【独家内部】2020届高考全国名校考前提分仿真卷(共十套)理科数学(二)试卷(有答案)

2020年高考全国名校考前提分仿真卷（共十套）
理科数学（二）
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合{|lg(1)}A x y x ==-，{|2}x B y y ==，则A B =I （ ） A ．(0,)+∞ B ．[1,0)-
C ．(0,1)
D ．(,1)-∞
2．设22
(1i)1i
z =+++，则||z =（ ） A
B ．1
C ．2
D
3．设向量(2,1)=-a ，(,2)x =b 且(2)(2)-+∥a b a b ，则⋅=a b （ ） A ．10-
B ．6-
C ．6
D ．10
4．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若1717S =，则9a =（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．已知某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判断错误的 是（ ）
A ．乙班的理科综合成绩强于甲班
B ．甲班的文科综合成绩强于乙班
C ．两班的英语平均分分差最大
D ．两班的语文平均分分差最小
6．已知曲线C 的方程为2ln(1)x y x e =++，则曲线C 在点(0,1)A 处的切线方程为（ ）
A ．31y x =+
B ．21y x =+
C ．31y x =-+
D ．21y x =-+
7．521
(
2)(1)x x
-+的展开式中2x 的系数为（ ） A ．15- B ．5-
C ．10
D ．15
8．设a ，c 为正数，且13
3log a
a =，1
()93
b
=，31()log 3
c
c =，则（ ）
A ．b a c <<
B ．c b a <<
C ．c a b <<
D ．a b c <<
9．如图，网格纸上每个小正方形的边长均为1，粗线画出的是某棱锥的三视图，则该棱锥的体积 为（ ）
A ．
32
B ．3
C ．
23
D ．
43
10
．已知函数2()2cos 24f x x x =+，则下列判断错误的是（ ） A ．函数π()6
y f x =-的最小正周期为π
B ．()f x 的图象关于直线π
3
x =对称 C ．()f x 的值域为[1,3]-
D ．()f x 的图象关于点π
(,1)24
-
对称 11．已知椭圆22
22:+=1(0)x y C a b a b
>>的左右焦点分别为12,F F ，点A 是椭圆上一点，线段1AF 的
垂直平分线与椭圆的一个交点为B ，若23AB F B =u u u r u u u u r
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A ．
13
B
．
3
C ．
23
D
．
3
12．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC △
是边长为
的等边三角形，
PA PB ==，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A ．16π
B ．
65π
4
C ．
65π
16
D ．
49π
4
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知数列{}n a 是等差数列，且93a =，则48122a a a ++= ．
14．已知π1sin()54α-=，则3π
cos(2)5
α+= ．
15．2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中．为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为 ．
16．过点(1,0)M -的直线l 与抛物线2:4C y x =交于,A B 两点（A 在,M B 之间），F 是C 的焦点，点N 满足6NF AF =u u u r u u u r
，则ABF △与AMN △的面积之和的最小值是 ．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知向量(sin ,sin sin )A B C =-m
，
(,)a b c =-+n ，且⊥m n ．
（1）求角C 的值；
（2）若ABC △为锐角三角形，且1c =
b -的取值范围．
18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且=4PG ，1
3
AG GD =，BG GC ⊥，2GB GC ==，E 是BC 的中点．
（1）求异面直线GE 与PC 所成角的余弦值； （2）若F 点是棱PC 上一点，且DF GC ⊥，求
PF
FC
的值．
19．（12分）已知以F 为焦点的抛物线2
:2(0)C y px p =>过点(1,2)P -，直线l 与C 交于,A B
两点，M 为AB 中点，且OM OP OF λ+=u u u u r u u u r u u u r
． （1）当=3λ时，求点M 的坐标；
（2）当12OA OB ⋅=u u u r u u u r
时，求直线l 的方程．
20．（12分）为响应“文化强国建设”号召，并增加学生们对古典文学的学习兴趣，某中学计划建设一个古典文学熏陶室．为了解学生阅读需求，随机抽取200名学生做统计调查．统计显示，男生喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女生喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人． （1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系?
