专题17 直线与椭圆的位置关系-2019年高考数学母题题源系列(江苏专版)(解析版)

专题17 直线与椭圆的位置关系
【母题来源一】【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的
焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:2
2
2
(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=
5
2
． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．
【答案】（1）22
143
x y +=；
（2）3(1,)2E --. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c .
因为F 1(−1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=
5
2
，AF 2⊥x 轴，
所以DF 232
=
=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2−c 2，得b 2=3.
因此，椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=.
（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22
143
x y +=，a =2，
因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.
将x =1代入圆F 2的方程(x −1) 2
+y 2
=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(−1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2. 由22
()22
116
y x x y =+-+=⎧⎨
⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115
x =-
. 将115x =-
代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112
(,)55
B --.
又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3
(1)4
y x =-.
由22
14
33(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得2
76130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得3
2
y =-. 因此3(1,)2
E --.
解法二：由（1）知，椭圆C ：22
143
x y +=.
如图，连结EF 1
.
因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .
因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.
因为F 1(−1，0)，由2214
31
x x y ⎧⎪
⎨+
==-⎪⎩，得32y =±.
又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以3
2
y =-. 因此3(1,)2
E --.
【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.
【母题来源二】【2018年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1
3,)2
，焦点
12(F F ，圆O 的直径为12F F ．
（1）求椭圆C 及圆O 的方程；
（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．
①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；
②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △
的面积为
7
，求直线l 的方程． 【答案】（1）椭圆C 的方程为2214x y +=，
圆O 的方程为22
3x y +=；（2）
①；
②y =+． 【解析】（1）因为椭圆C
的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>．
又点1)2在椭圆C 上，所以22
22311,43,
a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2
24,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
因此椭圆C 的方程为2
214
x y +=．
因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为22
3x y +=．
（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22
003x y +=，
所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =-
-+，即000
3x y x y y =-+． 由22
0001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
消去y ，得2222
00004243640()x y x x x y +-+-=．（*）
因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，
所以222222000000()()(
24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >
，所以001x y ==．因此点P
的坐标为．
②因为三角形OAB
的面积为
7
，所以1 27AB OP ⋅=
，从而7
AB =．
设1122,,()(),A x y B x y ，由（*
）得001,2x =
，
所以22
2
2
121()()x B y y x A =-+-2220002222
00048(2)
(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．
因为2
2
003x y +=，所以22
022
016(2)32(1)49
x AB x -==+，即42
002451000x x -+=， 解得2
2005(202x x =
=舍去），则2
012y =，因此P
的坐标为2
． 综上，直线l
的方程为y =+．
【母题来源三】【2017年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y
E a b a b
+=>>的
左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为
1
2
，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；
（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．
（注：椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的准线方程：2
a x c
=±）
【答案】（1）22143x y +=；（2
）．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ．
因为椭圆E 的离心率为1
2，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c
=，
解得2,1a c ==，
于是b ==
因此椭圆E 的标准方程是22
143
x y +=．
（2）由（1）知，1(1,0)F -，2(1,0)F ． 设00(,)P x y ，
因为P 为第一象限的点，故000,0x y >>． 当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符． 当01x ≠时，直线1PF 的斜率为
001y x +，直线2PF 的斜率为0
01
y x -． 因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y +-
，直线2l 的斜率为00
1
x y --，
从而直线1l 的方程：00
1
(1)x y x y +=-
+ ①， 直线2l 的方程：00
1
(1)x y x y -=-
- ②． 由①②，解得200
01
,x x x y y -=-=， 所以2000
1
(,)x Q x y --． 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001
x y y -=±， 即22
001x y -=或22001x y +=．
又P 在椭圆E 上，故2200
143
x y +=．
由22
002200
114
3x y x y ⎧-=⎪⎨+
=⎪⎩
，解得00x y ==
22002
200
114
3x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解． 因此点P
的坐标为． 【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满足曲线方程）等．
【命题意图】
（1）了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质. （3）了解圆锥曲线的简单应用. （4）理解数形结合的思想. 【命题规律】
解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.从近三年高考情况来看，均考查直线与椭圆的位置关系，常与向量、圆等知识相结合，解题时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养. 【方法总结】
（一）求椭圆的方程有两种方法:
（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a 2
，b 2
的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：
第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.
