用试验数据修正混合的阻尼矩阵与刚度矩阵

用试验数据修正混合的阻尼矩阵与刚度矩阵
周硕;杨帆
【摘要】研究用试验数据修正振动系统的双对称阻尼矩阵和对称次反对称刚度矩阵,利用二次特征值反问题的理论和方法说明了问题的可解性,借助正交基的方法将约束矩阵问题转化为常见的非约束问题,进而对首1的二次特征值反问题进行求解.并讨论了给定任意矩阵的最佳逼近问题,给出问题的最佳逼近解.
【期刊名称】《东北电力大学学报》
【年(卷),期】2019(039)002
【总页数】6页(P87-92)
【关键词】二次特征值反问题;双对称矩阵;对称次反对称矩阵;正交基
【作者】周硕;杨帆
【作者单位】东北电力大学理学院,吉林吉林132012;东北电力大学理学院,吉林吉林132012
【正文语种】中文
【中图分类】O241.6
Tisseur和Meerbergen概述了二次特征值问题的各种应用、数学理论和数值方法[1]，此后，Lancaster又对二次特征值问题的理论进行深入研究[2].在工程技术，特别是结构动力模型修正技术领域，经常遇到与二次特征值问题相反的问题，称之为二次特征值反问题[3～7].结构动力模型修正即为利用结构现场实测的振动信息
修正结构有限元模型，使得修正后结构分析的模态参数与试验值趋于一致.随着建
模技术和结构动力测试技术的日渐成熟，结构动力模型修正受到了广大科研工作者的重视，修正结构动力模型的方法不断创新具有广泛应用[8～9].双对称矩阵和对
称次反对称矩阵在信息论、线性系统理论、线性估计理论、数值分析、振动理论等领域具有一定实际意义和重要应用，其反问题的研究已经取得了一定进展，应用不同方法求矩阵反问题的双对称解和对称次反对称解已有研究[10～12].本文对混合
矩阵的二次特征值反问题及其最佳逼近进行研究，用试验数据修正振动系统的双对称阻尼矩阵和对称次反对称刚度矩阵.
令Rn×n表示n阶实矩阵的集合，ORn×n表示n阶正交矩阵的集合，SRn×n表
示n阶实对称矩阵的集合，rank(A)表示矩阵A的秩，Ik和Sk分别表示k阶单位矩阵和k阶反序单位矩阵，A+表示矩阵A的Moore-Penrose广义逆，0表示适
当阶数的零矩阵.A⊗B=(aijB)表示矩阵A与B的Kronecker乘积，vec(A)表示矩
阵A的列拉直向量，x(n1：n2)表示由向量x的第n1个坐标分量到第n2个坐标
分量所构成的(n2-n1+1)维列向量，A[1：k，1：k]表示由矩阵A的第1行到第k 行，第1列到第k列构成的子矩阵，·表示Frobenius范数.
定义1 若矩阵A=(aij)∈Rn×n，满足aij=aji=an-j+1，n-i+1，(i， j=1，2，…，n)，则称A为双对称矩阵.所有n阶双对称矩阵的全体记为BSRn×n.
定义2 若矩阵B=(bij)∈Rn×n，满足bij=bji=-bn-j+1，n-i+1，(i，j=1，2，…，n)，则称B为对称次反对称矩阵.所有n阶对称次反对称矩阵的全体记为
SASRn×n.
问题Ⅰ 给定矩阵X∈Rn×m，Λ=diag(Λ1，Λ2，…，Λl)∈Rm×m，Λj(j=1，2，…，l)为1阶或2阶矩阵，求矩阵C∈BSRn×n，K∈SASRn×n使得
XΛ2+CXΛ+KX=0.
(1)
问题Ⅱ 给定矩阵求使得
2+
其中：SCK是问题Ⅰ的解集合.
1 问题I的解
引理1[13] 若矩阵A∈BSRn×n，则矩阵A可以表示为
∀A1∈SR(n-k)×(n-k)，∀A2∈SRk×k，
其中：D是一个n阶正交实矩阵，当n=2k时，
当n=2k+1时，
引理2[14] 若矩阵B∈SASRn×n，则矩阵B可表示为
∀F∈R(n-k)×k，
其中：D为上述的n阶正交实矩阵.
引理3[15] 设矩阵A∈Rp×n，X∈Rn×m，B∈Rm×q，则
vec(AXB)=(BT⊗A)vec(X).