（2）为引导学生积极参与阅读古典文学书籍，语文教研组计划牵头举办校园古典文学阅读交流会．经过综合考虑与对比，语文教研组已经从这200人中筛选出了5名男生代表和4名女生代表，其中有
3名男生代表和2名女生代表喜欢古典文学．现从这9名代表中任选3名男生代表和2名女生代表
参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望E ξ．
附：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
参考数据：
2
0()
P K k >
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0k
0.4550.708 1.323 2.072 2.706
3.841
21．（12分）已知函数()ln 2sin f x x x x =-+，证明： （1）()f x 在区间(0,π)存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5cos 4sin x y α
α
=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2
2:4cos 30C ρρθ-+=．
（1）求曲线1C 的一般方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若点P 在曲线1C 上，点Q 曲线2C 上，求||PQ 的最小值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()|23||1|f x x x =++-． （1）解不等式()4f x >； （2）若存在3
[,1]2
x ∈-使不等式1()a f x +>成立，求实数a 的取值范围．
理科数学答案（二）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C
【解析】∵10x ->，∴1x <，∴(,1)A =-∞， ∵20x >，∴(0,)B =+∞，则(0,1)A B =I ． 2．【答案】D 【解析】∵22(1i)
12i i 1i (1i)(1i)
z -=+++=++-
，∴||z ==
3．【答案】A
【解析】2(4,4)x -=--a b ，2(22,3)x++=a b ，
∵(2)(2)-+∥a b a b ，∴(4)34(22)x x -⨯=-⨯+，解得4x =-， ∴向量(2,1)=-a ，(4,2)=-b ，则8210⋅=--=-a b ． 4．【答案】A
【解析】∵{}n a 是等差数列，∴1179
17917()172171722
a a a S a +⨯====，∴91a =．
5．【答案】D
【解析】由甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图可得： 乙班的理科综合成绩强于甲班，即选项A 正确； 甲班的文科综合成绩强于乙班，即选项B 正确； 两班的英语平均分分差最大，即选项C 正确； 两班的地理平均分分差最小，即选项D 错误． 6．【答案】A
【解析】对函数2ln(1)x
y x e
=++，求导得21
21
x y e x '=
++，所求切线的斜率为3k =， 因此，曲线C 在点(0,1)A 处的切线方程为31y x =+． 7．【答案】A
【解析】5
(1)x +的通项公式为5155C 1C r r r r r r T x x -+=⨯⋅=， 当2r =时，222
35C 10T x x ==；当4r =时，44455C 5T x x ==，
故5
21(
2)(1)x x
-+的展开式中2x 的系数为5(2)1015+-⨯=-． 8．【答案】A
【解析】13
3log (0,1)a
a a =⇒∈，1
()923
b
b =⇒=-，31()log 13
c
c c =⇒>，
∴b a c <<． 9．【答案】A 【解析】如图所示，
正方体1111ABCD A B C D -的边长为3，
,M N 分别为AB ，1DD 的三等分点，且11BM D N ==，
三棱锥1N B MB -即为所求三棱锥，113
(13)3322
V =⨯⨯⨯⨯=． 10．【答案】A 【解析】由题意，
2π
()2cos 24cos 4412sin(4)16
f x x x x x x ==++=++，
对于选项A ，π
πππ()2sin[4()]12sin(4)12cos 416662
f x x x x -=-++=-+=-+，
其最小正周期为
2ππ
42
=，故A 错误； 对于选项B ，令ππ4π,62x k k +=+∈Z ，得ππ
,124
k x k =+∈Z ， 当1k =时，得π
3
x =