第二步，设方程.根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22
221(0)y x a b a b
+=>>
.
第三步，找关系.根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）. 第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分
类讨论或把椭圆的方程设为22
100()mx ny m n m n >>+≠＝
，且. （二）椭圆的几何性质及应用：
（1）与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了. （2）椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法： ①求出a ,c ，代入公式c
e a
=
. ②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =－转化为a ,c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a 2
转化为关于e 或e 2
的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）.
（三）直线与圆锥曲线的弦长问题：
（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．
（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长． （3）当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于1122(,),(,)A x y B x y 两个不同的点，
则弦长1212||(0)＝AB x x y y k =-=-≠. （4）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.
（5）中点弦问题：AB 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点M (x 0，y 0)，
则AB 所在直线的斜率为20
20
b x k a y =-，弦AB 的斜率与弦中点M 和椭圆中心O 的连线的斜率之积为定值
2
2b a
-. （四）圆锥曲线中的定点、定值问题
定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.
1．【江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测数学试题】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆
()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 椭圆上一点，且2PF 垂直于x 轴，连
接1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设1
PQ FQ =λ.
（1）若点P 的坐标为()2,3，求椭圆C 的方程及λ的值； （2）若45λ≤≤，求椭圆C 的离心率的取值范围.
【答案】（1）22
11612x y +=，103λ=；（2
）37⎢⎣⎦
. 【解析】（1）因为2PF 垂直于x 轴，且点P 的坐标为()2,3， 所以2224a b c -==，
2
249
1a b
+=，解得216a =，212b =， 所以椭圆的方程为22
11612
x y +=.
所以()12,0F -，直线
1PF 的方程为()3
24
y x =+， 将()324y x =+代入椭圆C 的方程，解得267
Q x =-，
所以11
26210726327P Q F Q x x PQ FQ x x +
-====--+λ
.
（2）因为2PF x ⊥轴，不妨设P 在x 轴上方，()0,P c y ，00y >. 设()11,Q x y ， 因为P 在椭圆上，
所以2
20221y c a b +=，解得20b y a =，即2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
（方法一）因为()1,0F c -，由1P
Q F Q =λ得，()11c x c x λ-=--，2
11b y y a
λ-=-，解得111x c λλ+=-
-，()2
11b y a
λ=--，
所以()21,11b Q c a λλλ⎛⎫+-- ⎪ ⎪--⎝⎭
.
因为点Q 在椭圆上，
所以()2
22
22
1111b e a
λλλ+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭-，即()()
()2222111e e λλ++-=-， 所以2
(2)2e λλ+=-，
从而2
2
2
e λλ-=
+. 因为45λ≤≤，
所以
21337e ≤≤，解得37
e ≤≤，
所以椭圆C 的离心率的取值范围7⎣⎦
. 【名师点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.圆锥曲线中的离心率的计算或范围问题，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系或不等关系，其中不等关系的构建需要利用题设中的范围、坐标的范围、几何量的范围或点的位置等． （1）把P 的坐标代入方程得到
2
249
1a b
+=，结合224a b -=解出,a b 后可得标准方程.求出直线1PF 的方程，联立椭圆方程和直线方程后可求Q 的坐标，故可得λ的值.
（2）因2,b P c a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，故可用,,,a b c λ表示Q 的坐标，利用它在椭圆上可得λ与,,a b c 的关系，化简后可
得λ与离心率e 的关系，由λ的范围可得e 的范围.
2．【江苏省南通市2019届高三模拟练习卷（四模)数学试题】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：
22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)经过点(0
，)，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）当MF ＝2FN 时，求直线l 的方程；
（3）若直线l 上存在点P 满足PM ·PN ＝PF 2
，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．
【答案】（1）22143
x y +=；
（2
20y ±-=；（3）见解析. 【解析】（1）设椭圆的截距为2c ，由题意，b
，
由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a +c ＝2
a c c
-，
又a 2＝b 2+c 2，联立解得a ＝2，c ＝1．
∴椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=.
