋12＝16,即R＝4,
球O的体积为错误!πR3＝错误!π·64＝错误!π.故选D.］
12．(2019·兰州模拟)已知函数f(x）＝2sin（ωx＋φ)（0＜ω＜1，|φ｜＜错误!)的图象经过点（0,1),且关于直线x＝错误!对称,则下列结论
正确的是( ）
A．f(x）在错误!上是减函数
B．若x＝x0是f(x)图象的对称轴，则一定有f′(x0)≠0
C．f（x)≥1的解集是错误!,k∈Z
D．f(x）图象的一个对称中心是错误!
D［由f（x)＝2sin（ωx＋φ）的图象经过点（0,1），得sin φ＝错误!,
又|φ|＜π
2
，所以φ＝错误!,则f（x）＝2sin错误!.因为f(x)的图象关于直线
x＝错误!对称，所以存在m∈Z使得错误!ω＋错误!＝mπ＋错误!，得ω＝错误!＋错误!（m∈Z)，又0＜ω＜1，所以ω＝错误!，则f（x)＝2sin错误!.令2nπ
＋π
2
≤
1
2
x＋错误!≤2nπ＋错误!,n∈Z，得4nπ＋错误!≤x≤4nπ＋错误!,n∈Z，
故A错误；若x＝x0是f（x）图象的对称轴,则f（x）在x＝x0处取得极值，所以一定有f′（x0)＝0，故B错误;由f（x)≥1得4kπ≤x≤4kπ＋错误!，k∈Z,故C错误；因为f错误!＝0,所以错误!是其图象的一个对称中心，故D正确．选D。

］
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分．
13．电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是“中华诗词”“社会主义核心价值观”“依法治国理
念”“中国戏剧”“创新能力”．某参赛队从中任选2个主题作答，则“中华诗词”主题被该队选中的概率是________．
错误![由于知识竞赛有5个版块,某参赛队从中任选2个主题作答，基本事件总数有C错误!＝10种，“中华诗词”主题被该队选中的对立事件是“社会主义核心价值观”“依法治国理念”“中国戏剧”“创新能力”选2个主题，∴“中华诗词”主题被该队选中的概率为1－错误!＝错误!。

］
14．直线y＝错误!b与双曲线错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0)的左、右两支分别交于B，C两点,A为双曲线的右顶点，O为坐标原点，若OC平分∠AOB,则该双曲线的离心率为________．
错误!［∵OC平分
∠AOB,∴∠AOC＝∠COB，
由双曲线的对称性可知∠BOy＝∠COy，
∴∠AOC＝2∠COy，
∴∠AOC＝60°，
故直线OC的方程为y＝3x,
令3x＝错误!b可得x＝b，即C（b，错误!b）,
代入双曲线方程可得错误!－3＝1，即错误!＝2，∴b＝2a，
∴c＝错误!＝错误!a，∴e＝错误!＝错误!。

］
15．等比数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，S n＋2＝4S n＋3恒成立，则a1的值为________．
－3或1 ［设等比数列{a n}的公比为q(q≠0),当q＝1时，S n＋2＝（n＋2）a1，S n＝na1,由S n＋2＝4S n＋3,得（n＋2)a1＝4na1＋3，即3a1n ＝2a1－3,若对任意的正整数n，
3a1n＝2a1－3恒成立,则a1＝0且2a1－3＝0,矛盾，所以q≠1，所以S n＝错误!,S n＋2＝错误!，代入S n＋2＝4S n＋3并化简得a1(4－q2)q n＝3＋3a1－3q，若对任意的正整数n该等式恒成立，则有｛4－q2＝0，，3＋3a1－3q＝0，解得错误!或错误!故a
＝－3或1。

］
1
16．函数f（x）＝［ax2－（4a＋1)x＋4a＋3］e x在x＝2处取得极大值，则实数a的取值范围为________．
错误!［f(x)的导数为f′（x)＝[ax2－(2a＋1）x＋2]e x＝（x－2）(ax －1)e x，
若a＝0则x＜2时，f′(x）＞0，f（x）递增；x＞2，f′(x）＜0，f（x)递减．
x＝2处f(x)取得极大值，满足题意；
若a＝错误!，则f′（x）＝错误!(x－2)2e x≥0，f（x)递增,无极值，
不满足题意；
若a＞错误!，则0＜错误!＜2，f（x）在错误!上递减；在(2,＋∞），错误!上递增，可得f(x）在x＝2处取得极小值,不满足题意;
当0＜a＜错误!，则错误!＞2，f（x）在错误!上递减;在错误!，(－∞，2）上递增，可得f（x)在x＝2处取得极大值,满足题意；
若a＜0，则错误!＜0，f(x)在错误!上递增；在(2，＋∞），错误!上递减，可得f(x)在x＝2处取得极大值,满足题意．
综上可得，a的取值范围是错误!.］。