，所以B 正确； 对于选项C ，π()2sin(4)16f x x =++，由πsin(4)[1,1]6
x +∈-，得()[1,3]f x ∈-，
所以C 正确； 对于选项D ，令π4π,6x k k +=∈Z ，得ππ
,244
k x k =-+∈Z ， 当0k =时，π
24
x =-，所以D 正确． 11．【答案】B
【解析】由题意知1||||AB BF =，
又23AB F B =u u u r u u u u r
，所以线段AB 过点2F 且22||2||AF F B =，
不妨设2||F B m =，故1222||||||||3||3F B AB AF F B F B m ==+==， 由椭圆定义可得12||+||24F B F B a m ==，
故21||=2F B a ，13
||2
BF a =，2||AF a =，12||2||AF a AF a =-=，
故点A 为椭圆短轴的一个端点，
不妨设(0,)A b ，过点B 作BM x ⊥轴于M ， 由2AOF △和2BMF △相似，
又22||2||AF F B =，可得1||||22b MB AO ==，221||||22c
F M F O ==，
所以点3(,)22
c b
B -，
代入椭圆的方程可得22229144c b a b +=，解得2213c a =
，即3
e =
．
12．【答案】B
【解析】如图所示，取AB 中点D ，连接,PD CD ，三角形的中心E 在CD 上， 过点E 作平面ABC 垂线在垂线上取一点O ，使得PO OC =，
因为三棱锥底面是一个边长为E 为三角形的中心， ∴OA OB OC ==，∴O 点即为球心，
因为PA PB =，D 为AB 中点，所以PD AB ⊥，
因为平面PAB ⊥平面ABC ，∴PD ⊥平面ABC ，则OE PD ∥，
3CD ==，2
23
CE CD =
=， 1DE CD CE =-=
，2PD ==，
设球的半径为r ，则有PO OC r ==
，OE =
作OG PD ⊥于G ，则OEDG 为矩形，2
2
2
()PD DG OG PO -+=，
即222(21r +=，解得2
65
16
r =， 故三棱锥外接球的表面积为265π
4π4
S r ==
．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】12
【解析】∵{}n a 是等差数列，根据等差中项公式， ∴48126129222412a a a a a a ++=+==． 14．【答案】7
8
-
【解析】依题意，22πππ17cos(2)cos[2()]12sin ()155588
ααα-=-=--=-=， 而3π3π2π7
cos(2)cos[π(2)]cos[2]5558ααα+
=--+=--=-． 15．【答案】
13
【解析】将3名志愿者安排辅导四个学科，共有122
342C C A 36=种排法； 其中甲恰好辅导数学的情况有31
33A 2C 12+=种，
所以所求概率为121
363
P ==． 16．【答案】8
【解析】设直线方程为1x ty =-，联立241
y x x ty ⎧=⎨=-⎩，化简可得2
440y ty -+=，
则2=16160Δt ->，解得1t >或1t <-，
不妨设1t >
，则2A y t =-
2B y t =+ 因为6NF AF =u u u r u u u r
，所以612N A y y t ==-， 所以1
2()2
ABF MBF AMF B A B A S S S y y y y =-=
⨯⨯-=-△△△， 1
2()2
AMN MNF AMF N A N A S S S y y y y =-=⨯⨯-=-△△△，
则ABF AMN B A N A S S y y y y +=-+-△△
=2122(2t t t +--
=101)t t ->，
令(
)10f t t =-
，则()10f t '=-
，
令()0f t '=，解得5
4
t =，
当514t <<时，()0f t '<，所以()f t 在5
(1,)4
上单调递减； 当54t >
时，()0f t '>，所以()f t 在5
(,)4+∞上单调递增， 即当5
4
t =时()f t 取得最小值，所以ABF AMN S S +△△的最小值为8．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）π
6
C =
；（2
）． 【解析】（1）因为⊥m n
，所以()sin ()(sin sin )0a A b c B C ⋅=++-=m n ，
由正弦定理化角为边可得2220a b c +-=
，即222a b c +-=，
由余弦定理可得cos C =， 又0πC <<，所以π6
C =． （2）因为π6C =
，1c =，所以由正弦定理12π
sin sin sin sin 6