（2）当直线l 与x 轴重合时，M （﹣2，0），N （2，0），此时MF ＝3NF ，不合题意； 当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为x ＝my +1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），
联立221
14
3x my x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0，
则∆＝36m 2+36（3m 2+4）＞0，122634m y y m +=-
+ ①，12
29
34
y y m =-+②，
由MF ＝2FN ，得y 1＝﹣2y 2③， 联立①③得，1222
126,3434
m m
y y m m =-=++，
代入②得，()
2
2
2
2
72934
34m m m
-
=-
++，解得5
m =±
．
20y ±-=.
（3）当直线l 的斜率为0时，M （2，0），N （﹣2，0）， 设P （x 0，0），则PM •PN ＝|（x 0﹣2）（x 0+2）|， ∵点P 在椭圆外， ∴x 0﹣2，x 0+2同号， 又()2
201,PF x =-
()()()2
000221x x x ∴-+=-，解得05
2
x =
． 当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝my +1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由（2）知，
121222
69
,3434
m y y y y m m +=-
=-++，
10200,,PM y PN y PF y =-=-=．
∵点P 在椭圆外， ∴y 1﹣y 0，y 2﹣y 0同号，
∴PM •PN ＝（1+m 2）（y 1﹣y 0）（y 2﹣y 0）＝(
)()2
2
12
0120
1m
y y
y y y y ⎡⎤+-++⎣⎦
()()2222
00022
69113434m m y y m y m m ⎛⎫=++-=+ ⎪++⎝
⎭， 整理得032y m =
，代入直线方程得052
x =． ∴点P 在定直线5
2
x =上．
【名师点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．
（1）由题意，b ，再由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a +c ＝2a c c
-，结合隐含
条件解得a ＝2，c ＝1，则椭圆方程可求；
（2）当直线l 与x 轴重合时，求得MF ＝3NF ，不合题意；当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为
x ＝my +1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，由根与系数
的关系及MF ＝2FN 求得m 值，则直线方程可求；
（3）当直线l 的斜率为0时，设P （x 0，y 0），由PM •PN ＝PF 2，求得05
2
x =
，当直线l 的斜率不为0时，由（2）中的根与系数的关系及PM •PN ＝PF 2
，求得032y m =，代入直线方程得052
x =，由此可得点P 在
定直线5
2
x =上．
3．【江苏省南通市2019届高三适应性考试数学试题】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：
22
22
1(0)x y a b a b
+=>>经过点3(1,)2.设椭圆C 的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线与x 轴交于点M ，且F 为线段AM 的中点.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若过点A 的直线l 与椭圆C 相交于另一点P （P 在x 轴上方），直线PF 与椭圆C 相交于另一点Q ，且直线l 与OQ 垂直，求直线PQ 的斜率.
【答案】（1）22
143
x y +=；
（2
）【解析】（1）因为(,0)A a -，(,0)F c ，2
(,0)a M c ，且F 为AM 的中点，
所以2
2a a c c
-+=，则2220c ac a +-=，即(2)()0c a a c -+=，
所以2a c =，22223b a c c =-=.
因为点3(1,)2在椭圆上，
所以22
9
141a b +
=，
联立可得24a =，2223b a c =-=.
所以椭圆的标准方程为22
143
x y +=.
（2）由题意知直线AP 的斜率必存在且大于0， 设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+>. 代入椭圆方程并化简得：(
)2
2
22341616120k
x
k x k +++-=，
因为22
1612
234p k x k --=+，得226834p k x k -=+，
所以222681223434P k k
y k k k
⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭，
当2
1
4k =
时，PQ 的斜率不存在，此时0OQ AP ⋅≠，不符合题意. 当2
14k ≠时，直线PQ 的方程为：2
4(1)14k y x k =
--， 因为0OQ AP ⋅=，
所以直线OQ 的方程为：1
=-
y x k
， 两直线联立解得：(
)
2
4,4Q k k -， 因为Q 在椭圆上，
所以421616143k k +=，化简得：()()22
23610k k +-=，即6
k =±
， 因为0k >，
所以k =
，此时2,3
Q ⎛ ⎝⎭.
