江苏省扬州市邗江区2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试卷 (2)

【题文】
（本小题满分16分）
某班级共派出n +1个男生和n 个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生倪某为领队.入场时，领队男生倪某必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有n E 种排法；入场后，又需从男生（含男生倪某）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有n F 种选法.（1）试求n E 和n F ； （2）判断n E ln 和n F 的大小（n N +∈），并用数学归纳法证明.
【答案】
解：（1）2(!)n n n n n E A A n =⋅=，111(1)n n n F C C n n +=⋅=+.．...........................4分
（2）因为ln 2ln !,(1)n n E n F n n ==+，所以11ln 02E F =<=，22ln ln 46E F =<=， 33ln ln3612,E F =<=，由此猜想：当*n N ∈时，都有ln n n E F <，即2l n !(1)
n n n <+. 下面用数学归纳法证明2ln !(1)n n n <+（*n N ∈）. ...........................6分
①1n =时，该不等式显然成立. ..................................... ..8分
②假设当*()n k k N =∈时，不等式成立，即2ln !(1)k k k <+，. ...............10分 则当1n k =+时，2ln(1)!2ln(1)2ln !2ln(1)(1)k k k k k k +<++<+++，
要证当1n k =+时不等式成立.只要证：2ln(1)(1)(1)(2)k k k k k +++≤++， 只要证：ln(1)1k k +≤+.. ............................................. ...13分
令()ln ,(1,)f x x x x =-∈+∞，因为'1()0x f x x
-=<，所以()f x 在(1,)+∞上单调递减， 从而()(1)10f x f <=-<，而1(1,)k +∈+∞，所以ln(1)1k k +≤+成立.
则当1n k =+时，不等式也成立. ....................................... ...15分
综合①、②得原不等式对任意的*
n N ∈均成立............................ ...16分
【解析】
【标题】江苏省扬州市邗江区2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试卷【结束】。