a b c A B C ====， 得2sin a A =，2sin b B =， 又由（1）可得5π6
A B +=
，
5ππ2sin sin(
)]2sin()66
b A B A A A -=-=--=-， 因为ABC △为锐角三角形，所以π02
5ππ
062A A ⎧
<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩
，即ππ32A <<，
所以πππ663A <-<
，所以1πsin()26A <-<
，所以π12sin()6A <-<
b -
的取值范围为．
18．【答案】（1
；（2）3PF FC =． 【解析】（1）以G 点为原点，GB uuu r ，GC u u u r ，GP uuu r
分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，
则(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,4)P ， 故(1,1,0)E ，(1,1,0)GE =u u u r ，(0,2,4)PC =-u u u r
，
∵cos ,10||||
GE PC
GE PC GE PC ⋅<>===⋅u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u
r u u u r ， ∴GE 与PC
所成角的余弦值为
10
． （2）设(0,,)F y z ，则3333
(0,,)(,,0)(,,)2222
DF y z y z =--=-u u u r ，
∵DF GC ⊥u u u r u u u r ，∴0DF GC ⋅=u u u r u u u r
，
即33(,,)(0,2,0)23022y z y -
⋅=-=，∴32
y =， 又PF PC λ=u u u r u u u r ，即3(0,,4)(0,2,4)2z λ-=-，∴=1z ，故3
(0,,1)2
F ，
∴3(0,,3)2PF =-u u u r ，1
(0,,1)2FC =-u u u r
，∴3PF FC ==． 19．【答案】（1）(2,2)M ；（2）6y x =-．
【解析】（1）因为(1,2)P -在22y px =上，代入方程得2p =，
所以C 的方程为2
4y x =，焦点为(1,0)F ，
设00(,)M x y ，当=3λ时，由3OM OP OF +=u u u u r u u u r u u u r
，可得(2,2)M ． （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，
由OM OP OF λ+=u u u u r u u u r u u u r
，可得00(1,2)(,0)x y λ+-=，
所以02y =，所以l 的斜率存在且斜率1212120
42
1y y k x x y y y -====-+，
可设直线l 的方程为y x b =+，
联立24y x b y x
=+⎧⎨=⎩，得22
(24)0x b x b +-+=，
则22
(24)40Δb b =-->，解得1b <，
且1242x x b +=-，212x x b =，2
121222()4y y x x b x x b b =+++=，
所以21212412OA OB x x y y b b ⋅=+=+=u u u r u u u r
，解得6b =-或2b =（舍去）
所以直线l 的方程为6y x =-．
20．【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为；（2）分布列见解析，14
5
E ξ=．
【解析】（1）根据所给条件，制作列联表如下：
男生
女生
总计
喜欢阅读古典文学 64 36 100 不喜欢阅读古典文学
56
44
100
总计
120 80
200
所以2K 的观测值2
()200(64445636)4
()()()()120801001003
n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯=
==++++⨯⨯⨯， 因为2
K 的观测值4
1.3233
k =>，由所给临界值表可知，在犯错误的概率不超过0.25的前提下认
为喜欢阅读古典文学与性别有关系．
（2）设参加交流会的5人中喜欢古典文学的男生代表m 人，女生代表n 人，则m n ξ=+， 根据已知条件可得=1,2,3,4,5ξ，
122322
3254C C C 1(=1)(1,0)=C C 20
P P m n ξ====⋅，
12121123223222
32325454C C C C C C C 3(=2)(1,1)(2,0)+=C C C C 10
P P m n P m n ξ===+===⋅⋅，