所以直线PQ 的斜率为【名师点睛】本题主要考查求椭圆方程，以及直线与椭圆的应用，熟记椭圆标准方程的求法以及椭圆的简单性质，结合根与系数的关系等求解即可，属于常考题型.
（1）根据题意先得(,0)A a -，(,0)F c ，2
(,0)a M c
，由F 为AM 的中点，椭圆过点3(1,)2，列出关系
式，求出24a =，2223b a c =-=，即可得出椭圆方程；
（2）先由题意确定直线AP 的斜率必存在且大于0，设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+>，联立直线与椭圆方程，结合根与系数的关系与题中条件，即可求出结果.
4．【江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试数学试题】已知在
平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b
+=（a ＞b ＞0，其短轴长为2．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝1
2
-，,AD DP AE λ==EQ μ（λ，μ为非零实数），求λ2+μ2的值．
【答案】（1）2
212
x y +=；
（2）1. 【解析】（1）因为短轴长2b ＝2， 所以b ＝1，
又离心率e ＝
c a =
a 2﹣
b 2＝
c 2
，解得a ，c ＝1， 则椭圆C 的方程为22
x +y 2
＝1.
（2）由（1）可得点 A ，0），
设P （x 1，y 1），D （x 0，y 0），则y 1＝k 1x 1，y 0＝k 2x 0，
由AD DP =λ可得x 0＝λ（x 1﹣x 0），y 0＝λ（y 1﹣y 0），
即有x 0＝
110
11x y y λλλλ-+=+，k 1x 1＝y 1＝1λλ+y 0＝1λλ+k 2x 0＝k 2（x 1﹣λ
），
两边同乘以k 1，可得k 12
x 1＝k 1k 2（x 1
﹣
λ
）＝﹣
12（x 1
﹣λ
）， 解得x 1
11111212y k k =++， 将P （x 1，y 1）代入椭圆方程可得λ2＝
22
1
12k +， 同理，由AE EQ μ=可得μ2
＝212
2
21211212k k k =++， 可得λ2+μ2＝1．
【名师点睛】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查直线方程和向量共线的坐标表示，以及化简整理的运算能力，属于中档题．
（1）由题意可得b ＝1，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，可得a ，b ，进而得到椭圆方程； （2）求得A 的坐标，设P （x 1，y 1），D （x 0，y 0），运用向量共线坐标表示，结合条件求得P 的坐标，代
入椭圆方程，可得λ2
＝22112k +，同理得μ2＝212
1
212k k +，即可得λ2+μ2
的值． 5．【江苏省南通市2019届高三下学期4月阶段测试数学试题】已知()()2,0,2,0,A B C D 点、-依次满足
()
1
2,.2
AC AD AB AC ==
+ （1）求点D 的轨迹；
（2）过点A 作直线l 交以A B 、为焦点的椭圆于M N 、两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为4
5
，且直线l 与点D 的轨迹相切，求该椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，设点Q 的坐标为()1,0，是否存在椭圆上的点P 及以Q 为圆心的一个圆，使得该圆与直线,PA PB 都相切，如存在，求出P 点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．
【答案】（1）以原点为圆心，1为半径的圆；
（2）22
184
x y +=；（3）存在点
P ，其坐标为(
或(2,，使得直线,PA PB 与以Q 为圆心的圆()2
211x y -+=相切. 【解析】（1）设()()00,,,C x y D x y ，
则()()002,,4,0AC x y AB =+=()0
03,2,2
2x y AD x y ⎛⎫⇒=+=+
⎪⎝⎭，
则00222x x y y
=-⎧⎨=⎩，代入()2220024AC x y =++=得：22
1x y +=， ∴点D 的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆.
（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()2y k x =+……①
椭圆的方程为()
22
222144
x y a a a +
=>-……②
由l 1=21
3
k ⇒=
. 将①代入②得：()
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
44440a k a x a k x a k a a +-++-+=， 又2
13k =
，可得()
22242
33404
a x a x a a -+-+=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，
21224235
a x x a ∴+=-=⨯-28a ⇒=.