引理4[15] 给定E∈Rm×n，b∈Rm，线性方程组Ex=b有解的充分必要条件为
EE+b=b，在有解的情况下，其通解为
x=E+b+(I-E+E)s，∀s∈Rn.
令其中：其中：F∈R(n-k)×k.
(2)
(3)
易验证{Sij}为空间BSRn×n的一组正交基，维数为空间SASRn×n的一组正交基，
维数N2=k(n-k).则对任意的C∈BSRn×n，K∈SASRn×n，都存在aij，bst∈R，使得
(4)
(5)
问题I中的矩阵方程等价于
(6)
令其中：N=N1+N2，
α=(a1，1，…，a1，n-k，a22，…，a2，n-k，…，an-k，n-k，an-k+1，n-
k+1，…，an-k+1，n，…，ann)T，
(7)
β=(b1，n-k+1，…，b1n，b2，n-k+1，…，b2n，…，bn-k，n-k+1，bn-k，n)T.
(8)
令M=(S，T)∈Rn×N，其中：
S=(S1，1，…，S1，n-k，S22，…，S2，n-k，…，Sn-k，n-k，Sn-k+1，n-
k+1，…，Sn-k+1，n，…，Snn)，
T=(T1，n-k+1，…，T1n，T2，n-k+1，…，T2n，…，Tn-k，n-k+1，…，Tn-k，n).
矩阵方程(6)等价于
(9)
对应基中各元素的坐标，令
b=vec(-DTXΛ2)，
(10)
G=(vec(S1，1DTXΛ)，…，vec(S1，n-kDTXΛ)，vec(S2，2DTXΛ)，…，vec(S2，n-kDTXΛ)，
…，vec(Sn-k，n-kDTXΛ)，vec(Sn-k+1，n-k+1DTXΛ)，…，vec(Sn-k+1，
nD TXΛ)，…，
vec(Sn，nDTXΛ)，vec(T1，n-k+1DTX)，…，vec(T1，nDTX)，vec(T2，n-
k+1DTX)，…，
vec(T2，nDTX)，…，vec(Tn-k，n-k+1DTX)，…，vec(Tn-k，nDTX))，
(11)
矩阵方程(9)等价于
Gγ=b，
(12)
方程组的解为
γ=G+b+(I-G+G)z，∀z∈RN.
(13)
令其中：
令M=(S，T)=(M1，M2，T)，Mi中元素的下标与αi中元素的下标相对应，β中元素的下标与T中元素的下标相对应.
则有⊗⊗In)，其中：
A1=S(α⊗In)[1：n-k，1：n-k]，
A2=S(α⊗In)[n-k+1：n，n-k+1：n]，
F=T(β⊗In)[1：n-k，n-k+1：n].
定理1 已知矩阵X∈Rn×m，Λ=diag(Λ1，Λ2，…，Λl)∈Rm×m，设C、K、α、β、b、G分别如公式(4)、公式(5)、公式(7)、公式(8)、公式(10)、公式(11)所示，则问题Ⅰ有解等价于问题(12)有解，其通解为
γ=G+b+(I-G+G)z，∀z∈RN，
其中：因此问题Ⅰ的解为
其中：
A1=S(α⊗In)[1：n-k，1：n-k]，
A2=S(α⊗In)[n-k+1：n，n-k+1：n]，
F=T(β⊗In)[1：n-k，n-k+1：n].
2 问题Ⅱ的解
若问题Ⅰ有双对称的阻尼矩阵和对称次反对称的刚度矩阵为解，则SCK显然为闭凸集，那么问题Ⅱ存在唯一的最佳逼近解.
引理7[16] 已知则存在唯一的使
已知对于∀(CK)∈SCK，由上述引理，问题Ⅱ等价于
2+2=min
其中：
上式等价于
2+2=min，
等价于
2+2=min,
即为
α-η2+β-δ2=min.
上式等价于
2=min，
等价于
2=min..
(14)
解为∀y∈RN，得到最佳逼近解
⊗In)[1：n-k，1：n-k]，
⊗In)[n-k+1：n，n-k+1：n]，
⊗In)[1：n-k，n-k+1：n],
(15)
其中：中元素的下标与Mi中元素的下标相对应，中元素的下标与T中元素的下标相对应.
定理2 对任意矩阵C∈BSRn×n，K∈SASRn×n，满足定理1的条件，那么问题Ⅱ有唯一逼近解
其中：和如公式(10)、公式(11)、公式(14)、公式(15)所示.
参考文献
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