(=3)(1,2)(2,1)(3,0)P P m n P m n P m n ξ===+==+==
1221032112
323223222
2323232545454C C C C C C C C C C 7=C C C C C C 15
=⋅+⋅+⋅，
21032113
2
2
3
22
2
3
23254
54C C C C C C C 1
(=4)(2,2)(3,1)=C C C C 6
P P m n P m n ξ===+===
⋅+⋅， 032232
3254C C C 1(=5)(3,2)=C C 60
P P m n ξ====⋅，
所以ξ的分布列是：
ξ 1
2
3
4
5
p
120
310
715
16
160
所以1371114123452010156605
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）设1
()()12cos g x f x x x
'==
-+， 当(0,π)x ∈时，2
1
()2sin 0g x x x '=--<，所以()g x 在(0,π)上单调递减， 又因为π33()1103ππg =
-+=>，π2
()102π
g =-<， 所以()g x 在ππ(,)32
上有唯一的零点α，即函数()f x '在(0,π)上存在唯一零点α，
当(0,)x α∈时，()0f x '>，()f x 在(0,)α上单调递增； 当(,π)x α∈时，()0f x '<，()f x 在(,π)α上单调递减， 所以()f x 在(0,π)上存在唯一的极大值点ππ
(
)32
αα<<． （2）①由（1）知：()f x 在(0,π)上存在唯一的极大值点ππ
()32
αα<<， 所以π
πππ
()()ln 2202222
f f α>=-+>->， 又因为2222
1111
(
)22sin 220f e e e e =--+<--+<， 所以()f x 在(0,)α上恰有一个零点，
又因为(π)ln ππ2π0f =-<-<，所以()f x 在(,π)α上也恰有一个零点； ②当[π,2π)x ∈时，sin 0x ≤，()ln f x x x ≤-，
设()ln h x x x =-，1
()10h x x
'=
-<， 所以()h x 在[π,2π)上单调递减，所以()(π)0h x h ≤<，
所以当[π,2π)x ∈时，()()(π)0f x h x h ≤≤<恒成立， 所以()f x 在[π,2π)上没有零点；
③当[2π,)x ∈+∞时，()ln 2f x x x ≤-+， 设()=ln 2x x x ϕ-+，1
()10x x
ϕ=
-<， 所以()x ϕ在[2π,)+∞上单调递减，
所以()(2π)ln 2π2π222π242π0x ϕϕ≤=-+<-+=-<， 所以当[2π,)x ∈+∞时，()()(2π)0f x x ϕϕ≤≤<恒成立， 所以()f x 在[2π,)+∞上没有零点， 综上，()f x 有且仅有两个零点．
22．【答案】（1）221:12516
x y C +=，22
2:430C x y x +-+=；
（2）min ||2PQ =． 【解析】（1）由5cos 4sin x y αα=⎧⎨=⎩
，消去参数α可得22
12516x y
+=，
将cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨
=⎩代入24cos 30ρρθ-+=，得22
430x y x +-+=．
（2）2C 的圆心为(2,0)M ，
则2222
||(5cos 2)(4sin 0)9cos 20cos 20MP αααα=-+-=-+， 由1cos 1α-≤≤知，当cos 1α=时，2min
||920209MP =-+=，
故min
||
3MP =，从而min ||2PQ =．
23．【答案】（1）(,2)(0,)-∞-+∞U ；（2）3
(,)2
+∞．
【解析】（1）()|23||1|f x x x =++-，∴332,23()4,
1232,
1x x f x x x x x ⎧
--<-⎪⎪
⎪
=+-≤≤⎨⎪
+>⎪⎪⎩
， ∴()4f x >，∴32324x x ⎧<-⎪⎨⎪-->⎩或31244
x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+>⎩或1
324x x >⎧⎨+>⎩，
∴2x <-或01x <≤或1x >，
综上，不等式()4f x >的解集为(,2)(0,)-∞-+∞U ． （2）存在3
[,1]2
x ∈-
使不等式1()a f x +>成立min 1()a f x ⇔+>， 由（1）得，3[,1]2x ∈-时，()4f x x =+，此时min 5()2
f x =， ∴512a +>
，∴32
a >， ∴实数a 的取值范围为3
(,)2
+∞．。