∴椭圆方程为：22184
x y +=. （3）假设存在椭圆上的一点()00,P x y ，使得直线,PA PB 与以Q 为圆心的圆相切， 则Q 到直线,PA PB 的距离相等， 又()()2,0,2,0,A B -
则()000:220PA x y y x y +--=，()000:220PB x y y x y -
-+=， 则
12d d =
=
=，化简整理得：22000
8403280x x y -++=，
P 点在椭圆上，
22
0028x y ∴+=，解得：02x =或08
x =（舍），
当02x =时，0y =1r =，圆的方程为()2
211x y -+=.
∴椭圆上存在点P ，
其坐标为(
或(2,，使得直线,PA PB 与以Q 为圆心的圆()2
211
x y -+=相切.
【名师点睛】本题考查轨迹方程的求解、直线与椭圆的综合应用、椭圆中的存在性问题.解决存在性问题的常用方法是假定存在后，利用条件得到关于定点的方程，求解方程得到定点的坐标，从而可确定存在. （1）利用(),D x y 表示出()2
2
20024AC x y =++=，从而得到轨迹方程；
（2）利用直线与圆相切得到2
13k =，将直线方程代入椭圆方程，得到12x x +，利用128
5
x x +=求得2a ，从而得到椭圆方程；
（3）利用圆心到直线距离等于半径得到22
0008403280x x y -++=，再利用P 在椭圆上可以求解出P 点
坐标，从而可求得结果.
6．【江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试数学试题】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆
()2222:10x y
C a b a b +=>>
的离心率为
2
，且椭圆C . （1）求椭圆C 的方程；
（2）设经过点()2,0P 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，点(),0Q m . ①若对任意直线l 总存在点Q ，使得QA QB =，求实数m 的取值范围； ②设点F 为椭圆C 的左焦点，若点Q 为△FAB 的外心，求实数m 的值.
【答案】（1）2212
x y +=；
（2）①102m ≤
<；②15. 【解析】
（1）依题意,2
c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩
解得1,
c a =⎧⎪⎨=⎪
⎩
所以2221b a c =-=，
所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=.
（2）设直线的方程为()2y k x =-， 代入椭圆C 的方程，消去y ，得(
)2
2
22128820k x
k x k +-+-=.
因为直线l 交椭圆C 于两点， 所以()
()()
2
2
228412820k k k ∆=--+->
，解得k <<
. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则有2122812k x x k +=+，2122
82
12k x x k -=+.
①设AB 中点为()00,M x y ，
则有2
1202
4212x x k x k +==+，()00
22212k y k x k =-=-+. 当0k ≠时，因为QA QB =，所以QM l ⊥，
所以2
2220121412QM
k
k k k k k m k
-
-+⋅=⋅=--+，解得22
212k m k =+. 当0k =时，可得0m =，符合2
2
212k m k =+. 因此2
2
212k m k
=+. 由()2
1
0212m k m ≤=
<-，解得102
m ≤<.
②因为点Q 为△FAB 的外心，且()1,0F -， 所以QA QB QF ==.
由()()2222
21,
1,2m x m y x y ⎧+=-+⎪⎨+=⎪
⎩
消去y ，得2440x mx m --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1x ，2x 也是此方程的两个根.
所以124x x m +=，124x x m =-.
又由①可知2122812k x x k +=+，2122
82
12k x x k -=+， 所以2222
8821212k k k k -=-
++，解得2
18k =. 所以22
21
125
k m k ==+. 【名师点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
（1
）依题意c a a ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
解之即得椭圆的方程.
（2）①设直线的方程为()2y k x =-，代入椭圆C 的方程，根据0∆>
，解得22
k -
<<
.QA QB =因为，所以QM l ⊥，即1QM
k k ⋅=-. 解得22212k m k
=+.由()210212m k m ≤=<-，即可解得m 范围.
②由()()22221221,
41,2m x m y x x m x y ⎧+=-+⎪+=⎨+=⎪
⎩
得，124x x m =-.所以22
228821212k k k k -=-++，解得2
18k =，即可求出m 值.
7．【江苏省扬州中学2019届高三4月考试数学试题】已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>，离心率12e =，
A 是椭圆的左顶点，F 是椭圆的左焦点，1AF =，直线m ：4x =-.
（1）求椭圆C 方程；
（2）直线l 过点F 与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线PA 、QA 分别与直线m 交于M 、N 两点，试问：以MN 为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由.
【答案】（1）22
143
x y +=；
（2）以MN 为直径的圆能过两定点(1,0)-、(7,0)-.
【解析】（1）222121c a a c a b c
⎧=⎪⎪⎨-=⎪⎪=+⎩
，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故所求椭圆方程：22
143
x y +=. （2）当直线l 斜率存在时，设直线l ：()()10y k x k =+≠，()11,P x y 、()22,Q x y ，
直线PA ：()1122
y y x x =++， 令4x =-，得1124,2y M x ⎛
⎫-- ⎪+⎝⎭
， 同理2224,2y N x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭
， 以MN 为直径的圆：()()12122244022y y x x y y x x ⎛
⎫⎛⎫+++++= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭
， 整理得：()()()()212122
2121212121214422402424x x x x x x x y k y k x x x x x x x x ⎡⎤++++++++-+=⎢⎥++++++⎢⎥⎣⎦ ①， 由()22114
3y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +++-=， 所以2
122843
k x x k -+=+，212241243k x x k -=+ ②， 将②代入①整理得：226870x y x y k ++-
+=，令0y =，得1x =-或7x =-. 当直线l 斜率不存在时，31,
2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭、31,2Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭、()4,3M --、()4,3N ， 以MN 为直径的圆：()2249x y ++=也过点()1,0-、()7,0-两点，
综上：以MN 为直径的圆能过两定点()1,0-、()7,0-.
【名师点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆交点的求法，考查已知圆直径端点的坐标求圆的方程的方法，综合性较强，需要一定的运算求解能力.直线和圆锥曲线联立方程，消元后得
到的一元二次方程往往含有参数，此时一般考虑用根与系数的关系表示两根之间的关系.
8．【江苏省扬州市2019届高三第一次模拟考试数学试题】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆M ：22
22x y a b
+1(0)a b =>>的离心率为12
，左、右顶点分别为A 、B ，线段AB 的长为4.点P 在椭圆M 上且位于第一象限，过点A ，B 分别作1l PA ⊥，2l PB ⊥，直线1l ，2l 交于点C .
（1）若点C 的横坐标为−1，求点P 的坐标；
（2）直线1l 与椭圆M 的另一交点为Q ，且AC AQ =λ，求λ的取值范围．
【答案】（1）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）2516,189⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
λ． 【解析】（1）设直线AP 的斜率为k ，()00,P x y ，
由题意得24a =，12
c a =， 所以2a =，1c =
，b =
所以椭圆M 的方程为22
143
x y +=. 因为点P 在椭圆M 上，且位于第一象限，
所以0k <<，2200143x y +=，直线AP 的方程为()2y k x =+. 因为2000200032244AP BP
y y y k k x x x ⋅=⋅==-+--， 所以34BP k k
=-， 所以直线BP 的方程为()324y x k =-
-
.
联立()()2324y k x y x k ⎧=+⎪⎨=--⎪⎩，解得22268431243k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即2226812,4343k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 因为1l PA ⊥，所以1AC k k =-
，则直线AC 的方程为()12y x k =-+. 因为2l PB ⊥，所以43BC k k =，则直线BC 的方程为()423
y k x =-. 联立()()12423y x k y k x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得22286431643k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，即2228616,4343k k C k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 因为点C 的横坐标为−1， 所以2286143
k k -=-+，解得12k =±.
因为0k <<
， 所以12
k =. 将12k =代入2226812,4343k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
可得，点P 的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）设(),Q Q Q x y ，(),C C C x y ，
由（1）知直线AC 的方程为()12y x k
=-+. 联立()221214
3y x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，整理得()222341616120k x x k +++-=， 所以221612234Q k x k --=+，解得226834
Q k x k -=+. 因为AC AQ =λ， 所以2222862243682234C Q k x k k x k -+++==-+++λ ()()
222221634711291243k k k k k +==+++.
因为02
k <<， 所以2516,189⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
λ. 【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系以及求范围问题，属于难题.解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中范围问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.。